青木ゼミ青木大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2012

2012センター試験　数学ⅠA　１[１]

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2013/01/01(火) 23:54:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2012

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2012センター試験　数学ⅠA　１[２]

　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　「または」の否定は「かつ」、「＞」の否定は「≦」なので、
　　　pの否定pは、
　　　　　　　　② m≦k かつ n≦k　････ク
　
　(２)
　　　(ⅰ)k＝1のとき
　　　　　　　　p：「m≦1 かつ n≦1」　すなわち　「m＝n＝1」
　　　　　　　　q：mn≦1

　　　　　このとき、p⇒q は真である。
　　　　　対偶を考えると、q⇒pも真なので、pはqの必要条件となる。
　　　　　また、m、nは自然数なので、q⇒q は真である。
　　　　　対偶を考えると、p⇒qも真なので、pはq十分条件となる。
　　　　　以上より、pはqの必要十分条件である。

　　対偶を考えると楽だと思います。矢印の向きには気をつけましょう。　

　　　(ⅱ)k＝2のとき
　　　　　　　　p：m≦2 かつ n≦2
　　　　　　　　q：mn≦4
　　　　　　　　r：mn≦2

　　　　　まず、
　　　　　p⇒r は偽(反例：p＝q＝2)なので、
　　　　　pはrの必要条件ではない。
　　　　　r⇒p は真なので、pはrの十分条件である。

　　　　　一方、
　　　　　p⇒q は真なので、pはqの必要条件である。
　　　　　q⇒p は偽(反例：p＝1、q＝3)なので、
　　　　　pはqの十分条件ではない。

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2013/01/01(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2012

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2012センター試験　数学ⅠA　２

　　　　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　　まずは正確に平方完成です。　　
　　　　　　　　y＝－x²＋(2a＋4)x＋b　････①
　　　　　　　　　＝－{x²－2(a＋2)x}＋b
　　　　　　　　　＝－{x－(a＋2)}²＋(a＋2)²＋b
　　　　　　　　　＝－{x－(a＋2)}²＋a²＋4a＋b＋4
　　　よって、頂点の座標は、
　　　　　　　　　(a＋2，a²＋4a＋b＋4)　　････アイウ
　　　であり、これが直線y＝－4x－1上にあるので、
　　　　　　　　　(a＋2，－4a－9)　　････②
　　　これとアイウのy座標を比較すると、
　　　　　　　　a²＋4a＋b＋4＝－4a－9
　　　　　　⇔　b＝－a²－8a－13　　････エオカ

　(１)
　　　Gのグラフは上に凸な放物線なので、Gのｙ座標＞０であれば、
　　　ｘ軸と異なる２点で交わるので、②より
　　　　　　　　 $\rm -4a-9>0\ \ \Leftrightarrow\ \ a<-\frac{9}{4}$ 　　････キクケ
　　　
　　　①の右辺をf(x)とおくと、題意を満たすためには
　　　　　　　　f(0)＞0
　　　であればよいので、
　　　　　　　　 $\rm f\ (0)=b=-a^2-8a-13>0$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+8a+13<0$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ -4-\sqrt3<a<-4+\sqrt3$ 　　････コサ

　(２)
　　aの値によって場合分けが必要ですが、桁数の関係で上手くいくかも
　　しれないので、とりあえず無視することにします（笑）　　

　　　Gのグラフは上に凸なので、最小値をとるのは、
　　　x＝0 または x＝4 のときである。
　　　　　　　　f(0)＝－a²－8a－13＝－22
　　　　　　⇔　a＝1，－9

　　　　　　　　f(4)＝－16＋4(2a＋4)－a²－8a－13＝－22
　　　　　　⇔　a²－9＝0
　　　　　　⇔　a＝±3
　　残念ながら、桁数だけでは決まりませんでしたね（笑）　
　　　a＝3のとき、
　　　　　　　　f(0)＝＝－9－24－13＝－46＜－22
　　　となり不適。
　　　よって、a＝-3，1 　････シスセ

　　センターなんで所詮こんなもんです（笑）　

　　　a＝1のとき、②より頂点の座標は(3，－13)となるので、
　　　最大値は－13　････ソタチ

　　　a＝－3のとき、②より頂点の座標は(－1，3)となるので、
　　　これをx軸方向に4、y軸方向に－16だけ平行移動すると、
　　　(3，－13)と一致することになる。　　････ツテトナ

　　場合分けが少し面倒ではありますが、
　　問題自体は難しくないと思います。　　

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2013/01/02(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2012

