青木ゼミ青木大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2012

2012センター試験　数学ⅡB　１[１]

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2013/01/05(土) 23:54:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2012

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2012センター試験　数学ⅡB　１[２]

　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(２)
　　　与式は　　
　　　　　　　　 $\rm \sin\alpha=\cos2\beta\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos2\beta$
　　　と変形できるので、nを整数として、
　　　　　　　 $\rm 2\beta=\pm\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \beta=\pm\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)+n\pi$ 　････(ａ)
　　　となる。よって、α＝ $\rm \frac{\pi}{6}$ のとき、
　　　　　　　　 $\rm \beta=\pm\frac{\pi}{6}+n\pi$
　　　となり、0≦β≦πなので、
　　　　　　　　 $\rm \beta=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5}{6}\ \pi$ 　　････シス

　　先を急ぎます。次はαの範囲を考えてnを決めていく必要がありますが、
　　適当にやっても穴の形で決まってしまうんですよね（笑）　　

　　　 $\rm (i)\ \ 0\leq\alpha<\frac{\pi}{2}$ 　のとき
　　　　　(ａ)より、
　　　　　　　　 $\rm \beta_1=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}$ 　　････セソ
　　　　　　　　 $\rm \beta_2=-\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}+\pi=\frac{3}{4}\ \pi+\frac{\alpha}{2}$ 　････タ

　　　 $\rm (ii)\ \ \frac{\pi}{2}\leq\alpha\leq\pi$ 　のとき
　　　　　(ａ)より、
　　　　　　　　 $\rm \beta_1=-\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}$ 　････チツ
　　　　　　　　 $\rm \beta_2=\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}+\pi=\frac{5}{4}\ \pi-\frac{\alpha}{2}$ 　････テ

　　穴の形をよく見ましょう！　　

　　　ここで、αの関数f(α)を
　　　　　　　　 $\rm f\ (\alpha)=\alpha+\frac{\beta_1}{2}+\frac{\beta_2}{3}$
　　　とおくと、
　　　(ⅰ)のとき、
　　　　　　 $\rm f\ (\alpha)=\alpha+\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{3}{4}\ \pi+\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{11}{12}\ \alpha+\frac{3}{8}\ \pi$
　　　(ⅱ)のとき、
　　　　　　 $\rm f\ (\alpha)=\alpha+\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{5}{4}\ \pi-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{13}{12}\ \alpha+\frac{7}{24}\ \pi$
　　　となるので、0≦α≦πの範囲で単調に増加する。
　　　よって、
　　　　　　　　f(0)≦f(α)≦f(π)
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{8}\ \pi\leq f\ (\alpha)\leq\frac{11}{8}\ \pi$ 　　････トナニヌネ　　　
　　　これより、
　　　　　　　　y＝sin f(α)　　　　
　　　は、
　　　　　　　　 $\rm f\ (\alpha)=\frac{\pi}{2}$
　　　のときに、最大値1をとる。　････フ
　　　このときのαは、
　　　(ⅰ)のとき、
　　　　　　　　 $\rm \frac{11}{12}\ \alpha+\frac{3}{8}\ \pi=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha=\frac{3}{22}\ \pi$ 　････ノハヒ
　　　これは(ⅰ)の範囲を満たす。

　　念のため(ⅱ)の場合も調べておくと、
　　　　　　　　 $\rm {\color{blue}\frac{13}{12}\ \alpha+\frac{7}{24}\ \pi=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha=\frac{5}{26}\ \pi}$
　　となり、これは(ⅱ)の範囲にないので不適である。
　

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2013/01/05(土) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2012

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2012センター試験　数学ⅡB　２

　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　y＝x³の導関数は、y'＝3x²なので、P(a，a³)における接線は、
　　　　　　　　y－a³＝3a²(x－a)
　　　　　　⇔　y＝3a²x－2a³　　････アイウ
　　　一方、y＝x²＋px＋qの導関数は、y'＝2x＋pとなり、
　　　点Pにおける接線の傾きが等しいので、
　　　　　　　　2a＋p＝3a²　⇔　p＝3a²－2a　　････エオ
　　　また、Dは点Pを通るので、
　　　　　　　　a³＝a²＋pa＋q　⇔　q＝a³－a²－(3a²－2a)a
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝－2a³＋a²　　････カキク

