第1問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ
記号のついた の中に記入せよ。
(1) 関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\left(\log_2\frac{x}{8}\right)\left(\log_2 2x\right)\end{align*}}$
を考える。
y=(log2x)2－ ア log2x－ イ
が成り立ち、1≦x≦8のとき、yはx= ウ で最大値 エ
をとり、x= オ で最小値 カ をとる。
(2) 袋の中に赤玉7個と白玉4個が入っている。この袋から同時に
3個取り出すとき、その取り出し方は キ 通りある。取り出し
た3個の玉すべてが白玉である確率は ク であり、赤玉2個
と白玉1個である確率は ケ である。また、取り出した3個の
玉のうち少なくとも1個が白玉である確率は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 2 イ 3 ウ 8 エ 0 オ 2
カ -4 キ 165 ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{165}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{28}{55}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{26}{33}\end{align*}}$
【解説】
(1)
与式を変形すると、
y=(log2x-log28)(log22+log2x)
=(log2x-3)(log2x+1)
=(log2x)2-2log2x-3
=(log2x-1)2-4
となり、1≦x≦8 より 0≦log2≦3 なので、
yの値は、
log2x=3 すなわち x=8 のとき、最大値0
log2x=1 すなわち x=2 のとき、最小値-4
をとる。
(2)
合計11個の玉から3個を取り出すので、取り出し方は
11C3=165通り。
取り出した玉が、3個とも白玉になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_4C_3}{165}=\frac{4}{165}\end{align*}}$ ．
2個が赤玉、1個が白玉になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_7C_2\cdot _4C_1}{165}=\frac{28}{55}\end{align*}}$ ．
1個が赤玉、2個が白玉になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_7C_1\cdot _4C_2}{165}=\frac{14}{55}\end{align*}}$ ．
よって、少なくとも1個が白玉になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{165}+\frac{28}{55}+\frac{14}{55}=\frac{26}{33}\end{align*}}$ ．
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第2問
O(0,0,0)を原点とする座標空間内に3点A(2,1,0)、B(1,2,-1)、
C(1,-1,-2)がある。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ ･$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ と△OABの面積を求めよ。
(2) 点Hは、3点O、A、Bを通る平面上にあり、この平面と直線CHは
垂直である。点Hの座標を求めよ。
(3) 直線OHと直線ABの交点をDとする。比AD：DBを求めよ。
(4) △ADHの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=(2\ ,\ 1\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=(1\ ,\ 2\ ,\ -1)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=2\cdot1+1\cdot 2+0\cdot (-1)=\underline{\ 4\ \ }\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^22^2+1^2+0=5\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OB}\right|=1^2+2^2+(-1)^2=6\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OAB=\frac{1}{2}\sqrt{5\cdot 6-4^2}=\underline{\ \frac{\sqrt{14}}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
点Hは平面OAB上にあるので、実数s、tを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=s\ \overrightarrow{\sf OA}+t\ \overrightarrow{\sf OB}=(2s+t\ ,\ s+2t\ ,\ -t)\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf CH}=\overrightarrow{\sf OH}-\overrightarrow{\sf OC}=(2s+t-1\ ,\ s+2t+1\ ,\ -t+2)\end{align*}}$ ．
平面OAB⊥CHなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf CH}=2(2s+t-1)+(s+2t+1)=5s+4t-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf CH}=(2s+t-1)+2(s+2t+1)-(-t+2)=4s+6t-1=0\end{align*}}$ ．
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{1}{7}\ \ ,\ \ t=\frac{1}{14}\end{align*}}$
となるので、①に代入して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left(\frac{5}{14}\ ,\ \frac{2}{7}\ ,\ -\frac{1}{14}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
AD:BD=u:1-u、OH:HD=v:1-v とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=v\ \overrightarrow{\sf OD}=(1-u)v\ \overrightarrow{\sf OA}+uv\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ ．
一方、(1)で求めたs、tを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\frac{1}{7}\ \overrightarrow{\sf OA}+\frac{1}{14}\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ は一次独立なので、
係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v-uv=\frac{1}{7}\ \ ,\ \ uv=\frac{1}{14}\end{align*}}$ ．
これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ v=\frac{3}{14}\end{align*}}$ ････②
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AD:BD=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=\underline{\ 1:2\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH:HD=\frac{3}{14}:\frac{11}{14}=3:11\end{align*}}$
となるので、これと(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ADH=\frac{11}{14}\triangle OAD=\frac{11}{14}\cdot\frac{1}{3}\triangle OAB\end{align*}}$ ．
