第1問
kは正の実数とする。xy平面において、x軸および2つの曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=k\cos x\ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_2:\ y=\frac{1}{k}\sin x\ \left(0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
で囲まれた図形の面積をS(k)とする。
(1) C1とC2の交点のx座標を$\small\sf{\alpha}$ とするとき、cos$\small\sf{\alpha}$ およびsin$\small\sf{\alpha}$ を
kを用いて表せ。
(2) S(k)をkを用いて表せ。
(3) kがk＞0の範囲で動くときのS(k)の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C1、C2の交点のx座標が$\scriptsize\sf{\alpha}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k\cos \alpha=\frac{1}{k}\sin \alpha\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=k^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \tan \alpha=k^2\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos^2\alpha}=1+tan^2\alpha=1+k^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\alpha=\underline{\ \frac{1}{\sqrt{1+k^4}}\ }\ \ \ \left(\because\ 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\cos\alpha\tan\alpha=\underline{\ \frac{k^2}{\sqrt{1+k^4}}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
x軸およびC1、C2の位置関係は
右図のようになるので、
囲まれる図形の面積S(k)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(k)=\int_0^{\alpha}\frac{1}{k}\sin x\ dx+\int_{\alpha}^{\pi/2}k\cos x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{k}\cos x\right]_0^{\alpha}+\left[k\sin x\right]_{\alpha}^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{k}\cos\alpha+\frac{1}{k}+k-k\sin\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{k\sqrt{1+k^4}}+\frac{1}{k}+k-\frac{k^3}{\sqrt{1+k^4}}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{k}+k-\frac{1+k^4}{k\sqrt{1+k^4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1+k^2-\sqrt{1+k^4}}{k}\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
(2)で求めたS(k)をkで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S'(k)=\frac{\left(2k-\frac{4k^3}{2\sqrt{1+k^4}}\right)k-\left(1+k^2-\sqrt{1+k^4}\right)}{k^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(2k\sqrt{1+k^4}-2k^3\right)k-\left\{\left(1+k^2\right)\sqrt{1+k^4}-\left(1+k^4\right)\right\}}{k^2\sqrt{1+k^4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(k^2-1\right)\sqrt{1+k^4}-\left(k^4-1\right)}{k^2\sqrt{1+k^4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(k^2-1\right)\sqrt{1+k^4}-\left(k^2-1\right)\left(k^2+1\right)}{k^2\sqrt{1+k^4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(k^2-1\right)\left\{\sqrt{1+k^4}-\left(k^2+1\right)\right\}}{k^2\sqrt{1+k^4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(k^2-1\right)\left\{\left(1+k^4\right)-\left(k^2+1\right)^2\right\}}{k^2\sqrt{1+k^4}\left\{\sqrt{1+k^4}+\left(k^2+1\right)\right\}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-2\left(k^2-1\right)}{\sqrt{1+k^4}\left\{\sqrt{1+k^4}+\left(k^2+1\right)\right\}}\end{align*}}$
となるので、
0＜k＜1で S'(k)＞0、 1＜kで S'(k)＞0
となる。
よって、k=1のとき、S(k)は最大となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(1)=\frac{1+1^2-\sqrt{1+1^4}}{1}=\underline{\ 2-\sqrt2\ \ }\end{align*}}$
である。
(3)の微分計算が面倒ですが、頑張ってください。
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- 2012/12/12(水) 23:54:00|
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第2問
xyz空間内に四面体PABCがある。△ABCはxy平面内にある
鋭角三角形とし、頂点Pのz座標は正とする。Pからxy平面に
下ろした垂線をPHとし、Hは△ABCの内部にあるとする。Hから
直線AB、BC、CAに下ろした垂線をそれぞれHK1、HK2、HK3
とする。そのときPK1⊥AB、PK2⊥BC、PK3⊥CAである。
∠PK1H=$\small\sf{\alpha}$ 1、∠PK2H=$\small\sf{\alpha}$ 2、∠PK3H=$\small\sf{\alpha}$ 3とし、△PAB、
△PBC、△PCAの面積をそれぞれS1、S2、S3とする。
(1) △HABの面積を$\small\sf{\alpha}$ 1、S1を用いて表せ。
(2) 3つのベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf L_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf L_2}\ ,\ \overrightarrow{\sf L_3}\end{align*}}$ は、大きさがそれぞれS1、S2、S3
であり、向きがそれぞれ平面PAB、平面PBC、平面PCAに
垂直であるとする。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf L_1}\ ,\ \overrightarrow{\sf L_2}\ ,\ \overrightarrow{\sf L_3}\end{align*}}$ のz成分はすべて正と
する。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf L_1}+\overrightarrow{\sf L_2}+\overrightarrow{\sf L_3}\end{align*}}$ のz成分は△ABCの面積に等しい
ことを示せ。
(3) 3辺AB、BC、CAの長さの比AB：BC：CAを$\small\sf{\alpha_1\ ,\ \alpha_2\ ,\ \alpha_3}$ 、
S1、S2、S3を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△PK1Hにおいて、
HK1=PK1 cos$\scriptsize\sf{\alpha}$ 1
であり、PK1⊥ABより△PABの面積S1は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}\ AB\cdot PK_1\end{align*}}$ ････①
