青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.神戸大　理系　2011

2011神戸大　理系数学１

第1問

　　$\small\sf{\begin{align*} \sf i=\sqrt{-1}\end{align*}}$ とする。以下の問いに答えよ。

　(1) 実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ について、等式
　　　　　　$\small\sf{\sf (\cos\alpha+ｉ\sin\alpha)(\cos\beta+ｉ\sin\beta )=\cos(\alpha+\beta)+ｉ\sin(\alpha\beta)}$
　　　が成り立つことを示せ。

　(2) 自然数ｎに対して、
　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf z=\sum_{k=1}^{n} \left( \cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right)\end{align*}}$
　　　とおくとき、等式
　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf z\left( \cos \frac{2\pi}{n}+i\sin \frac{2\pi}{n}\right)=z\end{align*}}$
　　　が成り立つことを示せ。

　(3) 2以上の自然数ｎに対して、等式
　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n} \cos \frac{2\pi k}{n}=\sum_{k=1}^{n}\sin \frac{2\pi k}{n}=0\end{align*}}$
　　　が成り立つことを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　(1)
　　　　ｉ²=－1に注意して左辺を展開すると、
　　　　　　左辺=$\scriptsize\sf{\sf \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+ｉ(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)}$
　　　　となる。
　　　　加法定理より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}$
　　　　なので、
　　　　　左辺=右辺が成り立つ。

　　加法定理に気づけばＯＫでしょう。

　　(2)
　　　　自然数ｋに対して、複素数ｗ_kを
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\end{align*}}$
　　　　と定めると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\sum_{k=1}^{n} w_k=w_1+w_2+w_3+\ldots+w_k\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z\left( \cos \frac{2\pi}{n}+i\sin \frac{2\pi}{n}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf =(ｗ_1+ｗ_2+ｗ_3+\cdots +ｗ_n)ｗ_1}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf =ｗ_1ｗ_1+ｗ_2ｗ_1+ｗ_3w_1+\cdots +ｗ_nw_1}$ ････①

　　　　(1)より、任意の自然数ｋに対して、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_kw_1=\left(\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right)\left(\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\cos \frac{2\pi (k+1)}{n}+i\sin \frac{2\pi (k+1)}{n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =w_{k+1}\end{align*}}$
　　　　が成り立つ。
　　　　よって、
　　　　　　　①$\scriptsize\sf{\sf =ｗ_2+ｗ_3+ｗ_4+\cdots +ｗ_n+ｗ_{n+1}}$ ･･･②

　　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_{n+1}=\cos \frac{2\pi (n+1)}{n}+i\sin \frac{2\pi (n+1)}{n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\cos \left(2\pi+\frac{2\pi}{n}\right)+i\sin \left(2\pi+\frac{2\pi}{n}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\cos \frac{2\pi}{n}+i\sin \frac{2\pi}{n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =w_1\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　②$\scriptsize\sf{\sf =_2+ｗ_3+ｗ_4+\cdots +ｗ_n+ｗ_1=z}$

　　　　以上より、題意は示された。

　　分数式の入力が面倒なので、ｗ_kという変数を導入してみました。
　　ｗ_n+1=ｗ₁に気づけばＯＫでしょう

　　(3)
　　　　(2)より、z=0または$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos \frac{2\pi}{n}+i\sin \frac{2\pi}{n}=1\end{align*}}$
　　　　ここで、ｎは2以上の自然数なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\pi}{n}\neq\ 0\ ,\pm 2\pi\ ,\ \pm 4\pi\ ,\ldots\end{align*}}$
　　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos \frac{2\pi}{n}+i\sin \frac{2\pi}{n}\neq1\end{align*}}$
　　　　なので、z=0となる。

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\sum_{k=1}^{n} \left( \cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}\right)=\sum_{k=1}^{n} \cos \frac{2\pi k}{n}+i\sum_{k=1}^{n} \sin \frac{2\pi k}{n}=0\end{align*}}$
　　　　両辺の成分を比較すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{n} \cos \frac{2\pi k}{n}=\sum_{k=1}^{n}\sin \frac{2\pi k}{n}=0\end{align*}}$

　　(2)の結論を使うだけですね。

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2011/09/08(木) 23:57:00|

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2011神戸大　理系数学２

第2問

　　以下の問いに答えよ。

　(1) ｔを正の実数とするとき、|x|+|y|=ｔの表すxy平面上の図形を図示せよ。

　(2) aをa≧0を満たす実数とする。x、yが連立不等式
　　　　　　ax+(2－a)y≧2 、 y≧0
　　　を満たすとき、|x|+|y|のとりうる値の最小値ｍを、aを用いた式で表せ。

