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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011神戸大 理系数学1


第1問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf i=\sqrt{-1}\end{align*}}$ とする。以下の問いに答えよ。

 (1) 実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ について、等式
      $\small\sf{\sf (\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta )=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha\beta)}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 自然数nに対して、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf z=\sum_{k=1}^{n} \left( \cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right)\end{align*}}$
    とおくとき、等式
      $\small\sf{\begin{align*} \sf z\left( \cos \frac{2\pi}{n}+i\sin \frac{2\pi}{n}\right)=z\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) 2以上の自然数nに対して、等式
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n} \cos \frac{2\pi k}{n}=\sum_{k=1}^{n}\sin \frac{2\pi k}{n}=0\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。



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  1. 2011/09/08(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2011
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2011神戸大 理系数学2



第2問

  以下の問いに答えよ。

 (1) tを正の実数とするとき、|x|+|y|=tの表すxy平面上の図形を図示せよ。

 (2) aをa≧0を満たす実数とする。x、yが連立不等式
      ax+(2-a)y≧2 、 y≧0
    を満たすとき、|x|+|y|のとりうる値の最小値mを、aを用いた式で表せ。

 (3) aがa≧0の範囲を動くとき、(2)で求めたmの最大値を求めよ。



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  1. 2011/09/09(金) 23:57:00|
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2011神戸大 理系数学3



第3問

  nを2以上の自然数として、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=n}^{n^3-1}\ \frac{1}{k\log k}\end{align*}}$
  とおく。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{n}^{n^3}\ \frac{dx}{x\log x}\end{align*}}$を求めよ。

 (2) kを2以上の自然数とするとき、
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(k+1)\log (k+1)}<\int_{k}^{k+1}\ \frac{dx}{x\log x}<\frac{1}{k\log k}\end{align*}}$
    を示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow \infty}S_n\end{align*}}$の値を求めよ。



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  1. 2011/09/10(土) 23:57:00|
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2011神戸大 理系数学4


第4問

  aは正の無理数で、X=a3+3a2-14a+6、Y=a2-2aを考えると、
  XとYはともに有理数である。以下の問いに答えよ。


 (1) 整式x3+3x2-14x+6を整式x2-2xで割ったときの商と余りを求めよ。

 (2) XとYの値を求めよ。

 (3) aの値を求めよ。ただし、素数の平方根は無理数であることを用いてもよい。




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  1. 2011/09/11(日) 23:57:00|
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2011神戸大 理系数学5



第5問

  以下の問いに答えよ。

 (1) x≧1において、$\small{\sf x\gt 2\log x}$ が成り立つことを示せ。ただし、eを自然対数の底
    とするとき、$\small{\sf 2.7\lt e\lt 2.8}$ であることを用いてもよい。

 (2) 自然数nに対して、
     $\small{\sf (2n \log n)^n\lt e^{2n\log n}}$
    が成り立つことを示せ。




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  1. 2011/09/12(月) 23:57:00|
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