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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010大阪教育大 前期 数学1



第1問

  平面上に、点O、Aを|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$|=1であるようにとる。Oを中心にAを
  反時計回りに、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$ 回転させた位置にある点をB、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 回転させた
  位置にある点をCとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
  と表す。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) △OABの面積を△OBCの面積をそれぞれ求めよ。

 (3) 直線ACと直線OBとの交点をDとする。また、Bを通って
    直線ACに平行な直線と、直線OAとの交点をEとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf OD}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf e}=\overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$
    と表す。このとき、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$|と|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$|をそれぞれ求めよ。

 (4) 次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf e}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$  (0≦s、0≦t、1≦s+t≦2)



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  1. 2012/12/01(土) 23:48:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2010
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2010大阪教育大 前期 数学2



第2問

  自然数nに対して
         $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ \sin^n x\ dx\end{align*}}$
  とおく。次の問いに答えよ。

 (1) 定積分I1、I2、I3を求めよ。

 (2) 次の不等式を証明せよ。
         In≧In+1

 (3) 次の漸化式が成り立つことを証明せよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n+2}\sf =\frac{n+1}{n+2}\ \rm I_{\sf n}\end{align*}}$

 (4) 次の極限値を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\rm I_{\sf 2n+1}}{\rm I_{\sf 2n}}\end{align*}}$




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  1. 2012/12/02(日) 23:51:00|
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2010大阪教育大 前期 数学3



第3問

  座標平面上で、行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$ で表される移動をfとする。0でない
  すべての実数tに対して、点P$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(t+\frac{1}{t}\ ,\ t-\frac{1}{t}\right)\end{align*}}$ がfにより曲線
  x2-y2=4上に移るとき、次の問いに答えよ。

 (1) a、b、c、dは
         (a+b)2=(c+d)2
         (a-b)2=(c-d)2 
         (a2-c2)+(d2-b2)=2
    を満たすことを示せ。

 (2) a、b、c、dは
         a2-c2=d2-b2=1
         ab=cd
    を満たすことを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\binom{x}{y}\end{align*}}$ とするとき、
              X2-Y2=x2-y2
    となることを示せ。

 (4) 点Qが直線y=x上にあるとき、f(Q)は直線y=xまたは直線
    y=-x上にあることを示せ。




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  1. 2012/12/03(月) 23:54:00|
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2010大阪教育大 前期 数学4



第4問

  点Pは数直線上の原点から出発して、『確率pで+1、確率1-pで+2』
  の移動を繰り返す。ただし、0≦p≦1とする。このような移動を繰り返
  して自然数nの点に到達する確率をpnと表す。次の問いに答えよ。

 (1) p1、p2、p3をpを用いて表せ。

 (2) pn、pn+1、pn+2の間の関係式を求めよ。

 (3) an=pn+1-pn (n≧1)とおくとき、数列{an}が満たす漸化式を
    求めよ。

 (4) pとnを用いて、一般項pnを表せ。

 (5) 数列{pn}の極限を調べよ。



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  1. 2012/12/03(月) 23:57:00|
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