第1問
xyz空間に6点
A(1，1，0)、B(－1，1，0)、C(－1，－1，0)、
D(1，－1，0)、P($\small\sf{\alpha}$ ，0、$\small\sf{\beta}$ )、Q(－$\small\sf{\alpha}$ ，0，$\small\sf{\beta}$ )
が与えられている。ただし、$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ は正の実数とする。
PB=PC=BC かつ PA=PD=PQ
であるとき、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を求めよ。
(2) 点P0($\small\sf{\alpha}$ ，0，0)を考える。Pから直線ABに下ろした垂線と
直線ABとの交点をHとし、Pから直線ADに下ろした垂線と
直線ADとの交点をKとする。このとき、2つの三角形△HP0P
と△PP0Kが相似であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
PB=PC=BCより
($\scriptsize\sf{\alpha}$ +1)2+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2=22
⇔ $\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+2$\scriptsize\sf{\alpha}$ =2 ････①
PA=PD=PQより
($\scriptsize\sf{\alpha}$ －1)2+1+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2=(2$\scriptsize\sf{\alpha}$ )2
⇔ $\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2－2$\scriptsize\sf{\alpha}$ =4$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－2 ････②
①－②より
4$\scriptsize\sf{\alpha}$ =4－4$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2
⇔ $\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\alpha}$ －1=0 ････③
これを$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＞0の範囲で解くと、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{-1+\sqrt5}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{-1+\sqrt5}{2}\right)^2+\beta^2+2\cdot \frac{-1+\sqrt5}{2}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \beta^2=\frac{6-2\sqrt5}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \beta=\sqrt{\frac{6-2\sqrt5}{4}}=\underline{\ \frac{-1+\sqrt5}{2}\ \ (>0)\ \ }\end{align*}}$
(2)
P($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，0，$\scriptsize\sf{\beta}$ )、P0($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，0，0)に対して、
H($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，1，0)、 K(1，0，0)
であり、(1)より$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜1なので、
P0H=1
P0K=|1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ |=1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ ．
よって、
PP0：P0K
=$\scriptsize\sf{\beta}$ ：1－$\scriptsize\sf{\alpha}$
=$\scriptsize\sf{\alpha}$ ：1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ ←(1)より$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\beta}$
=$\scriptsize\sf{\alpha}$ ：$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2 ←③より1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2
=1：$\scriptsize\sf{\alpha}$
=1：$\scriptsize\sf{\beta}$ ←(1)より$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\beta}$
=HP0：P0P
また、∠PP0K=∠HP0P=90°であり、
2組の辺の比が等しく、その間の角が等しいので、
△PP0Kと△HP0Pは相似となる。
(2)は、③に気づかなくても、そのまま数値計算すればOKです。
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- 2012/12/16(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2011
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第2問
Oを原点とするxy平面上を動く点Pの時刻tにおける座標(x，y)が
$\small\sf{\sf x=(1+t^2)\cos t}$
$\small\sf{\sf y=(1+t^2)\sin t}$
で与えられている。時刻tにおけるPの速度を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ とし、2つのベクトル
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ とする。ただし、$\small\sf{\sf 0\leqq\theta\leqq\pi}$ である。
(1) 時刻tにおいて、ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=(\cos t\ ,\ \sin t)\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=(-\sin t\ ,\ \cos t)\end{align*}}$ と実数
c、dが $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}=c\overrightarrow{\sf a}+d\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を満たすとき、c、dをtを用いて表せ。
(2) t＞0のとき、$\small\sf{\tan\theta}$ をtを用いて表せ。
(3) t＞0における$\small\sf{\theta}$ の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x、yをそれぞれtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=2t\ \cos t-(1+t^2)\ \sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dt}=2t\ \sin t+(1+t^2)\ \cos t\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}=\left(\frac{dx}{dt}\ ,\ \frac{dy}{dt}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2t\ \cos t-(1+t^2)\ \sin t\ ,\ 2t\ \sin t+(1+t^2)\ \cos t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2t\ \left(\cos t\ ,\ \sin t\right)+(1+t^2)\left(-\sin t\ ,\ \cos t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2t\ \overrightarrow{\sf a}+(1+t^2)\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}=c\overrightarrow{\sf a}+d\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ c=2t\ \ ,\ \ d=1+t^2\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