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle HAB=\frac{1}{2}\ AB\cdot HK_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ AB\cdot PK_1\cdot\cos\alpha_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ S_1\ \cos\alpha_1\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
AB⊥PK1、AB⊥HK1なので、平面PAB⊥平面PK1H．
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf L_1}\end{align*}}$ は平面PABと垂直なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf L_1}\end{align*}}$ と平面PK1Hは
平行である。
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf L_1}\end{align*}}$ の始点が点K1と一致するようにし、そのときの
終点をQ1とすると、
∠HK1Q1=90°+$\scriptsize\sf{\alpha}$ 1 ････②
となる。
ベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ のz成分を $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z(\overrightarrow{\sf a})\end{align*}}$ と表すことにすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z(\overrightarrow{\sf L_1})>0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z(\overrightarrow{\sf L_1})=\left|\overrightarrow{\sf L_1}\right|\ \sin(90^{\circ}+\alpha_1)\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =S_1\cos\alpha_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\triangle HAB\end{align*}}$ ←(1)より
他についても同様に考えることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z\left(\overrightarrow{\sf L_1}+\overrightarrow{\sf L_2}+\overrightarrow{\sf L_3}\right)=z\left(\overrightarrow{\sf L_1}\right)+z\left(\overrightarrow{\sf L_2}\right)+z\left(\overrightarrow{\sf L_3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\triangle HAB+\triangle HBC+\triangle HCA\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\triangle ABC\end{align*}}$ ．
よって、題意は示された。
(3)
△PK1Hにおいて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha_1=\frac{PH}{PK_1}\ \ \Leftrightarrow\ \ PK_1=\frac{PH}{\sin\alpha_1}\end{align*}}$
であり、これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\frac{2S_1}{PK_1}=\frac{2S_1\ \sin\alpha_1}{PH}\end{align*}}$ ．
他についても同様に考えることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB:BC:CA=\frac{2S_1\sin\alpha_1}{PH}:\frac{2S_2\sin\alpha_2}{PH}:\frac{2S_3\sin\alpha_3}{PH}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ S_1\sin\alpha_1:S_2\sin\alpha_2:S_3\sin\alpha_3\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
(2)が少し難しいかもしれませんね。
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- 2012/12/13(木) 23:57:00|
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第3問
aを正の定数とする。次の等式が成り立つとき、logaの値を
求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\int_1^e\log(ax)\ dx}{\int_1^ex\ dx}=\int_1^e\frac{\log(ax)}{x}\ dx\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
左辺の分子および分母の定積分を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\log(ax)\ dx=\int_1^e\left(\log a+\log x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[(\log a)x+x\log x-x\right]_1^e\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{(\log a)e+e\log e-e\right\}-\left(\log a+\log 1-1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(\log a)(e-1)+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^ex\ dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^e=\frac{1}{2}\left(e^2-1\right)\end{align*}}$ ．
一方、右辺の定積分は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\frac{\log(ax)}{x}\ dx=\int_1^e\frac{\log a}{x}\ dx+\int_1^e\frac{\log x}{x}\ dx\end{align*}}$
と変形でき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\frac{\log a}{x}\ dx=\left[\left(\log a\right)\log x\right]_1^e=\log a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\frac{\log x}{x}\ dx=\left[(\log x)^2\right]_1^e-\int_1^e\frac{\log x}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\int_1^e\frac{\log x}{x}\ dx=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \int_1^e\frac{\log x}{x}\ dx=\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^e\frac{\log (ax)}{x}\ dx=\frac{1}{2}+\log a\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(\log a)(e-1)+1}{\frac{1}{2}\left(e^2-1\right)}=\frac{1}{2}+\log a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (4e-4)\log a+4=(e^2-1)(1+2\log a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2e^2-4e+2)\log a=-e^2+5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log a=\frac{-e^2+5}{2e^2-4e+2}=\underline{\ \frac{-e^2+5}{2(e-1)^2}\ \ }\end{align*}}$
logxの不定積分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\int \log x\ dx=x\log x-x+C}\end{align*}}$ （C：積分定数）
