第1問
半径1の円をC1とし、C1に内接する正三角形をA1とする。さらに、
A1に内接する円をC2、C2に内接する正三角形をA2とし、同様に
して次々に円C3、正三角形A3、円4、正三角形A4、････をつくる。
以下の問いに答えよ。
(1) A1の1辺の長さL1およびA2の1辺の長さL2を求めよ。
(2) 正の整数nに対し、円Cnの面積をSn、正三角形Anの面積をTn
とする。SnとTnを求めよ。
(3) (2)のSn、Tnに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\left(S_n-T_n\right)\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
正三角形A1において、正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{L_1}{\sin 60^{\circ}}=2\cdot 1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ L_1=\sqrt3\ \ }\end{align*}}$ ．
A1の内接円C2の半径をr2とし、
A1の面積をT1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_1=\frac{1}{2}\cdot (L_1)^2\sin 60^{\circ}=\frac{1}{2}\ r_2(L_1+L_1+L_1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r_2=\frac{(L_1)^2}{3L_1}\cdot\sin 60^{\circ}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
正三角形A2において、正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{L_2}{\sin 60^{\circ}}=2r_2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ L_2=\frac{\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
円Cnの半径をrn、正三角形Anの一辺をLnとする。
(1)と同様に考え、Anに正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{L_n}{\sin 60^{\circ}}=2\ r_n\ \ \Leftrightarrow\ \ L_n=\sqrt3\ r_n\end{align*}}$ ････①
また、Anの面積Tnについて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\frac{1}{2}\cdot (L_n)^2\sin 60^{\circ}=\frac{1}{2}\ r_{n+1}(L_n+L_n+L_n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r_{n+1}=\frac{1}{2\sqrt3}\ L_n\end{align*}}$ ････②
①を②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n+1}=\frac{1}{2\sqrt3}\cdot\sqrt3\ r_n=\frac{1}{2}\ r_n\end{align*}}$
となり、数列{rn}は、初項r1=1、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_n=1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$
なので、円Cnの面積Snは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\pi\left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}=\underline{\ \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\pi\ \ }\end{align*}}$
一方、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_{n+1}=\sqrt3\ r_{n+1}\end{align*}}$
となるので、これに②を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_{n+1}=\sqrt3\cdot\frac{1}{2\sqrt3}\ L_n=\frac{1}{2}\ L_n\end{align*}}$
を得る。
これより数列{Ln}は、初項L1=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_n=\sqrt3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{align*}}$ ．
よって、正三角形Anの面積Tnは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\frac{1}{2}\cdot\left\{\sqrt3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}^2\sin60^{\circ}=\underline{\ \frac{3\sqrt3}{4}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\ \ }\end{align*}}$
となる。
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\left(S_n-T_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}S_n-\sum_{n=1}^{\infty}T_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}S_n-\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}T_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\pi-\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{3\sqrt3}{4}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^N}{1-\frac{1}{4}}-\frac{3\sqrt3}{4}\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1-\left(\frac{1}{4}\right)^N}{1-\frac{1}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\cdot\frac{1-0}{1-\frac{1}{4}}-\frac{3\sqrt3}{4}\cdot\frac{1-0}{1-\frac{1}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3}\pi-\sqrt3\ \ }\end{align*}}$ ．
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第2問
1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OAを1:3に内分する
点をP、辺BCの中点をQとする。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ は垂直であることを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ は垂直であることを示せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ の大きさを求めよ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ のなす角を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
正四面体の一辺の長さが1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|=\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|=\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|=1\end{align*}}$ ････①
であり、各面は正三角形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=1\cdot 1\cdot \sin 60^{\circ}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ････②
(1)
①、②を用いて内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=\overrightarrow{\sf OA}\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←②より
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ は垂直である。
(2)
Pは辺OAを1:3に内分する点、Qは辺BCの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ ････③
