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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012京都工芸繊維大 前期 数学1



第1問

  kは正の実数とする。xy平面において、x軸および2つの曲線
         $\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=k\cos x\ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf C_2:\ y=\frac{1}{k}\sin x\ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
  で囲まれた図形の面積をS(k)とする。

 (1) C1とC2の交点のx座標を$\small\sf{\alpha}$ とするとき、cos$\small\sf{\alpha}$ およびsin$\small\sf{\alpha}$ を
    kを用いて表せ。

 (2) S(k)をkを用いて表せ。

 (3) kがk>0の範囲で動くときのS(k)の最大値を求めよ。




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  1. 2012/12/12(水) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2012
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2012京都工芸繊維大 前期 数学2



第2問

  xyz空間内に四面体PABCがある。△ABCはxy平面内にある
  鋭角三角形とし、頂点Pのz座標は正とする。Pからxy平面に
  下ろした垂線をPHとし、Hは△ABCの内部にあるとする。Hから
  直線AB、BC、CAに下ろした垂線をそれぞれHK1、HK2、HK3
  とする。そのときPK1⊥AB、PK2⊥BC、PK3⊥CAである。
  ∠PK1H=$\small\sf{\alpha}$ 1、∠PK2H=$\small\sf{\alpha}$ 2、∠PK3H=$\small\sf{\alpha}$ 3とし、△PAB、
  △PBC、△PCAの面積をそれぞれS1、S2、S3とする。

 (1) △HABの面積を$\small\sf{\alpha}$ 1、S1を用いて表せ。

 (2) 3つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf L_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf L_2}\ ,\ \overrightarrow{\sf L_3}\end{align*}}$ は、大きさがそれぞれS1、S2、S3
    であり、向きがそれぞれ平面PAB、平面PBC、平面PCAに
    垂直であるとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf L_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf L_2}\ ,\ \overrightarrow{\sf L_3}\end{align*}}$ のz成分はすべて正と
    する。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf L_1}+\overrightarrow{\sf L_2}+\overrightarrow{\sf L_3}\end{align*}}$ のz成分は△ABCの面積に等しい
    ことを示せ。

 (3) 3辺AB、BC、CAの長さの比AB:BC:CAを$\small\sf{\alpha_1\ ,\ \alpha_2\ ,\ \alpha_3}$ 、
    S1、S2、S3を用いて表せ。


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  1. 2012/12/13(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2012
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2012京都工芸繊維大 前期 数学3



第3問

  aを正の定数とする。次の等式が成り立つとき、logaの値を
  求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\int_1^e\log(ax)\ dx}{\int_1^ex\ dx}=\int_1^e\frac{\log(ax)}{x}\ dx\end{align*}}$



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  1. 2012/12/14(金) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2012
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2012京都工芸繊維大 前期 数学4



第4問

  pを自然数とし、rを1より大きい実数とする。数列 an
  (n=1,2,3,・・・)は次の条件(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)をすべて
  満たしている。
      $\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ a_2=p\end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ a_3\leqq 13\end{align*}}$   
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) すべての自然数nについて、
         an+2=pan+1-an
    が成り立つことを示せ。

 (2) pおよびrの値を求めよ。

 (3) mを自然数とする。2m個の数a1,a2,・・・・,a2mのうち、
    3の倍数であるものすべての和を求めよ。



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  1. 2012/12/15(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2012
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