与えられた$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf a}\right|=\left|\overrightarrow{\sf b}\right|=\sin^2t+\cos^2t=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-\sin t\cos t+\sin t\cos t=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf v}\right|^2=\left|2t\ \overrightarrow{\sf a}+(1+t^2)\overrightarrow{\sf b}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4t^2\ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+4t(1+t^2)\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+(1+t^2)^2\left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4t^2+(1+t^2)^2\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\left((1+t^2)\cos t\ ,\ (1+t^2)\sin t\right)=(1+t^2)\ \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|=(1+t^2)\ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+t^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf v}=2t(1+t^2)\left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2+(1+t^2)^2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2t(1+t^2)\end{align*}}$ ．
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf v}}{\left|\overrightarrow{\sf OP}\right|\left|\overrightarrow{\sf v}\right|}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2t(1+t^2)}{(1+t^2)\sqrt{4t^2+(1+t)^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2t}{\sqrt{4t^2+(1+t)^2}}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4t^2+(1+t^2)^2}{(2t)^2}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(1+t^2)^2}{(2t)^2}\end{align*}}$ ．
ここで、t＞0より、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0であり、
0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、$\scriptsize\sf{\theta}$ は鋭角である。
よって、tan$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0となるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \tan\theta=\frac{1+t^2}{2t}\ \ (>0)\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta=\frac{1+t^2}{2t}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t}+t\right)\end{align*}}$ ．
t＞0より、相加相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t}+t\right)\geqq \sqrt{\frac{1}{t}\cdot t}=1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\theta\geqq 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\theta}$ は鋭角なので、この範囲でtan$\scriptsize\sf{\theta}$ は単調に増加する。
よって、$\scriptsize\sf{\tan\theta=1}$ のとき$\scriptsize\sf{\theta}$ は最小となり、
その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \theta=\frac{\pi}{4}\ \ }\end{align*}}$ .
(2)は、うまく $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて計算しましょう。
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- 2012/12/17(月) 23:57:00|
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第3問
(1) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{x^2}\log x\ dx\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{x^2}\left(\log x\right)^2\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 実数aに対して、曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x}\left(a+\log x\right)\ \ (1\leqq x\leqq e)\end{align*}}$ とx軸および
2直線x=1、x=eで囲まれた部分を、x軸のまわりに1回転
させてできる立体の体積をVとする。Vをaを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{x^2}\log x\ dx=-\frac{1}{x}\log x-\int \left(-\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{x}\log x+\int \frac{1}{x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{x}\log x-\frac{1}{x}+C_1\ \ }\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{x^2}\left(\log x\right)^2\ dx=-\frac{1}{x}\left(\log x\right)^2-\int\left(-\frac{1}{x}\right)\cdot2(\log x)\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{x}\left(\log x\right)^2+2\int\frac{1}{x^2}\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{x}\left(\log x\right)^2+2\left(-\frac{1}{x}\log x-\frac{1}{x}+C_1\right)\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{x}\left(\log x\right)^2-\frac{2}{x}\log x-\frac{2}{x}+C_2\ \ }\end{align*}}$
ただし、C1、C2は積分定数である。
(2)
回転体の体積Vは、aの値によらず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_1^e\left\{\frac{1}{x}\left(a+\log x\right)\right\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left\{ a^2\int_1^e\frac{1}{x^2}\ dx+2a\int_1^e\frac{1}{x^2}\log x\ dx+\int_1^e\frac{1}{x^2}\left(\log x\right)^2 dx\right\}\end{align*}}$
