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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009京都工芸繊維大 前期 数学1



第1問

  点Oを原点とするxyz空間内の3点A(-1,2,1)、B(1,-1,1)、
  C(2,0,-1)を考える。3点O、B、Cを含む平面を$\small\sf{\alpha}$ とする。点H
  は$\small\sf{\alpha}$ 上にあり、直線AHが$\small\sf{\alpha}$ に直交している。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\overrightarrow{\sf OB}+t\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を満たす実数s、tを求めよ。

 (2) 点Pが平面$\small\sf{\alpha}$ 上にありOと異なるとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\angle AOP=\frac{\left|\overrightarrow{\sf OH}\right|}{\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|}\ \cos\angle HOP\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) 点Pが線分BC上を動くとき、cos∠AOPの最小値を求めよ。



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  1. 2012/12/24(月) 23:45:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2009
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2009京都工芸繊維大 前期 数学2



第2問

  a、b、cは定数とする。関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf x^3-x^2+2 & (\sf x\leqq 1) \\ \sf ax^2+bx+c & (\sf x>1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
  を考える。f(x)はx=1において微分可能で、かつf(3)=0を
  満たしている。

 (1) a、b、cの値を求めよ。

 (2) xy平面内の曲線C:y=f(x)上の点(1,2)におけるCの接線は、
    Cとx軸が囲む部分を2つの部分に分けている。これら2つの部分
    それぞれの面積を求めよ。


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  1. 2012/12/24(月) 23:48:00|
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2009京都工芸繊維大 前期 数学3



第3問

  xy平面内の半円周$\small\sf{\sf C:\ x^2+y^2=1\ ,\ \ y\geqq 0}$上に2点A(1,0)、
  B(-1,0)と2点$\small\sf{\sf S(\cos\theta,\ \sin\theta)\ ,\ T(\cos t,\ \sin t)}$
  $\small\sf{\sf (0\lt\theta\lt t\lt\pi)}$ がある。

 (1) 弧AT上を点Sが動くとき、弦ASの長さと弦STの長さの
    和の最大値をtを用いて表せ。

 (2) 3つの弦AS、ST、TBの長さの和をLとするとき、不等式
    L≦3が成り立つことを示せ。また、この不等式において
    等号が成り立つときの$\small\sf{\theta}$ とtの値を求めよ。




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  1. 2012/12/24(月) 23:51:00|
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2009京都工芸繊維大 前期 数学4



第4問

  関数fn(x)(n=0,1,2,・・・)は次の条件(ⅰ)、(ⅱ)を満たしている。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ f_0\ (x)=x^2\ e^x\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ f_{n+1}\ (x)=\frac{d}{dx}\ f_n(x)\ \ \ (n=0,1,2,\ldots)\end{align*}}$

 (1) n=0,1,2,・・・について、ある定数an、bnを用いて
         fn(x)=(x2+anx+bn)ex
    と表されることを示し、an、bnを求めよ。

 (2) n≧1する。xy平面内の曲線y=fn(x)のy≦0の部分をCnとする。
    Cnとx軸で囲まれる部分の面積Snを求めよ。


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  1. 2012/12/24(月) 23:54:00|
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