第1問
点Oを原点とするxyz空間内の3点A(－1，2，1)、B(1，－1，1)、
C(2，0，－1)を考える。3点O、B、Cを含む平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。点H
は$\small\sf{\alpha}$ 上にあり、直線AHが$\small\sf{\alpha}$ に直交している。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を満たす実数s、tを求めよ。
(2) 点Pが平面$\small\sf{\alpha}$ 上にありOと異なるとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle AOP=\frac{\left|\overrightarrow{\sf OH}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|}\ \cos\angle HOP\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(3) 点Pが線分BC上を動くとき、cos∠AOPの最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\left(-1\ ,\ 2\ ,\ 1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\left(1\ ,\ -1\ ,\ 1\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\left(2\ ,\ 0\ ,\ -1\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|=\sqrt6\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OB}\right|=\sqrt3\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OC}\right|=\sqrt5\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=-2\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=-3\end{align*}}$ ････②
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=\overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OA}=-\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ⊥AHなので、①、②を用いて内積計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\left(-\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2+3s+t=0\end{align*}}$ ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\left(-\overrightarrow{\sf OA}+s\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3+s+5t=0\end{align*}}$ ････④
③、④を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=t=-\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
AH⊥$\scriptsize\sf{\alpha}$ より、AH⊥OPなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\left(\overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OP}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OH}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf OH}\right| \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|\ \cos\angle HOP=\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|\left|\overrightarrow{\sf OP}\right|\ \cos\angle AOP\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\angle AOP=\frac{\left|\overrightarrow{\sf OH}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|}\ \cos\angle HOP\ \ \ \left(\because\ \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|\ ,\ \left|\overrightarrow{\sf OH}\right|\ne 0\right)\end{align*}}$ ．
(3)
まず、(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OH}\right|=\left|-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2+2\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{10}}{2}\end{align*}}$ ←①、②より
Pが辺BCの中点と一致するとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}=-\overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$
となるので、∠HOP=180°となり、
このときcos∠HOPは最小値－1をとる。
(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle AOP=\frac{\left|\overrightarrow{\sf OH}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|}\ \cos\angle HOP\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq \frac{\left|\overrightarrow{\sf OH}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|}\cdot(-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\sqrt6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\sqrt{15}}{6}\end{align*}}$
となるので、cos∠AOPの最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{\sqrt{15}}{6}\ }\end{align*}}$
である。
図を省略しましたけど、大丈夫ですかね？
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第2問
a、b、cは定数とする。関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf x^3-x^2+2 & (\sf x\leqq 1) \\ \sf ax^2+bx+c & (\sf x>1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
を考える。f(x)はx=1において微分可能で、かつf(3)=0を
満たしている。
(1) a、b、cの値を求めよ。
(2) xy平面内の曲線C：y=f(x)上の点(1，2)におけるCの接線は、
Cとx軸が囲む部分を2つの部分に分けている。これら2つの部分
それぞれの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x=1において連続なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 1-0}\ f\ (x)=f\ (1)\ \ \Leftrightarrow\ \ a+b+c=2\end{align*}}$ ････①
また、f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 3x^2-2x & (\sf x\leqq 1) \\ \sf 2ax+b & (\sf x>1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
であり、x=1において微分可能なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 1-0}\ f\ '(x)=f\ '(1)\ \ \Leftrightarrow\ \ 2a+b=1\end{align*}}$ ････②
さらに、
f(3)=9a+3b+c=0 ････③
①、②、③を連立させて解くと、
a=－1、 b=3、 c=0
(2)
(1)よりf(x)および、その導関数f’(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf x^3-x^2+2 & (\sf x\leqq 1) \\ \sf -x^2+3x & (\sf x>1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 3x^2-2x & (\sf x\leqq 1) \\ \sf -2x+3 & (\sf x>1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
また、f(x)とx軸との交点は、
x≦1のとき、
f(x)=(x+1)(x2－2x+2)=0 ⇔ x=－1
x＞1のとき、
f(x)=－x(x－3)=0 ⇔ x=3
であり、点(1，2)における接線をLとすると、
L：y－2=f’(1)(x－1) ⇔ y=x+1
となるので、曲線C、直線Lおよびx軸の位置関係は
右図のようになる。
よって、Lの左側部分の面積S1は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_{-1}^1\left\{\left(x^3-x^2+2\right)-\left(x+1\right)\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^1\left(-x^2+1\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[-\frac{1}{3}x^2+x\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3}\ }\end{align*}}$ ．
また、Lの右側部分の面積S2は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_{-1}^1\left(x+1\right)\ dx+\int_1^3\left(-x^2+3x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\bigg[x\bigg]_0^1+\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2\right]_1^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{16}{3}\ }\end{align*}}$ ．