　(3) aがa≧0の範囲を動くとき、(2)で求めたｍの最大値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　(1)
　　　　x≧0、y≧0のとき
　　　　　　x+y=ｔ　⇔　y=－x+ｔ
　　　　x≧0、y＜0のとき
　　　　　　x－y=ｔ　⇔　y=x－ｔ
　　　　x＜0、y≧0のとき
　　　　　　－x+y=ｔ　⇔　y=x+ｔ
　　　　x＜0、y＜0のとき
　　　　　　－x－y=ｔ　⇔　y=－x－ｔ

　　　　これを図示したものが右図

　　　わざわざ場合分けしなくても、図の対称性を考えると、
　　　当たり前な気がしますが。

　　(2)
　　　　まず、領域ax+(2－a)y≧2 ･････①について考える。
　　　　　　ax+(2－a)y=2 ⇔ a(x－y)+2(y－1)=0
　　　　より、この直線(Lとする)は、aの値によらず、定点(1，1)を通る。
　　　　また、y=0のとき、a=0であれば等式は成立しないので、
　　　　a＞0の範囲で考えると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{2}{a}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　となり、この直線Lのx切片は正である。
　　　
　　　　一方、不等式①は、(x，y)=(0，0)のとき成立しないので、
　　　　領域①は、直線Lによって分けられるxy平面内の2つの領域のうちで
　　　　原点Ｏを含まない方の領域を表す。（境界線であるL上の点は含む）

　　　　これとy≧0を同時に満たす領域をDとすると、Dは直線Lの傾きによって
　　　　下のいずれかの形になる。

　　　　　　　　

　　　　いずれの場合も、領域Dと|x|+|y|=ｔ (≧0)が共有点をもつためには、
　　　　2点(ｔ，0)または(0，ｔ)のうち少なくとも一方が領域D内になければならない。
　　　　よって、
　　　　　　　aｔ≧2 ･････(ア)　または
　　　　　　　(2－a)ｔ≧2 ･････(イ)

　　　　(ア)について、
　　　　　　ｔ≧0より、a=0のときは成立しないので、0＜aである。
　　　　　　この範囲において、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq \frac{2}{a}\end{align*}}$
　　　　(イ)について、
　　　　　　ｔ≧0より、a≧2のときは成立しないので、0≦a＜2である。
　　　　　　この範囲において、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq \frac{2}{2-a}\end{align*}}$

　　　　2曲線 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq \frac{2}{a}\ \ ,\ \ t\geqq \frac{2}{2-a}\end{align*}}$ の交点は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{a}=\frac{2}{2-a}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=1\end{align*}}$
　　　　より、(a，ｔ)=(1，2)である。
　　　　これらのことより、(ア)または(イ)を満たす点(a，ｔ)の
　　　　領域を図示すると、右図のとおり。
　　　　この図において、それぞれのaに対するｔの最小値ｍは、
　　　　赤い曲線のようになる。
　　　　　(右図の上にマウスを乗せると、赤い線が現れます！)
　　　　よって、
　　　　　　0≦a＜1で　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2}{2-a}\end{align*}}$
　　　　　　1＜aで　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2}{a}\end{align*}}$

　　(3)
　　　　図より、a=1でｍの最大値は2

　　　本来ならば、直線の傾きで場合分けをして考えていくのでしょうが、
　　　ちょっと変わった解き方をしてみました。

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2011/09/09(金) 23:57:00|

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2011神戸大　理系数学３

第3問

　　ｎを2以上の自然数として、
　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=n}^{n^3-1}\ \frac{1}{k\log k}\end{align*}}$
　　とおく。以下の問いに答えよ。

　(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{n}^{n^3}\ \frac{dx}{x\log x}\end{align*}}$を求めよ。

　(2) ｋを2以上の自然数とするとき、
　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(k+1)\log (k+1)}<\int_{k}^{k+1}\ \frac{dx}{x\log x}<\frac{1}{k\log k}\end{align*}}$
　　　を示せ。