　(２)
　　　(１)よりDの方程式は、
　　　　　　　　y＝x²＋(3a²－2a)x－2a³＋a²
　　　となり、これがQ(0，b)を通るので、
　　　　　　　　b＝－2a³＋a²　････ケコサ　　
　　　与えられた関数
　　　　　　　　f(x)＝－2x³＋x²
　　　の導関数は、
　　　　　　　　f’(x)＝－6x²＋2x＝－2x(3x－1)
　　　となり、穴の形より増減表を書くまでもなく（笑）
　　　　　x＝0 で極小値
　　　　　　　f(0)＝0　　････シス
　　　　　x＝ $\rm \frac{1}{3}$ で極大値
　　　　　　　 $\rm f\ \left(\frac{1}{3}\right)=-2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3+\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{27}$ 　　･･･・セ～ツ　
　　　をとる。
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm 0<b<\frac{1}{27}$
　　　のbに対して
　　　　　　　　b＝－2a³＋a²
　　　となるaの個数は、
　　　右図より3個となる。････テ

　(３)
　　　Dの頂点がx軸上にあるとき、方程式
　　　　　　　　x²＋(3a²－2a)x－2a³＋a²＝0
　　　が重解をもてばよいので、
　　　　　　判別式＝(3a²－2a)²－4(－2a³＋a²)＝0
　　　これを解くと、
　　　　　　　　 $\rm a=0\ ,\ \frac{4}{9}$ 　　････トナニ
　　　となる。
　　　a＝0のときは、
　　　　　　　　D₁：y＝x²
　　　a＝ $\rm \frac{4}{9}$ のときは、
　　　　　　 $\rm D_2:\ y=x^2+\left\{3\left(\frac{4}{9}\right)^2-2\cdot\frac{4}{9}\right\}x+q=\left(x-\frac{4}{27}\right)^2$ ．
　　　であり、x軸と接する点はそれぞれ
　　　　　　　　 $\rm \left(0\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(\frac{4}{27}\ ,\ 0\right)$ ．
　　　図の対称性より、D₁、D₂の交点のx座標は、
　　　　　　　　 $\rm x=\frac{2}{27}$
　　　となるので、求める部分の面積は、
　　　　　　　　 $\rm 2\int_0^{\frac{2}{27}}\ x^2\ dx=2\left[\frac{1}{3}\ x^3\right]_0^{\frac{2}{27}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3^3}\right)^3$
　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{2^4}{3^{10}}$ 　････ヌネノ

　　特に技を使うわけでもなく、そのまま解いていくだけです。　　

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2013/01/06(日) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2012

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2012センター試験　数学ⅡB　３

　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　公差をdとおくと、
　　　　　　　　 $\rm a_2=a_1+d=-\frac{7}{3}$
　　　　　　　　 $\rm a_5=a_1+4d=-\frac{25}{3}$
　　であり、これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　 $\rm a_1=-\frac{1}{3}\ \ ,\ \ d=-2$ 　　････アイウエオ
　　よって、
　　　　　　 $\rm a_n=-\frac{1}{3}-2(n-1)=-2n+\frac{5}{3}$ 　････カキクケ
　　　　　　 $\rm S_n=\frac{1}{2}n\left\{\left(-\frac{1}{3}\right)+\left(-2n+\frac{5}{3}\right)\right\}=-n^2+\frac{2}{3}n$ 　････コサシ

