第１問
$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}\lt s\lt \frac{1}{3}\end{align*}}$とする。ｘｙｚ空間内の平面ｚ＝０の上に長方形
Ｒs＝{(ｘ，ｙ，ｚ)|１≦ｘ≦２＋４ｓ，１≦ｙ≦２－３ｓ}
がある。長方形Ｒsをｘ軸のまわりに１回転してできる立体をＫsとする。
(１) 立体Ｋsの体積Ｖ(ｓ)が最大となるときのｓの値、およびその時の
Ｖ(ｓ)の値を求めよ。
(２) ｓを(１)で求めた値とする。このときの立体Ｋsをｙ軸のまわりに
１回転してできる立体Ｌの体積を求めよ。
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第２問
$\small\sf{\begin{align*} \sf A_0= \begin{pmatrix}\sf 0&0\\ 0&0\end{pmatrix}\end{align*}}$とする。整数ｎ≧１に対して、次の試行により行列Ａn-1から行列Ａnを定める。
「数字の組(１，１)、(１，２)、(２，１)、(２，２)を１つずつ書いた４枚の札が入っている
袋から１枚を取り出し、その札に書かれている数字の組が(ｉ，ｊ)のとき、Ａn-1の(ｉ，ｊ)
成分に１を加えた行列をＡnとする。」
この試行をｎ回(ｎ＝２，３，４，･･･)くり返した後に、Ａ0、Ａ1、･･･、Ａn-1が逆行列をもた
ずＡnは逆行列をもつ確率をｐnとする。
(１) ｐ2、ｐ3を求めよ。
(２) (ｎ－１)回(ｎ＝２，３，４，･･･)の試行をくり返した後に、Ａn-1の第１行の成分がいず
れも正で第２行の成分はいずれも０である確率ｑn-1を求めよ。
(３) ｐn(ｎ＝２，３，４，･･･)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
うまく整理できないとヤヤコシイですね。
ａ、ｂ、ｃ、ｄを自然数とすると、行列Ａnには、次の６つのパターンがある。
【ア】成分が４つとも０
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
【イ】成分のうち３つだけが０
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf b\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf c&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf 0&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
【ウ】成分のうち２つだけが０のもので、逆行列が存在しないもの
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 0\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf c&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf b\\ \sf 0&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
【エ】成分のうち２つだけが０のもので、逆行列が存在するもの
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf 0&\sf d\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf b\\ \sf c&\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
【オ】成分のうち１つだけが０のもの
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf 0\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf 0&\sf d\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf a&\sf 0\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\ \ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
【カ】成分に１つも０がないもの
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c&\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
このうちで、逆行列をもたないのは【ア】、【イ】、【ウ】の３つで、
【エ】、【オ】は逆行列をもつ。
(１)
Ａ0は【ア】の形、Ａ1は必ず【イ】の形になり、ともに逆行列をもたない。
Ａ2は【イ】、【ウ】、【エ】の３通りの形が考えられるが、
このうち逆行列をもつのは【エ】の形のみ。
【イ】から【エ】になるのは１通りなので、その確率は1/4
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_2=\frac{1\\ \sf 4}\ \ }\end{align*}}$
Ａ2が逆行列をもたず、Ａ3が逆行列をもつのは
Ａ2が【イ】→Ａ3が【エ】 または Ａ2が【ウ】→Ａ3が【オ】
