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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011京都工芸繊維大 前期 数学1



第1問

  xyz空間に6点
       A(1,1,0)、B(-1,1,0)、C(-1,-1,0)、
       D(1,-1,0)、P($\small\sf{\alpha}$ ,0、$\small\sf{\beta}$ )、Q(-$\small\sf{\alpha}$ ,0,$\small\sf{\beta}$ )
  が与えられている。ただし、$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ は正の実数とする。
       PB=PC=BC かつ PA=PD=PQ
  であるとき、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を求めよ。

 (2) 点P0($\small\sf{\alpha}$ ,0,0)を考える。Pから直線ABに下ろした垂線と
    直線ABとの交点をHとし、Pから直線ADに下ろした垂線と
    直線ADとの交点をKとする。このとき、2つの三角形△HP0P
    と△PP0Kが相似であることを示せ。



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  1. 2012/12/16(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2011
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2011京都工芸繊維大 前期 数学2



第2問

  Oを原点とするxy平面上を動く点Pの時刻tにおける座標(x,y)が
       $\small\sf{\sf x=(1+t^2)\cos t}$
       $\small\sf{\sf y=(1+t^2)\sin t}$
  で与えられている。時刻tにおけるPの速度を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ とし、2つのベクトル
   $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\ ,\ \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ のなす角を$\small\sf{\theta}$ とする。ただし、$\small\sf{\sf 0\leqq\theta\leqq\pi}$ である。

 (1) 時刻tにおいて、ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=(\cos t\ ,\ \sin t)\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=(-\sin t\ ,\ \cos t)\end{align*}}$ と実数
    c、dが $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}=c\overrightarrow{\sf a}+d\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を満たすとき、c、dをtを用いて表せ。

 (2) t>0のとき、$\small\sf{\tan\theta}$ をtを用いて表せ。

 (3) t>0における$\small\sf{\theta}$ の最小値を求めよ。



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  1. 2012/12/17(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2011
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2011京都工芸繊維大 前期 数学3



第3問

 (1) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{x^2}\log x\ dx\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{1}{x^2}\left(\log x\right)^2\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 実数aに対して、曲線 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x}\left(a+\log x\right)\ \ (1\leqq x\leqq e)\end{align*}}$ とx軸および
    2直線x=1、x=eで囲まれた部分を、x軸のまわりに1回転
    させてできる立体の体積をVとする。Vをaを用いて表せ。




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  1. 2012/12/18(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2011
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2011京都工芸繊維大 前期 数学4



第4問

  有理数rについて、次の2つの条件を与える。
    (ⅰ) 1、3、7のいずれかの数pと自然数mを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{p}{2^m}\end{align*}}$
       と表される。
    (ⅱ) r<1
  条件(ⅰ)、(ⅱ)を満たすような有理数rの全体を大きい方から順に
  並べてできる数列a1、a2、a3、・・・・、an、・・・を考える。

 (1) a1、a2、a3、a4を求めよ。

 (2) 数列{an}の一般項を求めよ。

 (3) Nを自然数とする。数列{an}の初項から第3N項までの和TN
    Nを用いて表せ。さらに極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}T_N\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2012/12/19(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2011
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