第1問
平面上に、点O、Aを|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$|=1であるようにとる。Oを中心にAを
反時計回りに、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$ 回転させた位置にある点をB、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 回転させた
位置にある点をCとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
と表す。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) △OABの面積を△OBCの面積をそれぞれ求めよ。
(3) 直線ACと直線OBとの交点をDとする。また、Bを通って
直線ACに平行な直線と、直線OAとの交点をEとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}=\overrightarrow{\sf OD}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf e}=\overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$
と表す。このとき、|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf d}\end{align*}}$|と|$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$|をそれぞれ求めよ。
(4) 次の式を満たす点Pの存在する領域の面積を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=s\overrightarrow{\sf e}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ (0≦s、0≦t、1≦s+t≦2)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
xy平面上において、右図のように
O(0，0)、A(1，0)とおいても一般性を失わない。
このとき、題意より点B、Cの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C\left(\cos\frac{\pi}{2}\ ,\ \sin\frac{\pi}{2}\right)=(0\ ,\ 1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(\cos\frac{\pi}{6}\ ,\ \sin\frac{\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\left(\frac{\sqrt3}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{2}\ (1\ ,\ 0)+\frac{1}{2}\ (0\ ,\ 1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt3}{2}\ \overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{2}\ \overrightarrow{\sf c}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\left|1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right|=\underline{\ \frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OBC=\frac{1}{2}\left|0\cdot \frac{1}{2}+1\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right|=\underline{\ \frac{\sqrt3}{4}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(1)で定めたxy平面において、
直線ACおよびOBの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AC:\ y=-x+1\ \ ,\ \ OB:\ y=\frac{x}{\sqrt3}\end{align*}}$
となるので、これらの交点Dの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left(\frac{\sqrt3}{1+\sqrt3}\ ,\ \frac{1}{1+\sqrt3}\right)\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf d}\right|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{1+\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{1}{1+\sqrt3}\right)^2}=\underline{\ \frac{2}{1+\sqrt3}\ \ }\end{align*}}$ ．
また、Bを通り、直線ACに平行な直線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\frac{1}{2}=-\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$
であり、これと直線OA(x軸)との交点Eの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\left(\frac{1+\sqrt3}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf e}\right|=\underline{\ \frac{1+\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
点Pの座標を(X，Y)とおくと、 (3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (X\ ,\ Y)=s\ \left(\frac{1+\sqrt3}{2}\ ,\ 0\right)+t\ (0\ ,\ 1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{2X}{1+\sqrt3}\ \ ,\ \ t=Y\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ X\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ Y\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq s+t\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq \frac{2X}{1+\sqrt3}+Y\leqq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{2X}{1+\sqrt3}+1\leqq Y\leqq -\frac{2X}{1+\sqrt3}+2\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C'\left(0\ ,\ 2\right)\ \ ,\ \ E'\left(1+\sqrt3\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
とおくと、求める領域の面積Sは、
△OC'E'－△OCE
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot\left(1+\sqrt3\right)\cdot 2-\frac{1}{2}\cdot\frac{1+\sqrt3}{2}\cdot 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3\left(1+\sqrt3\right)}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．
座標をおくと楽です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/12/01(土) 23:48:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2010
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
自然数nに対して
$\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ \sin^n x\ dx\end{align*}}$
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 定積分I1、I2、I3を求めよ。
(2) 次の不等式を証明せよ。
In≧In+1
(3) 次の漸化式が成り立つことを証明せよ。
$\small\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf n+2}\sf =\frac{n+1}{n+2}\ \rm I_{\sf n}\end{align*}}$
(4) 次の極限値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\rm I_{\sf 2n+1}}{\rm I_{\sf 2n}}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 1}\sf =\int_0^{\pi /2}\ \sin x\ dx=\left[-\cos x\right]_0^{\pi /2}=\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$ ．
I2は、倍角公式を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 2}\sf =\int_0^{\pi /2}\ \sin^2x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /2}\frac{1-\cos 2x}{2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ =\frac{\pi}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．
I3は、3倍角の公式
sin3x=3sinx－4sin3x
を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 3}\sf =\int_0^{\pi /2}\ \sin^3x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /2}\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left[-3\cos x+\frac{1}{3}\cos 3x\right]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2の範囲において
0≦sinx≦1
なので、