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2012センター試験　数学ⅠA　３

　　　　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　　　AB＝ACなので、BCの中点をDとすると、
　　　　AD⊥BCとなる。△ABDにおいて、
　　　　　　　　 $\rm AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt2$ ．
　　　　となるので、
　　　　　　　　 $\rm \cos\angle ABC=\frac{BD}{AB}=\underline{\ \frac{1}{3}\ }$ 　　････アイ
　　　　　　　　 $\rm \sin\angle ABC=\frac{AD}{AB}=\underline{\ \frac{2\sqrt2}{3}\ }$ 　　････ウエオ
　　　　また、
　　　　　　　　 $\rm \triangle ABC=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot2\sqrt2=\underline{\ 2\sqrt2\ }$ 　　････カキ
　　　　なので、内接円の半径をrとすると、
　　　　　　　　 $\rm 2\sqrt2=\frac{1}{2}\ r\ \left(3+3+2\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\ \frac{\sqrt2}{2}\ }$ 　　････クケ
　　　　内接円の中心をIとすると、△IBDにおいて、
　　　　　　　　 $\rm BI=\sqrt{BD^2+ID^2}=\sqrt{1^2+\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2}=\underline{\ \frac{\sqrt6}{2}\ }$ 　････コサ

　(１)
　　　△PBQにおいて、正弦定理を用いると、　
　　　　　　　　 $\rm 2R=\frac{\frac{2}{3}}{\sin B}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2\sqrt2}{3}}=\underline{\ \frac{\sqrt2}{2}\ }$ 　････シス
　　　（ただし、Rは、△PBQの外接円の半径）
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm r+2R=\frac{\sqrt2 }{2}+\frac{\sqrt2 }{2}=\sqrt2>\frac{\sqrt 6}{2}=BI$
　　　となるので、
　　　円Iと円Oは異なる２点で交わる。　････セ

　(２)
　　　円Iにおいて、方べきの定理を用いると、
　　　　　　　　CD²＝CE･CF
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 1^2=CE\cdot \sqrt2$
　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ CE=\underline{\ \frac{\sqrt2}{2}\ }$ 　････ソタ
　　　となるので、
　　　　　　　　 $\rm \frac{EF}{CE}=\frac{\sqrt2 -\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=\underline{\ 1\ \ }$ 　　････チ
　　　これより、FD、BEはともに中線となるので、
　　　点Gは△BCFの重心である。
　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm \frac{GM}{CG}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }$ 　　････ツテ

　　最後の重心は気づきますかね？　　

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2013/01/03(木) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2012

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2012センター試験　数学ⅠA　４

　　　　　

解答はこちら↓

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【解答】

　　　9枚のカードの中から5枚を選ぶので、
　　　　　　　　₉C₅＝₉C₄＝126通り　････アイウ

　(１)
　　　【5のカードを含む場合】
　　　　　　残り8枚の中から4枚を選ぶことになるので、　
　　　　　　　　₈C₄＝70通り　････エオ
　　　【5のカードを含まない場合】
　　　　　　余事象を考えて、
　　　　　　　　126－70＝56通り　････カキ

　(２)
　　　【0点になる場合】
　　　　　　5のカードを含まなければよいので、(１)より
　　　　　　　　 $\rm \frac{56}{126}=\frac{4}{9}$ 　････クケ
　　　【1点になる場合】
　　　　　　6～9のカードから4枚取り出せばよいので、
　　　　　　　　 $\rm \frac{_4C_1}{126}=\frac{1}{126}$ 　････コサシス
　　　【2点になる場合】
　　　　　　1～4のカードから1枚、6～9のカードから3枚
　　　　　　取り出せばよいので、
　　　　　　　　 $\rm \frac{_4C_1\times _4C_3}{126}=\frac{16}{126}=\frac{8}{63}$ 　････セソタ
　　　【3点になる場合】
　　　　　　1～4のカードから2枚、6～9のカードから2枚
　　　　　　取り出せばよいので、
　　　　　　　　 $\rm \frac{_4C_2\times _4C_2}{126}=\frac{36}{126}=\frac{2}{7}$ 　････チツ
　　　【4点になる場合】
　　　　　　1～4のカードから3枚、6～9のカードから1枚
　　　　　　取り出せばよいので、
　　　　　　　　 $\rm \frac{_4C_3\times _4C_1}{126}=\frac{16}{126}$
　　　【5点になる場合】
　　　　　　1～4のカードから4枚取り出せばよいので、
　　　　　　　　 $\rm \frac{_4C_1}{126}=\frac{1}{126}$ 　

　　　よって、得点の期待値は、
　　　　　　　　 $\rm 0 \times\frac{56}{126}+1\times\frac{1}{126}+2\times\frac{16}{126}+3\times\frac{36}{126}+4\times\frac{16}{126}+5\times\frac{1}{126}$
　　　　　　　 $\rm =\frac{5}{3}$ 　････テト

　　　最後の期待値は、もう少し大ざっぱに考えることができます。
　　　5は1～9のちょうど真ん中の数なので、選んだ5枚の中に5が
　　　含まれているならば、平均して5のカードは小さい方から3番目
　　　（5枚のちょうど真ん中）になるはずです。
　　　よって、期待値は、
　　　　　　　　 $\rm {\color{blue}0\times\frac{56}{126}+3\times\frac{70}{126}=\frac{5}{3}}$ 　
　　　として一発で求めることができます。
　

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2013/01/04(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2012

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