の２通り。これらを整理したものが下図
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ p_3=\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\underline{\frac{5}{16} \ \ }\end{align*}}$
(２)
ｎ－１回すべて(１，１)または(１，２)の札を選べばよい。
ただし、どちらの札も少なくとも１回は選ばれなければならないので、
次の２つの場合を除く必要がある。
・(１，１)の札ばかりｎ－１回選ぶ場合
・(１，２)の札ばかりｎ－１回選ぶ場合
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \underline{q_{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}-2\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\ \ \ }\end{align*}}$
(３)
Ａn-1が逆行列をもたないのは【イ】または【ウ】の形である。
この状態から、Ａnが逆行列をもつためには
Ａn-1が【イ】→Ａnが【エ】 または Ａn-1が【ウ】→Ａnが【オ】
の２通り(下図)。
Ａn-1が【イ】の形になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ 4\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}\end{align*}}$
Ａn-1が【ウ】の形になる確率は、４ｑn-1
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ p_{n}=\frac{1}{4}\times4\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}+\frac{1}{2}\times 4q_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ =\underline{2\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}-3\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}}\end{align*}}$
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第３問
ｘｙ平面上に３点Ｏ(０，０)、Ａ(１，０)、Ｂ(０，１)がある。
(１) ａ＞０とする。ＯＰ：ＡＰ＝１：ａを満たす点Ｐの軌跡を求めよ。
(２) ａ＞０、ｂ＞０とする。ＯＰ：ＡＰ：ＢＰ＝１：ａ：ｂを満たす点Ｐが存在するための
ａ、ｂに対する条件を求め、ａｂ平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
例によって(１)はそんなに難しくないんですよ。
でも、(２)の計算が････・
(１)
Ｐ(ｘ，ｙ)とおくと、ＯＰ2：ＡＰ2＝１：ａ2より
ａ2(ｘ2＋ｙ2)＝(ｘ－１)2＋ｙ2
これを整理すると、
(ａ2－１)ｘ2＋(ａ2－１)ｙ2＋２ｘ－１＝０
ａ＝１のとき
直線 ２ｘ－１＝０
ａ≠１のとき、両辺をａ2で割って平方完成すると、
円 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x+\frac{1}{a^2-1}\right)^2+y^2=\left(\frac{a}{a^2-1}\right)^2\end{align*}}$ ････①
(２)
(１)と同様に考えると、ＯＰ：ＢＰ＝１：ｂを満たす点Ｐは
ｂ＝１のとき
直線２ｙ－１＝０
ｂ≠１のとき
円 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(y-\frac{1}{b^2-1}\right)^2=\left(\frac{b}{b^2-1}\right)^2\end{align*}}$ ････②
(ア) ａ＝ｂ＝１のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
となりＯＫ
(イ) ａ＝１、ｂ≠１のとき
直線２ｘ－１＝０と円②が共有点をもつためには
(円②の中心から直線までの距離) ≦ (円②の半径)
となればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\leqq\frac{b}{|b^2-1|}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ -2b\leqq b^2-1\leqq 2b\end{align*}}$
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1+\sqrt2\leqq b\lt 1\ ,\ 1\lt b\leqq 1+\sqrt2\end{align*}}$
(ウ) ａ≠１、ｂ＝１のとき
(イ)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1+\sqrt2\leqq a<1\ ,\ 1\lt a \leqq 1+\sqrt2\end{align*}}$
(エ) ａ≠１、ｂ≠１のとき
２つの円①、②が共有点をもつためには