sinnx≧sinn+1x．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi /2}\ \sin^n x\ dx\geqq \int_0^{\pi /2}\ \sin^{n+1} x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf n}\sf \geqq \rm I_{\sf n+1}\sf \end{align*}}$ ．
(3)
部分積分法を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi /2}\ \sin^{n+2}x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\cos x\sin^{n+1}x\right]_0^{\pi /2}+\int_0^{\pi/2}\cos x\cdot(n+1)\sin^n x\cdot \cos x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n+1)\int_0^{\pi/2}\cos^2x\sin^nx\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n+1)\int_0^{\pi/2}(1-\sin^2x)\sin^nx\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n+1)\int_0^{\pi/2}\sin^nx\ dx-(n+1)\int_0^{\pi /2}\sin^{n+2}x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf n+2}\sf =(n+1)\rm I_{\sf n}\sf -(n+1)\rm I_{\sf n+2}\sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf n+2}\sf =\frac{n+1}{n+2}\ \rm I_{\sf n}\end{align*}}$ ．
(4)
任意のｎに対して、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2の範囲において
0≦sinnx
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}\sf =\int_0^{\pi /2}\sin^n x\ dx>0\end{align*}}$ ．
また、(2)より、
I2n+2≦I2n+1≦I2n
であり、両辺をI2n（＞0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\rm I_{\sf 2n+2}}{\rm I_{\sf 2n}}\leqq \frac{\rm I_{\sf 2n+1}}\rm {I_{\sf 2n}}\leqq 1\end{align*}}$ ．
ここで、(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \rm I_{\sf 2n+2}\sf =\frac{2n+1}{2n+2}\ \rm I_{\sf 2n} \end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\rm I_{\sf 2n+2}}{\rm I_{\sf 2n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{2n+1}{2n+2}=1\end{align*}}$ ．
よって、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\rm I_{\sf 2n+1}}{\rm I_{\sf 2n}}=\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)で、Ｉnの一般項を求めることはできますが、
そのあとの極限を求めるところで行き詰まってしまいます。
というわけで、(2)、(2)の結果を用いて、はさみうちです！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/12/02(日) 23:51:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2010
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
座標平面上で、行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$ で表される移動をfとする。0でない
すべての実数tに対して、点P$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(t+\frac{1}{t}\ ,\ t-\frac{1}{t}\right)\end{align*}}$ がfにより曲線
x2－y2=4上に移るとき、次の問いに答えよ。
(1) a、b、c、dは
(a+b)2=(c+d)2
(a－b)2=(c－d)2
(a2－c2)+(d2－b2)=2
を満たすことを示せ。
(2) a、b、c、dは
a2－c2=d2－b2=1
ab=cd
を満たすことを示せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\binom{x}{y}\end{align*}}$ とするとき、
X2－Y2=x2－y2
となることを示せ。
(4) 点Qが直線y=x上にあるとき、f(Q)は直線y=xまたは直線
y=－x上にあることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pのfによる像は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\binom{t+t^{-1}}{t-t^{-1}}=\binom{(a+b)t+(a-b)t^{-1}}{(c+d)t+(c-d)t^{-1}}\end{align*}}$
となり、これが曲線x2－y2=4上にあるので、
{(a+b)t+(a－b)t-1}2{(c+d)t+(c－d)t-1}2=4
⇔ {(a+b)2－(c+d)2}t2+{(a－b)2－(c－d)2}t-2
+2(a2－b2)－2(c2－d2)－4=0 ．
これが0以外の任意のtに対して成り立つので、
係数を比較すると、
(a+b)2－(c+d)2=0 ⇔ (a+b)2=(c+d)2 ･･･①
(a－b)2－(c－d)2=0 ⇔ (a－b)2=(c－d)2 ･･･②
2(a2－b2)－2(c2－d2)－4=0
⇔ (a2－c2)+(d2－b2)=2 ･･･③
(2)
①、②を展開すると、
a2+2ab+b2=c2+2cd+d2 ･･･①’
a2－2ab+b2=c2－2cd+d2 ･･･②’
となり、(①’+②’)÷2 より、
a2+b2=c2+d2
⇔ a2－c2=d2－b2．
であり、これと③より、
a2－c2=d2－b2=1．
また、(①’－②’)÷4より
ab=cd
となる。
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\binom{x}{y}=\binom{ax+by}{cx+dy}\end{align*}}$
より、
X2－Y2=(ax+by)2－(cx+dy)2
=(a2－c2)x2+(2ab－2cd)xy－(d2－b2)y2
=x2－y2 ←(2)より
(4)
点Q(q,q)のfによる像を(X，Y)とすると、(3)より
X2－Y2=q2－q2=0
⇔ Y=±X
となるので、点(X，Y)は、
直線y=x上または直線y=－x上にある。
うまく誘導に乗っていってください。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/12/03(月) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2010
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
点Pは数直線上の原点から出発して、『確率pで+1、確率1-pで+2』
の移動を繰り返す。ただし、0≦p≦1とする。このような移動を繰り返
して自然数nの点に到達する確率をpnと表す。次の問いに答えよ。
(1) p1、p2、p3をpを用いて表せ。
(2) pn、pn+1、pn+2の間の関係式を求めよ。
(3) an=pn+1－pn (n≧1)とおくとき、数列{an}が満たす漸化式を
求めよ。
(4) pとnを用いて、一般項pnを表せ。
(5) 数列{pn}の極限を調べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
+1の移動をA、+2の移動をBと呼ぶことにする。
(1)
・1の点に到達するためには、Aの移動を1回すればよいので、
p1=p．
・2の点に到達するためには、
AA または B
のように移動すればよいので、
p2=p2+1－p．
・3の点に到達するためには、
AAA または AB または BA
のように移動すればよいので、
p3=p3+2p(1－p)．
(2)
n+2の点に到達するには、次の2通りの場合が考えられる。
・n+1の位置からAの移動をする
・nの位置からBの移動をする
よって、その確率は、
pn+2=ppn+1+(1－p)pn．
(3)
(2)で得られた漸化式の両辺からpn+1を引くと、
pn+2－pn+1=ppn+1+(1－p)pn－pn+1
=(p－1)(pn+1－pn)
⇔ an+1=(p－1)an．
(4)
(3)より、{an}は公比p－1の等比数列であり、
a1=p2－p1=p2－2p+1=(p－1)2
なので、
an=(p－1)2(p－1)n-1=(p－1)n+1．
{an}は{pn}の階差数列になっているので、
n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=p_1+\sum_{k=1}^{n-1}\ (p-1)^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p+\frac{(p-1)^2\left\{(p-1)^{n-1}-1\right\}}{(p-1)-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(p-1)^{n+1}-1}{p-2}\end{align*}}$ ．
この式は、n=1のときも成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_n=\frac{(p-1)^{n+1}-1}{p-2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(5)
・p=0のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=-\frac{(-1)^{n+1}-1}{2}\end{align*}}$
となるので、振動する。
・p≠0のとき、
－1＜p－1≦0
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ (p-1)^{n+1}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n=\frac{-1}{p-2}=\underline{\ \frac{1}{2-p}\ \ }\end{align*}}$
最後の極限は場合分けが必要です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/12/03(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2010
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