　　まぁここまでは問題ないでしょう。　　

　　次に、
　　　　　　　　 $\rm \sum_{k=1}^n\ b_k=\frac{4}{3}\ b_n+S_n$ 　････①
　　を満たす{b_n}に対して、
　　n＝1のときは、
　　　　　　　　 $\rm b_1=\frac{4}{3}\ b_1+S_1\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{3}\ b_1=S_1=-\frac{1}{3}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ b_1=1$ 　････ス
　　であり、
　　　　　　　　 $\rm \sum_{k=1}^{n+1}\ b_k=\sum_{k=1}^n\ b_k+b_{n+1}$
　　なので、①より
　　　　　　　　 $\rm \frac{4}{3}\ b_{n+1}+S_{n+1}=\left(\frac{4}{3}\ b_n+S_n\right)+b_{n+1}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}=4b_n-3(S_{n+1}-S_n)$
　　　　　　　　　　　 $\rm =4b_n-3a_{n+1}$
　　　　　　　　　　　 $\rm =4b_n-3\left\{-2(n+1)+\frac{5}{3}\right\}$
　　　　　　　　　　　 $\rm =4b_n+6n+1$ 　　････セソタ
　　この式が
　　　　　　　　b_n+1+p(n＋1)＋q＝4(b_n＋pn＋q)
　　　　　　⇔　b_n+1＝4b_n＋3pn－p＋3q
　　のように変形できるとする。
　　セソタの式と係数を比較すると、
　　　　　　　　3p＝6　かつ　－p＋3q＝1
　　すなわち、
　　　　　　　　p＝2、 q＝1．
　　となるので、
　　　　　　b_n+1+2(n＋1)＋1＝4(b_n＋2n＋1) 　････(ａ)

　　ここで、
　　　　　　　　c_n＝b_n＋2n＋1
　　とおくと、　
　　　　　　　　c₁＝b₁＋2＋1＝4　････テ
　　であり、(ａ)より
　　　　　　　　c_n+1＝4c_n
　　なので、{c_n}は、公比4の等比数列となる。　････ト
　　よって、
　　　　　　　　c_n＝b_n＋2n＋1＝4ⁿ
　　　　　　⇔　b_n＝4ⁿ－2n－1　････ナニヌネ

　　p、qを求めるところは、適当に数字を当てはめてもできると思います（笑）　　　

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2013/01/07(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2012

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2012センター試験　数学ⅡB　４

　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　MはCEの中点なので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OM}=\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\rm b}+\overrightarrow{\rm c}$ 　　････ア
　　　また、NはADを3：1に内分する点なので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm ON}=\overrightarrow{\rm a}+\frac{3}{4}\ \overrightarrow{\rm c}$ 　　････イウ

　(２)　　　
　　　PはFLをs：(1－s)に内分する点なので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OP}=(1-s)\ \overrightarrow{\rm OF}+s\ \overrightarrow{\rm OL}$
　　　　　　　　　 $\rm =(1-s)\left(\overrightarrow{\rm a}+\overrightarrow{\rm c}\right)+s\left(\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\rm a}+\overrightarrow{\rm b}\right)$
　　　　　　　　　 $\rm =\left(1-\frac{1}{2}s\right)\ \overrightarrow{\rm a}+s\ \overrightarrow{\rm b}+(1-s)\ \overrightarrow{\rm c}$ 　　････エオカ
　　　一方、(１)より、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm MN}=\left(\overrightarrow{\rm a}+\frac{3}{4}\ \overrightarrow{\rm c}\right)-\left(\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\rm b}+\overrightarrow{\rm c}\right)=\overrightarrow{\rm a}+\frac{1}{4}\ \overrightarrow{\rm b}-\overrightarrow{\rm c}$
　　　であり、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm MP}=k\ \overrightarrow{\rm MN}$ 　　（k：実数）
　　　とおくと、
　　　　　　　 $\rm \left(1-\frac{1}{2}s\right)\ \overrightarrow{\rm a}+s\ \overrightarrow{\rm b}+(1-s)\ \overrightarrow{\rm c}=k\left(\overrightarrow{\rm a}+\frac{1}{4}\ \overrightarrow{\rm b}-\overrightarrow{\rm c}\right)$ ．
　　　両辺の係数を比較すると、
　　　　　　　　 $\rm 1-\frac{1}{2}\ s=k\ \ ,\ \ s-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\ k\ \ ,\ \ -s=-k$
　　　となるので、これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　 $\rm s=k=\frac{2}{3}$ 　　････キクケコ