として求めることができ、(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\frac{1}{x^2}\ dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^e=1-\frac{1}{e}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\frac{1}{x^2}\log x\ dx=\left[-\frac{1}{x}\log x-\frac{1}{x}\right]_1^e=1-\frac{2}{e}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\frac{1}{x^2}\left(\log x\right)^2 dx=\left[-\frac{1}{x}\left(\log x\right)^2-\frac{2}{x}\log x-\frac{2}{x}\right]_1^e=2-\frac{5}{e}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\left\{\left(1-\frac{1}{e}\right)a^2+2\left(1-\frac{2}{e}\right)a+2-\frac{5}{e}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{e}\left\{\left(e-1\right)a^2+2\left(e-2\right)a+2e-5\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{e}\left\{\left(e-1\right)\left(a+\frac{e-2}{e-1}\right)^2-\left(\frac{e-2}{e-1}\right)^2+2e-5\right\}\end{align*}}$ ．
よって、Vを最小にするaの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\underline{\ -\frac{e-2}{e-1}\ \ }\end{align*}}$ ．
(1)の2つの目の積分ができるかがポイントです。
このパターンの積分は2012年も出題されていますね。
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- 2012/12/18(火) 23:57:00|
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第4問
有理数rについて、次の2つの条件を与える。
(ⅰ) 1、3、7のいずれかの数pと自然数mを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{p}{2^m}\end{align*}}$
と表される。
(ⅱ) r＜1
条件(ⅰ)、(ⅱ)を満たすような有理数rの全体を大きい方から順に
並べてできる数列a1、a2、a3、････、an、･･･を考える。
(1) a1、a2、a3、a4を求めよ。
(2) 数列{an}の一般項を求めよ。
(3) Nを自然数とする。数列{an}の初項から第3N項までの和TNを
Nを用いて表せ。さらに極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}T_N\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
p=7に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{7}{2}\ ,\ \frac{7}{4}\ ,\ \frac{7}{8}\ ,\ \frac{7}{16}\ ,\ \frac{7}{32}\ ,\ \ldots\end{align*}}$
p=3に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{3}{2}\ ,\ \frac{3}{4}\ ,\ \frac{3}{8}\ ,\ \frac{3}{16}\ ,\ \frac{3}{32}\ ,\ \ldots\end{align*}}$
p=1に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{1}{8}\ ,\ \frac{1}{16}\ ,\ \frac{1}{32}\ ,\ \ldots\end{align*}}$
このうちでr＜1であるものを大きいものから順に並べると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{8}\ ,\ \frac{3}{4}\ ,\ \frac{1}{2}\ ,\ \frac{7}{16}\ ,\ \frac{3}{8}\ ,\ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{7}{32}\ ,\ \frac{3}{16}\ ,\ \ldots\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_1=\frac{7}{8}\ \ ,\ \ a_2=\frac{3}{4}\ \ ,\ \ a_=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ a_=\frac{7}{16}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
任意の自然数nに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{2^{m+2}}-\frac{3}{2^{m+1}}=\frac{7-6}{2^{m+2}}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{7}{2^{m+2}}>\frac{3}{2^{m+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2^{m+1}}-\frac{1}{2^{m}}=\frac{3-2}{2^{m+1}}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3}{2^{m+1}}>\frac{1}{2^{m}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^{m}}-\frac{7}{2^{m+3}}=\frac{8-7}{2^{m+3}}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2^{m}}>\frac{7}{2^{m+3}}\end{align*}}$
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{2^{m+2}}>\frac{3}{2^{m+1}}>\frac{1}{2^m}>\frac{7}{2^{m+3}}\end{align*}}$
であり、これが任意の自然数mに対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{8}>\frac{3}{4}>\frac{1}{2}>\frac{7}{16}>\frac{3}{8}>\ldots>\frac{7}{2^{m+2}}>\frac{3}{2^{m+1}}>\frac{1}{2^m}>\frac{7}{2^{m+3}}>\ldots\end{align*}}$ ．
rとして考えられる数のすべてが、この数列の中に含まれる
ことなるので、数列{a1}の一般項は、kを自然数として
n=3k－2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{3k-2}=\frac{7}{2^{k+2}}\end{align*}}$
n=3k－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{3k-1}=\frac{3}{2^{k+1}}\end{align*}}$
n=3kのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{3k}=\frac{1}{2^{k}}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_N=\sum_{n=1}^{3N}\ a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{N}\left(a_{3k-2}+a_{3k-1}+a_{3k}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{7}{2^{k+2}}+\frac{3}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{N}\frac{7+6+4}{2^{k+2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{17}{8}\sum_{k=1}^{N}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{17}{8}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{N}}{1-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{17}{4}\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{N}\right\}\ \ }\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\ \left(\frac{1}{2}\right)^{N}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\ T_N=\underline{\ \frac{17}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)は、実際に書き出せば、3つ周期になるということに
気づくと思いますが、これをキチンと書くのは難しいでしょうね。
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- 2012/12/19(水) 23:57:00|
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