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第3問
xy平面内の半円周$\small\sf{\sf C:\ x^2+y^2=1\ ,\ \ y\geqq 0}$上に2点A(1，0)、
B(－1，0)と2点$\small\sf{\sf S(\cos\theta,\ \sin\theta)\ ,\ T(\cos t,\ \sin t)}$
$\small\sf{\sf （0\lt\theta\lt t\lt\pi)}$ がある。
(1) 弧AT上を点Sが動くとき、弦ASの長さと弦STの長さの
和の最大値をtを用いて表せ。
(2) 3つの弦AS、ST、TBの長さの和をLとするとき、不等式
L≦3が成り立つことを示せ。また、この不等式において
等号が成り立つときの$\small\sf{\theta}$ とtの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
弦ASの中点をMとすると、OM⊥ASより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM=OA\ \sin\frac{1}{2}\angle AOS=\sin\frac{\theta}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ AS=2AM=2\sin\frac{\theta}{2}\end{align*}}$
同様に考えると、∠SOT=t－$\scriptsize\sf{\theta}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ST=2\sin\frac{t-\theta}{2}\end{align*}}$ ．
よって、和→積の公式を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AS+ST=2\left(\sin\frac{\theta}{2}+\sin\frac{t-\theta}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sin\frac{t}{4}\ \cos\frac{t-2\theta}{4}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\theta}$ の値を$\scriptsize\sf{\sf 0\lt\theta\lt t}$ の範囲で変化させると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{t}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\frac{t-\theta}{4}=1\end{align*}}$ ････①
のとき、AS+STは最大となる。
よって、AS+STの最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 4\sin\frac{t}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)と同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf TB=2\sin\frac{\pi-t}{2}=2\cos\frac{t}{2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=2\sin\frac{\theta}{2}+2\sin\frac{t-\theta}{2}+2\cos\frac{t}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq 4\sin\frac{t}{4}+2\cos\frac{t}{2}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sin\frac{t}{4}+2-4\sin^2\frac{t}{4}\end{align*}}$ ←cosの倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-4\left(\sin\frac{t}{4}-\frac{1}{2}\right)^2+3\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt t<\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\frac{t}{4}<\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\sin\frac{t}{4}<\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -4\left(\sin\frac{t}{4}-\frac{1}{2}\right)^2+3\leqq 3\end{align*}}$ ････②
よって、L≦3となる。
また、等号が成立するのは、①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\frac{t}{2}\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{4}=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
のときである。すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \theta=\frac{\pi}{3}\ \ ,\ \ t=\frac{2}{3}\ \pi\ \ }\end{align*}}$
のときである。
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第4問
関数fn(x)（n=0，1，2，･･･）は次の条件(ⅰ)、(ⅱ)を満たしている。
$\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ f_0\ (x)=x^2\ e^x\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ f_{n+1}\ (x)=\frac{d}{dx}\ f_n(x)\ \ \ (n=0,1,2,\ldots)\end{align*}}$
(1) n=0，1，2，･･･について、ある定数an、bnを用いて
fn(x)=(x2+anx+bn)ex
と表されることを示し、an、bnを求めよ。
(2) n≧1する。xy平面内の曲線y=fn(x)のy≦0の部分をCnとする。
Cnとx軸で囲まれる部分の面積Snを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
数学的帰納法を用いて証明する。
(ⅰ) n=0のとき
a0=b0=0
とすれば成り立つ。
(ⅱ) n=kのとき、
fk(x)=(x2+akx+bk)ex
と表されると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{k+1}\ (x)=\frac{d}{dx}\ f_k(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2x+a_k)e^x+(x^2+a_kx+b_k)e^x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{x^2+(a_k+2)x+a_kb_k\right\}\ e^x\end{align*}}$
となるので、
ak+1=ak+2 ････①
bk+1=ak+bk ････②
とおくと、n=k+1のときも成り立つ。
よって、題意は示された。
また①より、数列{an}は公差2の等差数列なので、
一般項は、
an=a0+2n=2n ．
これと②より、
bn+1－bn=an=2n
となり、{an}が{bn}の階差数列となる。
よって、n≧1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_0+\sum_{k=0}^{n-1}\ 2k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+2\cdot\frac{1}{2}(n-1)(n-1+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n(n-1)\ }\end{align*}}$ ．
これは、n=0のときも成り立つ。
(2)
(1)より、
fn(x)={x2+2nx+n(n－1)}ex ．
ex＞0より、fn(x)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-n\pm\sqrt{n^2-n(n-1)}=-n\pm\sqrt{n}\end{align*}}$
のときであり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -n-\sqrt{n}\leqq x\leqq -n+\sqrt{n}\end{align*}}$
の範囲において、fn(x)≦0となる。
また、仮定より、n≧1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_{n}\ (x)=\frac{d}{dx}\ f_{n-1}(x)\ \ \Leftrightarrow\ \ \int\ f_n(x)\ dx=f_{n-1}(x)+C\end{align*}}$ （C：積分定数）
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\int_{-n-\sqrt{n}}^{-n+\sqrt{n}}\left\{-f_n\(x)\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[f_{n-1}\(x)\right]_{-n-\sqrt{n}}^{-n+\sqrt{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[\left\{x^2+2(n-1)x+(n-1)(n-2)\right\}\ e^x\right]_{-n-\sqrt{n}}^{-n+\sqrt{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[\bigg\{x^2+2nx+n(n-1)\right\}\ e^x-2\left(x+n-1\right)\ e^x\bigg]_{-n-\sqrt{n}}^{-n+\sqrt{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-f_n\left(x\right)+2\left(x+n-1\right)\ e^x\bigg]_{-n-\sqrt{n}}^{-n+\sqrt{n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{-f_n\left(-n+\sqrt{n}\right)+2\left(-n+\sqrt{n}+n-1\right)\ e^{-n+\sqrt{n}}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left\{-f_n\left(-n-\sqrt{n}\right)+2\left(-n-\sqrt{n}+n-1\right)\ e^{-n-\sqrt{n}}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\left(\sqrt{n}-1\right)\ e^{-n+\sqrt{n}}+2\left(\sqrt{n}+1\right)\ e^{-n-\sqrt{n}}\ \ }\end{align*}}$
最後の積分計算は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}f_n\left(-n\pm\sqrt{n}\right)=0}\end{align*}}$
を使うと、少し楽になります。
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