は、既知のものとして計算しています。
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- 2012/12/14(金) 23:54:00|
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第4問
pを自然数とし、rを1より大きい実数とする。数列 an
（n=1，2，3，･･･）は次の条件(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)をすべて
満たしている。
$\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ a_2=p\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ a_3\leqq 13\end{align*}}$
このとき、次の問いに答えよ。
(1) すべての自然数nについて、
an+2=pan+1－an
が成り立つことを示せ。
(2) pおよびrの値を求めよ。
(3) mを自然数とする。2m個の数a1，a2，････，a2mのうち、
3の倍数であるものすべての和を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ)、(ⅱ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=r+\frac{1}{r}=p\end{align*}}$ ････①
なので、これと(ⅰ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p\ a_{n+1}-a_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(r+\frac{1}{r}\right)\left(r^n+\frac{1}{r^n}\right)-\left(r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r^{n+1}+\frac{1}{r^{n+1}}+r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}}-\left(r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r^{n+1}+\frac{1}{r^{n+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a_{n+2}\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(2)
(ⅰ)、(ⅲ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=r^2+\frac{1}{r^2}\leqq 13\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(r+\frac{1}{r}\right)^2-2\leqq 13\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2-2\leqq 13\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p^2\leqq 15\end{align*}}$ ････②
また、①において r＞0なので、相加相乗平均より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=r+\frac{1}{r}\geqq 2\sqrt{r\cdot\frac{1}{r}}=2\end{align*}}$ ････③
この式の等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{1}{r}\end{align*}}$
すなわち、r=1のときであるが、題意よりr＞1なので、
③の等号は成立しない。
すなわち、p＞2である。
これと②を満たすような自然数pの値は、
p=3
である。これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r+\frac{1}{r}=3\ \ \Leftrightarrow\ \ r^2-3r+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\ \frac{3+\sqrt5}{2}\ (>1)}\end{align*}}$ ．
(3)
(ⅰ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=r^0+\frac{1}{r^0}=2\end{align*}}$
(2)より、
a2=3
以下、(1)を用いて順次計算していくと、
a3=3･3－2=7
a4=3･7－3=18
a5=3･18－7=47
a6=3･47－18=123
となるので、
「anの奇数番目の項は3の倍数とならず、
偶数番目の項は3の倍数となる」････(A)
と類推できる。
このことを数学的帰納法で示す。
まず、a1、a2については自明なので、
a2n-1は3の倍数にならず、a2nが3の倍数になると仮定する。
(1)より、
a2n+1=3a2n－a2n-1
となる。ここで、
3a2nは3の倍数であり、仮定よりa2n-1は3の倍数ではない
ので、a2n+1は3の倍数とならない。
さらに、(1)より
a2n+2=3a2n+1－a2n
となり、3a2n+1、a2nともに3の倍数なので、
a2n+2も3の倍数となる。
よって、(A)は示された。
これより、a1，a2，････，a2mのうち、
3の倍数であるものすべての和をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=a_2+a_4+\ldots +a_{2m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(r+\frac{1}{r}\right)+\left(r^3+\frac{1}{r^3}\right)+\ldots +\left(r^{2m-1}+\frac{1}{r^{2m-1}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\left(1+r^2+\ldots +r^{2(m-1)}\right)+\frac{1}{r}\left\{1+\left(\frac{1}{r}\right)^2+\ldots\left(\frac{1}{r}\right)^{2(m-1)}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{r\left(r^{2m}-1\right)}{r^2-1}+\frac{1}{r}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{r^2}\right)^{m-1}}{1-\frac{1}{r^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{r}{r^2-1}\left(r^{2m}-1\right)+\frac{r}{r^2-1}\left\{1-\left(\frac{1}{r^2}\right)^{m-1}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{r}{r^2-1}\left\{r^{2m}-\left(\frac{1}{r^2}\right)^{m-1}\right\}\end{align*}}$ ．
ここで、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r^2=\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{7+3\sqrt5}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{r^2}=\frac{2}{7+3\sqrt5}=\frac{7-3\sqrt5}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\frac{3+\sqrt5}{2}}{\frac{7+3\sqrt5}{2}-1}\left\{\left(\frac{7+3\sqrt5}{2}\right)^m-\left(\frac{7-3\sqrt5}{2}\right)^m\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3+\sqrt5}{5+3\sqrt5}\left\{\left(\frac{7+3\sqrt5}{2}\right)^m-\left(\frac{7-3\sqrt5}{2}\right)^m\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{\sqrt5}\left\{\left(\frac{7+3\sqrt5}{2}\right)^m-\left(\frac{7-3\sqrt5}{2}\right)^m\right\}\ \ }\end{align*}}$ ．
最後の計算が面倒ですが、頑張りましょう！
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- 2012/12/15(土) 23:57:00|
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