　(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow \infty}S_n\end{align*}}$の値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　(1)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{n}^{n^3}\ \frac{dx}{x\log x}=\int_{n}^{n^3}\ \frac{\frac{1}{x}}{\log x}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{n}^{n^3}\ \frac{(logx)'}{\log x}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\log(\log x)\right]_{n}^{n^3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log(\log n^3)-\log(\log n)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\left(\frac{\log n^3}{\log n}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\log3\ \ }\end{align*}}$

　　(1)は普通に$\scriptsize\sf{\sf ｔ=\log x}$ と置換しても同じ事です。

　　(2)
　　　　関数$\scriptsize\sf{\sf y=\log x}$ は単調増加なので、
　　　　ｋ≦x≦ｋ+1（ｋは2以上の自然数）を満たす実数xに対して
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf \log k\leqq\log x\leqq\log (k+1)}$
　　　　を満たすので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf k\log k\leqq x\log x\leqq (k+1)\log(k+1)}$

　　　　各辺＞0より、各辺の逆数をとると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(k+1)\log (k+1)}\leqq \frac{1}{x\log x}\leqq \frac{1}{k\log k}\end{align*}}$

　　　　この不等式は区間ｋ≦x≦ｋ+1で常に成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{k}^{k+1}\ \frac{dx}{(k+1)\log (k+1)}<\int_{k}^{k+1}\ \frac{dx}{x\log x}<\int_{k}^{k+1}\ \frac{dx}{k\log k}\end{align*}}$

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{(k+1)\log (k+1)}\int_{k}^{k+1}dx\ <\int_{k}^{k+1}\ \frac{dx}{x\log x}<\ \frac{1}{k\log k}\int_{k}^{k+1}dx\end{align*}}$

　　　　ここで、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{k}^{k+1}dx=[x]_{k}^{k+1}=1\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \frac{1}{(k+1)\log (k+1)}<\int_{k}^{k+1}\ \frac{dx}{x\log x}<\ \frac{1}{k\log k}\end{align*}}$

　　　　が得られ、題意は示された。

　　(2)は、図で考えると、分かりやすいと思います。
　　関数 $1\end{align*}}$ はx＞0で単調減少なので、 　　右図を考えると、 　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{Blue} \sf \frac{1}{(k+1)\log (k+1)}}\end{align*}}$ は青色の長方形の面積 　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{Blue} \sf \int_{k}^{k+1}\ \frac{dx}{x\log x}}\end{align*}}$ は黄色部分の面積 　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{Blue} \sf \frac{1}{k\log k}}\end{align*}}$ は赤色の長方形の面積 　　を表す。 　　よって、その大小関係を考えると、 　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{Blue}\sf \frac{1}{(k+1)\log (k+1)}<\int_{k}^{k+1}\ \frac{dx}{x\log x}<\frac{1}{k\log k}}\end{align*}}$ 　　となる。 　　 　　(3) 　　　　(2)の不等式において 　　　　　ｋ=ｎのとき 　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(n+1)\log (n+1)}<\int_{n}^{n+1}\ \frac{dx}{x\log x}<\ \frac{1}{n\log n}\end{align*}}$ 　　　　　ｋ=ｎ+1のとき 　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(n+2)\log (n+2)}<\int_{n+1}^{n+2}\ \frac{dx}{x\log x}<\ \frac{1}{(n+1)\log (n+1)}\end{align*}}$ 　　　　　ｋ=ｎ+2のとき 　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(n+3)\log (n+3)}<\int_{n+2}^{n+3}\ \frac{dx}{x\log x}<\ \frac{1}{(n+2)\log (n+2)}\end{align*}}$ 　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$ 　　　　　ｋ=ｎ3－1のとき 　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n^3\log n^3}<\int_{n^3-1}^{n^3}\ \frac{dx}{x\log x}<\ \frac{1}{(n^3-1)\log (n^3-1)}\end{align*}}$ 　　　　これらを辺々加えると、 　　　　　　右辺=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(n)\end{align*}}$ 　　　　　　左辺=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(n)+\frac{1}{n^3\log n^3}-\frac{1}{n\log n}\end{align*}}$ 　　　　　　中辺=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{n}^{n+1}\ \frac{dx}{x\log x}+\int_{n+1}^{n+2}\ \frac{dx}{x\log x}+\int_{n+2}^{n+3}\ \frac{dx}{x\log x}+\ldots+\int_{n^3-1}^{n^3}\ \frac{dx}{x\log x}\end{align*}}$ 　　　　　　　　 =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{n}^{n^3}\ \frac{dx}{x\log x}\end{align*}}$ 　　　　　　　　 =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log3\ \ (\because\ (1)\ )\end{align*}}$ 　　　　よって、 　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(n)+\frac{1}{n^3\log n^3}-\frac{1}{n\log n}\ <\ \log3\ <\ S(n)\end{align*}}$ 　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \log3\ <\ S(n)\ <\ \log3-\frac{1}{n^3\log n^3}+\frac{1}{n\log n}\end{align*}}$ 　　　　ここで、 　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^3\log n^3}=0\ ,\ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n\log n}=0\end{align*}}$ 　　　　なので、はさみうちの原理より 　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow \infty}S_n=\underline{ \log3\ \ }\end{align*}}$ <font color=$ 　　(2)の不等式から和をとって、はさみうちに持ちこむ感じですね。
　　和をとると、積分区間がまとめられるので、(1)の結論が使えます。

