第1問
数列{an}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_2=2\ \ ,\ \ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2+(-1)^n}{a_n}\ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
と定め、{an}の階差数列を{bn}とする。このとき、次の問に答えよ。
(1) b1、b2、b3、b4、b5を求めよ。
(2) すべての自然数nに対して、ベクトル(an，bn)の成分がともに
正の整数であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
{an}の項を順次計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{2^2+(-1)^1}{1}=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\frac{3^2+(-1)^2}{2}=5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_5=\frac{5^2+(-1)^3}{3}=8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_6=\frac{8^2+(-1)^4}{5}=13\end{align*}}$
となるので、
b1=a2－a1=1
b2=a3－a2=1
b3=a4－a3=2
b4=a5－a4=3
b5=a6－a5=5
(2)
(1)より、任意のnに対して、
an+1+an=an+2 ････(A)
が成り立つと類推できるので、これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) n=1のとき
a1+a2=1+2=3=a3
となるので(A)は成り立つ。
(ⅱ) n=kのときに(A)が成り立つと仮定すると、
ak+ak+1=ak+2 ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ a_k+a_{k+1}=\frac{a_{k+1}^2+(-1)^k}{a_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow \ \ a_k^2+a_k\ a_{k+1}-a_{k+1}^2=(-1)^k\end{align*}}$ ････②
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k-3}-\left(a_{k+1}+a_k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a_{k+2}^2+(-1)^{k+1}}{a_{k+1}}-\left(a_{k+2}+a_{k+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a_{k+2}^2-(-1)^{k}-a_{k+1}\ \left(a_{k+2}+a_{k+1}\right)}{a_{k+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(a_k+a_{k+1}\right)^2-\left(a_k^2+a_k\ a_{k+1}-a_{k+1}^2\right)-a_{k+1}\ \left(2a_{k+1}+a_k\right)}{a_{k+1}}\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{k+1}+a_{k+2}=a_{k+3}\end{align*}}$
となり、n=k+1のときも(A)は成立する。
よって、任意の自然数nに対して
an+1+an=an+2
が成り立つ。
a1、a2は自然数なので、a3=a1+a2は自然数となり、
以下、帰納的にanは自然数となる。
よって、bn=an+1－anもすべて自然数となるので、
ベクトル(an，bn)の成分はすべて自然数となる。
ベクトルというのは別に意識する必要ありません（笑）
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第2問
m、n、kは正の整数とする。行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf m &\sf -1\\ 1 &\sf m\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf -n\\ \sf n &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ C=\begin{pmatrix}\sf 5 &\sf -1\\ \sf 1 &\sf 5\end{pmatrix}\end{align*}}$
に対して、等式
2kAB=C4
が成り立つとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) C4を求めよ。
(2) m－nとmnをそれぞれkを用いて表せ。
(3) m、n、kの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C^2=\begin{pmatrix}\sf 5 &-1\\ 1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 5 &-1\\ 1 &5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 24 &-10\\ 10 & 24\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C^4=\begin{pmatrix}\sf 24 &-10\\ 10& 24\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 24 &-10\\ 10 & 24\end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 476 &-480\\ 480& 476\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2kAB=2k\begin{pmatrix}\sf m &-1\\ 1&\sf m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf -n\\ \sf n &\sf 1\end{pmatrix}=2k\begin{pmatrix}\sf m-n &\sf -1-mn\\ \sf 1+mn &\sf m-n\end{pmatrix}\end{align*}}$
これと(1)で求めたC4の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2k(m-n)=476\ \ \Leftrightarrow\ \ m-n=\underline{\ \frac{238}{k}\ }\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2k(1+mn)=480\ \ \Leftrightarrow\ \ mn=\underline{\ \frac{240}{k}-1\ }\end{align*}}$ ．
(3)
m、n、kは自然数なので、m－n、mnはともに自然数である。
よって、kは238の約数かつ240の約数となり、
240－238=2
なので、kは2の約数である。
すなわち、
k=1 または k=2
となる。
(ⅰ) k=1のとき
m－n=238 かつ mn=239
これを満たす自然数m、nは
m=239、n=1
(ⅱ) k=2のとき
m－n=119 かつ mn=119
これを満たす自然数m、nは存在しない。
以上より、
k=1、m=239、n=1
ユークリッドの互除法を用いています。
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第3問
曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=1-\frac{x^2}{2}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
をCとする。曲線C上の点Pにおける接線と直交し、点Pを通る
直線をLとする。直線L上の点Q(x，y)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf y>1-\frac{x^2}{2}\ \ ,\ \ PQ=1\end{align*}}$
となるようにとり、直線Lとx軸のなす角$\small\sf{\theta}$ を、0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満た
すようにとる。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 点Qの座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) 点Qがx軸上にあるとき、$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
(3) 点PがC上を動くときの点Qの軌跡と、x軸、y軸で囲まれた
部分の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pの座標を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(a\ , \ 1-\frac{a^2}{2}\right)\ \ (a>0)\end{align*}}$
とおくと、導関数は、y=－xなので、
Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(1-\frac{a^2}{2}\right)=\frac{1}{a}\left(x-a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{a}\ x-\frac{a^2}{2}\end{align*}}$
となる。これがx軸と$\scriptsize\sf{\theta}$ の角をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{1}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\end{align*}}$