(半径の差) ≦ (中心間の距離) ≦ (半径の和)
となればよい。各辺を二乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \bigg(\frac{a}{|a^2-1|}-\frac{b}{|b^2-1|}\bigg)^2\leqq \left(\frac{1}{a^2-1}\right)^2+\left(\frac{1}{b^2-1}\right)^2 \leqq \bigg(\frac{a}{|a^2-1|}+\frac{b}{|b^2-1|}\bigg)^2\end{align*}}$
左辺と右辺を展開して$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{(a^2-1)^2}\ ,\ \frac{b^2}{(b^2-1)^2}\end{align*}}$を移項
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|} \leqq \frac{1-a^2}{(a^2-1)^2}+\frac{1-b^2}{(b^2-1)^2}\leqq \frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|}\end{align*}}$
中辺を約分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|} \leqq -\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{b^2-1}\leqq \frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \left| \frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{b^2-1} \right| \leqq \frac{2ab}{|(a^2-1)(b^2-1)|}\end{align*}}$
両辺に|(ａ2－１)(ｂ2－１)|をかけると、
|ａ2＋ｂ2－２|≦２ａｂ
⇔ －２ａｂ≦ａ2＋ｂ2－２≦２ａｂ
⇔ (ｂ＋ａ)2≧２ かつ (ｂ－ａ)2≦２
これを解くと、ａ、ｂ＞０より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ b\geqq -a+\sqrt2\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ a-\sqrt2 \leqq b\leqq a+\sqrt2\end{align*}}$
(ア)～(エ)を図示すると、求める領域は下図の水色の部分になる。
(ただし、座標軸上の点は除く）
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第４問
ａ、ｂはａ≧ｂ＞０を満たす整数とし、ｘとｙの二次方程式
ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０、 ｙ2＋ｂｙ＋ａ＝０
がそれぞれ整数解をもつとする。
(１) ａ＝ｂとするとき、条件を満たす整数ａをすべて求めよ。
(２) ａ＞ｂとするとき、条件を満たす整数の組(ａ，ｂ)をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(１)は、解と係数の関係を使えば簡単でしょうが、(２)は条件が多すぎて処理が難しいですねぇ。
(１)
ａ＝ｂのとき、
二次方程式ｘ2＋ａｘ＋ａ＝０の２つの整数解をｘ1、ｘ2 （ｘ1≦ｘ2）とすると、
解と係数の関係より
ｘ1＋ｘ2＝－ａ かつ ｘ1ｘ2＝ａ
これらを加えると、
ｘ1ｘ2＋ｘ1＋ｘ2＝０
⇔ (ｘ1＋１)(ｘ2＋１)＝１
ここで、ｘ1＋１、ｘ2＋１はともに整数なので、
(ｘ1＋１，ｘ2＋１)＝(１，１)または(－１，－１)
⇔ (ｘ1，ｘ2)＝(０，０)または(－２，－２)
これらに対応するａの値は、ａ＝０またはａ＝４
ａ＞０より、
ａ＝４
(２)
ａ＞ｂのとき、
二次方程式ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０の２つの整数解をｘ1、ｘ2 （ｘ1≦ｘ2）とすると、
解と係数の関係より
ｘ1＋ｘ2＝－ａ かつ ｘ1ｘ2＝ｂ ･････①
ここで、ａ、ｂ＞０より
ｘ1＋ｘ2＜０ かつ ｘ1ｘ2＞０
⇔ ｘ1＜０ かつ ｘ2＜０
ｘ1、ｘ2はともに整数なので、
ｘ1≦－１、ｘ2≦－１
⇔ ｘ1＋１≧０、 ｘ2＋１≧０
これらを辺々かけると、
(ｘ1＋１)(ｘ2＋１)≧０
⇔ ｘ1ｘ2＋ｘ1＋ｘ2＋１≧０
これに①を代入すると、
ｂ－ａ＋１≧０
これと ａ＞ｂより、
ａ＞ｂ≧ａ－１
となるので、
ｂ＝ａ－１ ････②
次に、二次方程式ｙ2＋ｂｙ＋ａ＝０の２つの整数解をｙ1、ｙ2 （ｙ1≦ｙ2）とすると、
解と係数の関係より
ｙ1＋ｙ2＝－ｂ＝１－ａ (②より)
ｙ1ｙ2＝ａ
これらを加えると、
ｙ1ｙ2＋ｙ1＋ｙ2＝１
⇔ (ｙ1＋１)(ｙ2＋１)＝２
ｙ1≦ｙ2なので、
(ｙ1＋１，ｙ2＋１)＝(１，２)または(－２，－１)
⇔ (ｙ1，ｙ2)＝(０，１)または(－３，－２)
これらに対応するａ、ｂの組は(ａ，ｂ)＝(０，－１)または(ａ，ｂ)＝(６，５)
ａ、ｂ＞０なので、
(ａ，ｂ)＝(６，５)
いやぁ今年の名大は難しい！！
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