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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪教育大 後期 数学1



第1問

  数列{an}を
      $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_2=2\ \ ,\ \ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2+(-1)^n}{a_n}\ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
  と定め、{an}の階差数列を{bn}とする。このとき、次の問に答えよ。

 (1) b1、b2、b3、b4、b5を求めよ。

 (2) すべての自然数nに対して、ベクトル(an,bn)の成分がともに
    正の整数であることを示せ。



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  1. 2012/12/30(日) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2011
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2011大阪教育大 後期 数学2



第2問

  m、n、kは正の整数とする。行列
      $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf m &\sf -1\\ 1 &\sf m\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf -n\\ \sf n &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ C=\begin{pmatrix}\sf 5 &\sf -1\\ \sf 1 &\sf 5\end{pmatrix}\end{align*}}$
  に対して、等式
         2kAB=C4
  が成り立つとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) C4を求めよ。

 (2) m-nとmnをそれぞれkを用いて表せ。

 (3) m、n、kの値を求めよ。




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  1. 2012/12/30(日) 23:57:00|
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2011大阪教育大 後期 数学3



第3問

  曲線
         $\small\sf{\begin{align*} \sf y=1-\frac{x^2}{2}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
  をCとする。曲線C上の点Pにおける接線と直交し、点Pを通る
  直線をLとする。直線L上の点Q(x,y)を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf y>1-\frac{x^2}{2}\ \ ,\ \ PQ=1\end{align*}}$
  となるようにとり、直線Lとx軸のなす角$\small\sf{\theta}$ を、0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満た
  すようにとる。このとき、次の問いに答えよ。
           
 (1) 点Qの座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。

 (2) 点Qがx軸上にあるとき、$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。

 (3) 点PがC上を動くときの点Qの軌跡と、x軸、y軸で囲まれた
    部分の面積Sを求めよ。 


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  1. 2012/12/31(月) 23:54:00|
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2011大阪教育大 後期 数学4



第4問

  nを自然数とする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\end{align*}}$
  とし、k=0,1,2,・・・,nに対して、曲線y=f(x)上に点
         $\small\sf{\begin{align*} \sf P_k\left(\frac{k}{n}\ ,\ f\left(\frac{k}{n}\right)\right)\end{align*}}$
  をとる。線分PkPk+1の長さをLk(0≦k≦n-1)とおき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\ L_n\end{align*}}$
  とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 平均値の定理を用いて、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf L_k=\frac{1}{n}\ f\ (c_k)\ \ ,\ \ \frac{k}{n}\lt c_k<\frac{k+1}{n}\end{align*}}$
    を満たす実数ckが存在することを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\ f\ \left(\frac{k}{n}\right)\lt L_n<\frac{1}{n}\ f\ \left(\frac{k+1}{n}\right)\end{align*}}$ を示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ S_n\end{align*}}$ を求めよ。



   (注)問題の表記を一部変更しています。

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  1. 2012/12/31(月) 23:57:00|
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