　(３)
　　　(２)の $\rm \overrightarrow{\rm OP}$ に $\rm s=\frac{2}{3}$ を代入したものが $\rm \overrightarrow{\rm OG}$ なので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm OG}=\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\rm a}+\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\rm b}+\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\rm c}$
　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{\rm a}+2\overrightarrow{\rm b}+\overrightarrow{\rm c}\right)$ 　　････サシスセ
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm GF}=\left(\overrightarrow{\rm a}+\overrightarrow{\rm c}\right)-\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{\rm a}+2\overrightarrow{\rm b}+\overrightarrow{\rm c}\right)$
　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\rm a}-2\overrightarrow{\rm b}+2\overrightarrow{\rm c}\right)$ 　　････ソ
　　　ここで、題意より
　　　　　　　　 $\rm \left|\overrightarrow{\rm a}\right|=\sqrt5\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\rm b}\right|=4\ \ ,^ \ \left|\overrightarrow{\rm c}\right|=\sqrt 3$
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm a}\cdot\overrightarrow{\rm b}=\overrightarrow{\rm b}\cdot\overrightarrow{\rm c}=\overrightarrow{\rm c}\cdot\overrightarrow{\rm a}=0$
　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \left|\overrightarrow{\rm GF}\right|^2=\frac{1}{9}\left(\left|\overrightarrow{\rm a}\right|^2+4\left|\overrightarrow{\rm b}\right|^2+4\left|\overrightarrow{\rm c}\right|^2\right)$
　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{9}\left(5+4\cdot16+4\cdot3\right)$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\rm GF}\right|=3$ 　　････タ
　　　さらに、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm GH}=\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OG}$
　　　　　　　　　　 $\rm =t\ \overrightarrow{\rm c}-\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{\rm a}+2\overrightarrow{\rm b}+\overrightarrow{\rm c}\right)$
　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{3}\left\{-2\overrightarrow{\rm a}-2\overrightarrow{\rm b}+(3t-1)\overrightarrow{\rm c}\right\}$
　　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm GF}\cdot\overrightarrow{\rm GH}=\frac{1}{9}\left(\overrightarrow{\rm a}-2\overrightarrow{\rm b}+2\overrightarrow{\rm c}\right)\cdot\left\{-2\overrightarrow{\rm a}-2\overrightarrow{\rm b}+(3t-1)\overrightarrow{\rm c}\right\}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{9}\left\{-2\left|\overrightarrow{\rm a}\right|^2+4\left|\overrightarrow{\rm b}\right|^2+2(3t-1)\left|\overrightarrow{\rm c}\right|^2 \right\}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{9}\left\{-2\cdot5+4\cdot 16+2(3t-1)\cdot 3 \right\}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =2t+\frac{16}{3}$ 　　････チツテト
　　　また、題意より、
　　　　　　　　 $\rm \frac{\rm \overrightarrow{\rm GF}\cdot\overrightarrow{\rm GH}}{\rm \overrightarrow{\rm GM}\cdot\overrightarrow{\rm GH}}=\frac{\rm \left|\overrightarrow{\rm GF}\right|\ \left|\overrightarrow{\rm GH}\right|\ \sin\angle FGH}{\rm \left|\overrightarrow{\rm GM}\right|\ \left|\overrightarrow{\rm GH}\right|\ \sin\angle MGH}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{\rm \left|\overrightarrow{\rm GF}\right|}{\rm \left|\overrightarrow{\rm GM}\right|}$
　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{3}{2}$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\rm GF}\cdot\overrightarrow{\rm GH}=\frac{3}{2}\ \overrightarrow{\rm GM}\cdot\overrightarrow{\rm GH}$ 　　････ナニ
　　　よって、①、②、③より
　　　　　　　　 $\rm 2t+\frac{16}{3}=\frac{3}{2}\left(2t+\frac{10}{3}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{3}$ 　　････ヌネ

　　あーー、計算が面倒くさい・・・・・・　　

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2013/01/08(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅡB　2012

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