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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012大阪教育大 後期 数学1



第1問

  1辺の長さが1である正三角形ABCの辺BC上に点A1をとる。A1から
  辺ABに垂線A1C1を引き、点C1から辺ACに垂線C1B1を引き、さらに
  点B1から辺BCに垂線B1A2を引く。これを繰り返し、辺BC上に
  点A1、A2、・・・、An、・・・、辺AB上に点C1、C2、・・・、Cn、・・・、
  辺AC上に点B1、B2、・・・、Bn、をとる。BAn=xとする。
  次の問いに答えよ。

 (1) BCn、ACnをxを用いて表せ。

 (2) xn、xn+1が満たす漸化式を求めよ。

 (3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x_n\end{align*}}$ を求めよ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/12/25(火) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2012
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2012大阪教育大 後期 数学2



第2問

  次の問いに答えよ。

 (1) 実数a、bがa≧0、b≧0を満たすとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a+b\geqq 2\sqrt{ab}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (2) 実数x、yがx>y>0と
         x6y2-x5y3+x5y5-x4y6≧4
    を満たすとき、
         x3+y2≧3
    が成り立つことを示せ。



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  1. 2012/12/25(火) 23:57:00|
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2012大阪教育大 後期 数学3



第3問

  座標平面上の原点をOとする。実数を成分とする行列
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
  で表される座標平面上の移動をfで表す。また、行列R$\small\sf{\theta}$ 、Tを
         $\small\sf{\begin{align*} \sf R_{\theta}=\begin{pmatrix}\sf\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta\ \ &\ \ \cos\theta\end{pmatrix}\ \ ,\ \ T=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf -1\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とする。ただし、$\small\sf{-\pi\lt \theta\leqq\pi}$ とする。次の問いに答えよ。

 (1) 積$\small\sf{\sf R_{\theta}T\ ,\ \ TR_{\theta}}$ を求めよ。

 (2) すべての点P(x,y)に対して、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|=\left|\overrightarrow{\sf O\ f\ (P)}\right|\end{align*}}$
    が成り立つとき、行列Aはある角$\small\sf{\theta}$ を用いて、
         $\small\sf{\sf A=R_{\theta}}$ または $\small\sf{A=R_{\theta}T}$
    と表されることを示せ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|\end{align*}}$ はベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ の長さを表す。

 (3) $\small\sf{\sf A=R_{\theta}T}$ で表される移動fについて、原点Oを通る直線L上の
    すべての点Pに対して、f(P)が直線L上にあるとき、直線Lの
    方程式は、$\small\sf{\theta}$ を用いて
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos\frac{\theta}{2}\right)x+\left(\sin\frac{\theta}{2}\right)y=0\end{align*}}$ または $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\sin\frac{\theta}{2}\right)x-\left(\cos\frac{\theta}{2}\right)y=0\end{align*}}$
    と表されることを示せ。



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  1. 2012/12/26(水) 23:57:00|
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2012大阪教育大 後期 数学4



第4問

         $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf k}\sf =\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\left(\sin^2t\right)\left(\log t\right)\ dt\ \ \ \ (k=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) 不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\log (k\pi)\lt \rm I_{\sf k}<\frac{\pi}{2}\log (k+1)\pi\end{align*}}$
    を示せ。

 (2) 不等式
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\left(\int_1^n\log t\ dt+n\log \pi\right)<\int_{\pi}^{(n+1)\pi}\left(\sin^2t\right)\left(\log t\right)\ dt\end{align*}}$
                         $\small\sf{\begin{align*} \sf <\frac{\pi}{2}\left(\int_2^{n+2}\log t\ dt+n\log \pi\right)\end{align*}}$
    を示せ。

 (3) 極限値
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n\log n}\int_{\pi}^{(n+1)\pi}\left(\sin^2t\right)(\log t)\ dt\end{align*}}$
    を求めよ。


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  1. 2012/12/27(木) 23:57:00|
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