となり、Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\ ,\ 1-\frac{\cos^2\theta}{2\sin^2\theta}\right)\end{align*}}$ ．
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ はx軸と$\scriptsize\sf{\theta}$ の角をなし、PQ=1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\left(\cos \theta\ ,\ \sin\theta\right)\end{align*}}$ ．
よって、Qの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q(x\ ,\ y)=\left(\frac{\cos}{\sin\theta}+\cos\theta\ ,\ 1-\frac{\cos^2\theta}{2\sin^2\theta}+\sin\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{\cos}{\sin\theta}+\cos\theta\ ,\ \frac{2\sin^2\theta-(1-\sin^2\theta)+2\sin^3\theta}{2\sin^2\theta}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(\frac{\cos}{\sin\theta}+\cos\theta\ ,\ \frac{2\sin^3\theta+3\sin^2\theta-1}{2\sin^2\theta}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
Qがx軸上にあるので、(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sin^3\theta+3\sin^2\theta-1}{2\sin^2\theta}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2\sin^2\theta-1\right)\left(\sin\theta+1\right)^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=-1\ ,\ \frac{1}{2}\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{0\lt\theta\lt\pi/2}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\underline{\ \frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
(2)のとき、Qのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}}+\cos\frac{\pi}{6}=\frac{3\sqrt3}{2}\end{align*}}$
であり、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のときのxを考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\cos\frac{\pi}{2}}{\sin\frac{\pi}{2}}+\cos\frac{\pi}{2}=0\end{align*}}$
となるので、面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\frac{3\sqrt3}{2}}\ y\ dx\end{align*}}$
として求めることができる。
ここで、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\cos}{\sin\theta}+\cos\theta\ \ ,\ \ y=\frac{2\sin^3\theta+3\sin^2\theta-1}{2\sin^2\theta}\end{align*}}$
と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)'=\frac{-\sin\theta\cdot\sin\theta-\cos\theta\cdot\cos\theta}{\sin^2\theta}=-\frac{1}{\sin^2\theta}\end{align*}}$ ････①
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=-\frac{1}{\sin^2\theta}-\sin\theta\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{\pi/2}^{\pi/6}\left(\frac{2\sin^3\theta+3\sin^2\theta-1}{2\sin^2\theta}\right)\left(-\frac{1}{\sin^2\theta}-\sin\theta\right)\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi/2}^{\pi/6}\frac{-2\sin^6\theta-3\sin^5\theta-\sin^3\theta-3\sin^2\theta+1}{2\sin^4\theta}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_{\pi/6}^{\pi/2}\left(2\sin^2\theta+3\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta}+\frac{3}{\sin^2\theta}-\frac{1}{\sin^4\theta}\right)\ d\theta\end{align*}}$ ．
半角公式を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\ \sin^2\theta\ d\theta=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\ \frac{1-\cos2\theta}{2}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\ \sin\theta\ d\theta=\left[-\cos\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/2}=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ．
また、$\scriptsize\sf{t=\cos\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{d\theta}=-\sin\theta\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\sf -\sin^2\theta=\cos^2\theta-1=t^2-1=(t-1)(t+1)}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\ \frac{1}{\sin\theta}\ d\theta=\int_{\frac{\sqrt3}{2}}^0\ \frac{1}{\sin\theta}\cdot \frac{dt}{-\sin\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\frac{\sqrt3}{2}}^0\ \frac{1}{(t-1)(t+1)}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_{\frac{\sqrt3}{2}}^0\ \left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\log\left|t-1\right|-\log\left|t+1\right|\right]_{\frac{\sqrt3}{2}}^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left\{-\log\left|\frac{\sqrt3}{2}-1\right|+\log\left|\frac{\sqrt3}{2}+1\right|\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\log\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\log\left(2+\sqrt3\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\left(2+\sqrt3\right)\end{align*}}$
さらに、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{\sin^2\theta}\ d\theta=\left[-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right]_{\pi/6}^{\pi/2}=\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{\sin^4\theta}\ d\theta=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\ \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin^4\theta}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{\sin^2\theta}\ d\theta+\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{\cos^2\theta}{\sin^4\theta}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt3+\int_{\pi/6}^{\pi/2}\ \left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2\cdot\frac{1}{\sin^2\theta}\ d\theta\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\end{align*}}$