これに、(1)で求めた△OABを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ADH=\frac{11}{14}\cdot\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{14}}{2}=\underline{\ \frac{11\sqrt{14}}{84}\ \ }\end{align*}}$
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第3問
f(x)=x2-4x+5、g(x)=-x2-8x-15とおく。xy平面上の曲線
y=f(x)の上に点A(a,f(a))をとり、曲線y=g(x)の上に点B(b,g(b))
をとる。点Aにおける曲線y=f(x)の接線をLとし、点Bにおける曲線
y=g(x)の接線をmとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) Lとmが平行なとき、bとg(b)をaで表せ。
(2) Lとmがともに直線ABと直交するとき、aとbの値および線分ABの
長さを求めよ。
(3) 2曲線y=f(x)、y=g(x)の両方と共有点をもつ円の面積の最小値S
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
それぞれの導関数は、
f'(x)=2x-4 、 g'(x)=-2x-8
となるので、接線L、mの方程式は、
L: y-(a2-4a+5)=(2a-4)(x-a)
⇔ y=(2a-4)x-a2+5
m: y-(-b2-8b-15)=(-2b-8)(x-b)
⇔ y=(-2b-8)x+b2-15 ．
L//mなので、
2a-4=-2b-8 ⇔ b=-a-2 ．････①
となり、
g(b)=-(-a-2)2-8(-a-2)-15=-a2+4a-3．
(2)
Lとmがともに直線ABと直交するので、L//mである。
(ⅰ) a≠b のとき
ABの傾きは、(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g(b)-f(a)}{b-a}=\frac{(-a^2+4a-3)-(a^2-4a+5)}{(-a-2)-a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2-4a+4}{a+1}\end{align*}}$ ．
AB⊥Lなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (2a-4)\cdot\frac{a^2-4a+4}{a+1}=-1\end{align*}}$ ．
これを整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a^3-12a^2+25a-15=(a-1)(2a^2-10a+15)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=1\ \ ,\ \ 5\pm \sqrt5\ i\end{align*}}$
となり、aは実数なので、a=1
このとき、A(1，2)、B(-3，0)となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\end{align*}}$ ．
(ⅱ) a=b のとき
直線ABはy軸と平行になるので、
これと直交するL、mの傾きはともに0である。
f'(a)=2a-4=0 ⇔ a=2
g'(b)=-2b-8=0 ⇔ b=-4
これは、a=bに反するので不適。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=1\ \ ,\ \ AB=2\sqrt5\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
ｆ(x)およびｇ(x)は、
f(x)=(x-2)2+1 、 g(x)=-(x+4)2+1
と変形できるので、位置関係は下図のようになる。
これより、(2)の条件を満たすとき、ABを直径とする円は、
2曲線y=f(x)およびy=g(x)とそれぞれただ1つの共有点を
持つことになり、このとき面積Sが最小となる。
このとき、半径rは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{1}{2}\ AB=\sqrt5\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\pi\cdot\left(\sqrt5\right)^2=\underline{\ 5\ \pi\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)は、厳密にやろうとするとタイヘンなことになるので、
適当に図と文で誤魔化してください（笑）
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第4問
次の問いに答えよ。
(1) 定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos^2x\ dx\end{align*}}$
の値を求めよ。
(2) 定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ x\cos x\ dx\end{align*}}$
の値を求めよ。
(3) 定積分
$\small\sf{\begin{align*} \rm I\sf =\int_0^{\pi}\left(x-\pi\ a-\frac{b}{\pi}\ \cos x\right)^2dx\end{align*}}$
をa、bの式で表せ。
(4) Iの最小値とそのときのa、bの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
半角公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos^2x\ dx=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\left(1+\cos 2x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
部分積分法を用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ x\cos x\ dx=\left[x\sin x\right]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0-\left[-\cos x\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -2\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_0^{\pi}\left(x^2+\pi^2\ a^2+\frac{b^2}{\pi^2}\ \cos^2 x-2\pi\ ax-\frac{2b}{\pi}\ x\cos x+2ab\ \cos x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{x^3}{3}+\pi^2\ a^2x-\pi ax^2+2ab\ \sin x\right]_0^{\pi}+\frac{b^2}{\pi^2}\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{2b}{\pi}\cdot(-2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi^3}{3}+\pi^3 a^2-\pi^3\ a+\frac{b^2}{2\pi}+\frac{4b}{\pi} }\end{align*}}$
(4)
(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\pi^3(a^2-a)+\frac{1}{2\pi}(b^2+8b)+\frac{\pi^3}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2\pi}\left(b+4\right)^2+\frac{\pi^3}{12}-\frac{8}{\pi}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \rm I_{\sf min}\sf =\frac{\pi^3}{12}-\frac{8}{\pi}\ \ \ \ \ \left(a=\frac{1}{2}\ ,\ b=-4\right)\ \ }\end{align*}}$
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