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2011/09/10(土) 23:57:00|

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2011神戸大　理系数学４

第4問

　　aは正の無理数で、X=a³+3a²－14a+6、Y=a²－2aを考えると、
　　XとYはともに有理数である。以下の問いに答えよ。

　(1) 整式x³+3x²－14x+6を整式x²－2xで割ったときの商と余りを求めよ。

　(2) XとYの値を求めよ。

　(3) aの値を求めよ。ただし、素数の平方根は無理数であることを用いてもよい。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　(1)
　　　　　

　　　　　　　商 x+5　　余り－4x+6　

　　まぁ、(1)は筆算するだけですね。

　　(2)
　　　　(1)より、
　　　　　　 X=(a+5)Y－4a+6
　　　　これをaについて整理すると、
　　　　　　a(Y－4)－X+5Y+6=0
　　　　aは無理数で、Y－4、－X+5Y+6は有理数なので、
　　　　　　Y－4=0 かつ－X+5Y+6=0
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　X=26、Y=4　

　　もう少し丁寧に書くと････
　　　　　a(Y－4)=X+5Y+6
　　　X，Yは有理数なので、右辺は有理数である。
　　　aは無理数なので、a(Y－4)が有理数になるためには、
　　　その値が0であればよい。
　　　よって、
　　　　　Y－4=0 かつ X+5Y+6=0
　　　であればよい。

　　(3)
　　　　(2)でY=4より、
　　　　　　a²－2a－4=0
　　　　これを解くと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{a=1+\sqrt{5}\ \ (>0)\ \ }" title="2\end{align*}}$

　　(2)ができれば問題ないでしょう。

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2011/09/11(日) 23:57:00|

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2011神戸大　理系数学５

第5問

　　以下の問いに答えよ。

　(1) x≧1において、$\small{\sf x\gt 2\log x}$ が成り立つことを示せ。ただし、ｅを自然対数の底
　　　とするとき、$\small{\sf 2.7\lt e\lt 2.8}$ であることを用いてもよい。

　(2) 自然数ｎに対して、
　　　　　$\small{\sf (2n \log n)^n\lt e^{2n\log n}}$
　　　が成り立つことを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　(1)
　　　　$\scriptsize\sf{\sf ｆ(x)=x-2\log x\ \ (x\geqq 1)}$ とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1-\frac{2}{x}\end{align*}}$
　　　　x≧1の範囲で増減表を書く。　
x 1 ･･･ 2 ･･･
ｆ’(x) － 0 +
ｆ(x) 1 ↘ 最小 ↗
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(2)=2(1-\log 2)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\log \frac{e}{2}\ >0 \ \ \left(\because 1<1.35<\frac{e}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　よって、x≧1で常にｆ(x)＞0となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf x\gt 2\log x}$

　　(1)は普通に差の関数をとって、微分→増減表ってパターンですね。

　　(2)
　　　　(1)より、自然数ｎに対して
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf 2\log ｎ\lt ｎ}$
　　　　が成り立つ。
　　　　両辺にｎをかけて、ｎ乗すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf (2n \log n)^n\lt (n^2)^n=n^{2n}}$
　　　　ここで、$\scriptsize\sf{\sf n=e^{\log n}}$ なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\sf (2n \log n)^n\lt (e^{\log n})^{2n}=ｅ^{2n\log n}}$
　　　　よって、題意は示された。

　　なんだかヤヤコシイ式ですが、対数の定義さえ押さえておけば問題ないでしょう。

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2011/09/12(月) 23:57:00|

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