これを用いて内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}-\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$ ←③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2-\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2-\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ は垂直である。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf PQ}\right|^2=\left|\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}-\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OA}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16}\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2+\frac{1}{4}\left(\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2\right)-\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16}+\frac{1}{4}\cdot 2-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{16}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf PQ}\right|=\underline{\ \frac{3}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ の内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OQ}-\overrightarrow{\sf OP}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}-\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$ ←③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2+\frac{1}{4}\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}-\frac{3}{4}\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{8}\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ のなす角を$\scriptsize\sf{\theta}$ （0°≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦180°）とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf PQ}}{\left|\overrightarrow{\sf AB}\right|\ \left|\overrightarrow{\sf PQ}\right|}=\frac{\frac{3}{8}}{1\cdot\frac{3}{4}}=\frac{1}{2} \end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\theta}$ =60°
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第3問
以下の問いに答えよ。
(1) 連立不等式
y＞x、 y＜2x－1
の表す領域を図示せよ。
(2) aを定数とする。連立不等式
y＞x、 y＜2x－1、 y＞a(x－2)
の表す領域が、三角形の内部となるようなaの条件を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y＞xの表す領域は、直線y=xの上側、
y＜2x－1の表す領域は、直線y=2x－1の下側
なので、これらが共通する部分を図示すると、
右図のようになる。
（ただし、境界線上の点は含まない。）
(2)
まず、3直線y=x、y=2x－1、y=a(x－2)が
三角形をなすためには、互いに平行であっては
いけないので、
a≠1 かつ a≠2 ････①
さらに、2直線y=x、y=2x－1の交点(1，1)が
領域y＞a(x－2)内に含まれる必要があるので、
1＞a･(1－2) ⇔ a＞－1 ････②
2直線y=xとy=a(x－2)の交点のx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=a(x-2)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2a}{a-1}\ \ \ (\because a\ne 1)\end{align*}}$
であり、これが1より大きければよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a}{a-1}>1\end{align*}}$ ････③
(ⅰ) a＞1のとき
③ ⇔ a＞－1 となるので、a＞1
(ⅱ) a＜1のとき
③ ⇔ a＜－1 となり、②より不適
2直線y=2x-1とy=a(x－2)の交点のx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x-1=a(x-2)\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{2a-1}{a-2}\ \ \ (\because a\ne 1)\end{align*}}$
であり、これが1より大きければよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{a-2}>1\end{align*}}$ ････④
(ⅲ) a＞2のとき
④ ⇔ a＞－1 となるので、a＞2
(ⅳ) a＜2のとき
④ ⇔ a＜－1 となり、②より不適
以上より、条件を満たすaの値の範囲は、
a＞2
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第4問
tは-1＜t＜1を満たす実数とする。xの2次方程式
$\small\sf{\sf x^2-4x+2(t^2+1)=0}$
の解を$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ とする。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ は異なる2つの実数であることを示せ。
(2) $\small\sf{\sf p=e^{\alpha}\ ,\ \ q=e^{\beta}}$ とおく。p＞1かつq＞1であることを示せ。
ただし、eは自然対数の底である。
(3) (2)のp、qに対し、$\small\sf{\rm I\sf =\log_pq+\log_qp}$ とする。Iをtを用いて
表せ。さらに、Iのとり得る値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
x2－4x+2(t2+1)=0 ････(※)
(1)
(※)の判別式Dを考えると、
D/4=22－2(t2+1)
=2－2t2
=2(1+t)(1－t)．
ここで、－1＜t＜1なので、
D/4＞0
となり、(※)は異なる2つの実数解を持つ。
よって、題意は示された。
(2)
解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\alpha+\beta=4\ ,\ \ \alpha\beta=2(t^2+1)}$ ････①
であり、$\scriptsize\sf{\alpha+\beta\ ,\ \ \alpha\beta}$ ともに正となる。
このとき、(1)より$\scriptsize\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ ともに実数なので、
$\scriptsize\sf{\alpha\gt 0}$ かつ $\scriptsize\sf{\beta\gt 00}$
となる。
e＞1なので、
$\scriptsize{\sf p=e^{\alpha}\gt e^0=1}$
$\scriptsize{\sf \sf q=e^{\beta}\gt e^0=1 }$
となり、題意は示された。
(3)
$\scriptsize\sf{\sf p=e^{\alpha}}$ および $\scriptsize\sf{\sf q=^{\beta}}$ の両辺の自然対数をとると、
$\scriptsize{\sf \log p=\alpha\ ,\ \ \log q=\beta}$ ．
これと①より、
$\scriptsize{\sf \log p+\log q=4}$
$\scriptsize{\sf \log p\cdot\log q=2(t^2+1)}$ ････②
与えられたIの底をeに変換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\frac{\log q}{\log p}+\frac{\log p}{\log q}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(\log p)^2+(\log q)^2}{\log p\cdot \log q}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(\log p+\log q)^2-2\log p\cdot\log q}{\log p\cdot \log q}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(\log p+\log q)^2}{\log p\cdot \log q}-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4^2}{2(t^2+1)}-2\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{8}{t^2+1}-2\ \ }\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\lt t<1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq t^2<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}<\frac{1}{t^2+1}\leqq 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2<\frac{8}{t^2+1}-2\leqq 6\end{align*}}$
となるので、Iのとり得る値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\lt \rm I\sf \leqq 6\ \ }\end{align*}}$ ．
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