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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010京都工芸繊維大 前期 数学1



第1問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。点Oを中心とする円周上に反時計回りに並んだ
  5点A、B、C、D、Eがあり、∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOEは
  すべて$\small\sf{\theta}$ に等しい。$\small\sf{\alpha=2\pi-4\theta\ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\ ,\ \ t=\cos\theta}$ とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とtを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ が成り立つとき、$\small\sf{\alpha}$ は$\small\sf{\theta}$ に等しいこと
    を示せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/12/20(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2010
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2010京都工芸繊維大 前期 数学2



第2問

  nは2以上の自然数とする。1つの袋と1つの箱がある。袋には
  白玉3個と赤玉2個が入っており、箱には何も入っていない。
  次の操作を考える。

     袋から玉を1個取り出し、白玉なら袋に戻し、
     赤玉なら箱に入れる。
 
  この操作をn回繰り返す。n回目の操作の後、箱に入っている
  赤玉の個数をXとする。

 (1) kをn以下の自然数とする。k回目の操作では赤玉を取り出し、
    k回目以外のn-1回の操作では白玉を取り出す確率をnとk
    を用いて表せ。次に、X=1である確率を求めよ。

 (2) X=2である確率qnを求めよ。

 (3) Xの期待値Enを求めよ。また、極限
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\log(2-E_n)\end{align*}}$
    を求めよ。



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  1. 2012/12/21(金) 23:57:00|
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2010京都工芸繊維大 前期 数学3



第3問

  関数
         $\small\sf{\sf f(t)=2(\cos t-\sin t)}$
         $\small\sf{\sf g(t)=\cos t+\sin t}$
  を用いて媒介変数表示された、xy平面上の曲線
         $\small\sf{\sf C:\ x=f(t)\ ,\ \ y=g(t)}$
  がある。点A$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{4}\ ,\ \frac{3}{2}\right)\end{align*}}$ からC上の点P(f(t),g(t))までの距離AP
  の2乗AP2をh(t)とおく。
  
 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dt}\ h(t)=0\end{align*}}$ となるtの値を0≦t≦2$\small\sf{\pi}$ の範囲ですべて求めよ。

 (2) Cは楕円であることを示せ。

 (3) PがC上を動くとき、APを最小にするPの座標、およびAPを
    最大にするPの座標を求めよ。



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  1. 2012/12/22(土) 23:57:00|
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2010京都工芸繊維大 前期 数学4



第4問

 (1) 不定積分
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{1+e^x}\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。

 (2) 実数aに対して定積分
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^2\left|\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{1+e^a}\right|\ dx\end{align*}}$
    の値をS(a)とおく。aが0≦a≦2の範囲を動くとき、
    S(a)の最小値を求めよ。




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  1. 2012/12/23(日) 23:57:00|
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