とおくと、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{du}{d\theta}=-\frac{1}{\sin 2\theta}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\ \left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2\cdot\frac{1}{\sin^2\theta}\ d\theta=\int_{\sqrt3}^{0}\ u^2\cdot\frac{1}{\sin^2\theta}\cdot\left(-\sin^2\theta\right)\ du\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{3}\ u^3\right]_{\sqrt3}^0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt3\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left\{2\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\right)+3\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\log\left(2+\sqrt3\right)+3\sqrt3-\left(\sqrt3+\sqrt3\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{6}+\frac{11\sqrt3}{8}+\frac{1}{2}\log\left(2+\sqrt3\right)\ \ }\end{align*}}$
(3)の最後の計算は、ほんとイヤになりますよね＾＾；；；
(3)で$\scriptsize\sf{\theta=\pi/2}$ の場合も考える必要があるので、
tan$\scriptsize\sf{\theta}$ はあえて使わないようにしました。
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第4問
nを自然数とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\end{align*}}$
とし、k=0，1，2，･･･，nに対して、曲線y=f(x)上に点
$\small\sf{\begin{align*} \sf P_k\left(\frac{k}{n}\ ,\ f\left(\frac{k}{n}\right)\right)\end{align*}}$
をとる。線分PkPk+1の長さをLk（0≦k≦n－1）とおき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\ L_n\end{align*}}$
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 平均値の定理を用いて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf L_k=\frac{1}{n}\ f\ (c_k)\ \ ,\ \ \frac{k}{n}\lt c_k<\frac{k+1}{n}\end{align*}}$
を満たす実数ckが存在することを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\ f\ \left(\frac{k}{n}\right)\lt L_n<\frac{1}{n}\ f\ \left(\frac{k+1}{n}\right)\end{align*}}$ を示せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$ を求めよ。
（注）問題の表記を一部変更しています。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)はすべての実数に対して微分可能であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\end{align*}}$ ．
平均値の定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{k+1}{n}\right)-f\left(\frac{k}{n}\right)=\left\{\frac{k+1}{n}-\frac{k}{n}\right\}\ f\ '(c_k)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n}\ f\ '(c_k)\end{align*}}$ ････①
となるckが
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{n}\lt c_k<\frac{k+1}{n}\end{align*}}$ ････②
の範囲に存在する。
Lkは2点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_k\left(\frac{k}{n}\ ,\ f\left(\frac{k}{n}\right)\right)\ \ ,\ \ P_{k+1}\left(\frac{k+1}{n}\ ,\ f\left(\frac{k+1}{n}\right)\right)\end{align*}}$
間の距離なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_k=\sqrt{\left(\frac{k+1}{n}-\frac{k}{n}\right)^2+\left\{f\left(\frac{k+1}{n}\right)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right\}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}\left\{f\ '(c_k)\right\}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n}\sqrt{1+\left\{f\ '(c_k)\right\}^2}\end{align*}}$ ････③
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{f\ (x)\right\}^2-\left\{f\ '(x)\right\}^2=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\end{align*}}$
であり、ex＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sqrt{1+\left\{f\ '(x)\right\}^2}\ \ (>0)\end{align*}}$ ．
これと③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_k=\frac{1}{n}\ f\ (c_k)\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)
x＞0の範囲において、0＜e-x＜1＜exなので、
f’(x)＞0となり、f(x)は単調の増加する。
よって、②を満たすk、ckに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{k}{n}\right)\lt f\ (c_k)\lt f\left(\frac{k+1}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n}\ f\left(\frac{k}{n}\right)<\frac{1}{n}\ f\ (c_k)<\frac{1}{n}\ f\left(\frac{k+1}{n}\right)\end{align*}}$ ←n＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{n}\ f\left(\frac{k}{n}\right)\lt L_k<\frac{1}{n}\ f\left(\frac{k+1}{n}\right)\end{align*}}$ ←(1)より
(3)
(2)の不等式は、k=0，1，2，･･･，n－1に対しても
成り立つので、それらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\ f\left(\frac{k}{n}\right)<\sum_{k=0}^{n-1}L_k<\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\ f\left(\frac{k+1}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\ f\left(\frac{k}{n}\right)\lt S_n<\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\ f\left(\frac{k+1}{n}\right)\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\ f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\frac{e^x+e^{-x}}{2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e-e^{-1}}{2}\end{align*}}$
となり、同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\ f\left(\frac{k+1}{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\ f\left(\frac{k}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e-e^{-1}}{2}\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n=\underline{\ \frac{e-e^{-1}}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
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