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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012奈良県立医大 数学1



第1問

  実数p、qに対して、xの3次関数fp,q(x)を fp,q(x)=x3+px+q
  によって定める。実数p、qは3次関数fp,q(x)が次の3条件を満たす
  ような範囲を動くとする。
    条件(1):fp,q(1)=1
    条件(2):f’p,q(0)<0 (ただし、f’p,q(x)はfp,q(x)の導関数を表す)
    条件(3):x≧0のとき、fp,q(x)≧0
  このとき、定積分
         $\small\sf{\begin{align*}\sf I\ (p,q)=\int_0^1\ f_{p,q\ }(x)\ dx\end{align*}}$
  を最大にするようなp、qの値、およびI(p,q)の最大値を求めよ。


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  1. 2018/10/01(月) 00:01:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2012
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2012奈良県立医大 数学2



第2問

  nを3以上の整数とし、n個の整数a1、a2、・・・、anは以下の3条件を
  満たすとする。
     条件(1):a1≧2
     条件(2):a1≧a2≧・・・≧an
     条件(3):1≦i<j≦nを満たす任意の整数i、jに対して、不等式
              a+aj>0
          が成り立つ
  このとき、不等式
         $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{i=1}^n\ a_i\ \geq\ n\end{align*}}$
  が成り立つことを証明せよ。また、この不等式において等号が成り立つ
  場合のnの値、およびn個の整数の組(a1、a2、・・・、an)をすべて求め
  よ。


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2012奈良県立医大 数学3



第3問

  各成分が0以下の整数からなる2行2列の行列
         $\small\sf{\begin{align*}\sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b \\ \sf c &\sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
  で、A2+A=Eを満たすものをすべて求めよ。
  (ただし、Eは単位行列を表す。)




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2012奈良県立医大 数学4(1)~(3)



第4問

  整数mが与えられたとき、xに関する整数係数の2つの整式f(x)、
  g(x)が関係式
         f(x)≡g(x) (mod m)
  を満たすとは、等式f(x)-g(x)=mh(x)を満たすような整数係数
  の整式h(x)が存在することである。

 (1) f(x)、g(x)、F(x)、G(x)を整数係数の整式とする。もし、ある
    整数mについて関係式
       f(x)≡g(x) (mod m) かつ F(x)≡G(x) (mod m)
    が満たされるならば、関係式
       f(x)+F(x)≡g(x)+G(x) (mod m) かつ
       f(x)F(x)≡g(x)G(x) (mod m)
    が満たされることを証明せよ。

 (2) 正整数p (>1)を素数とする。pより小さい任意の正整数iに
    対して二項係数pCはpの倍数であることを証明せよ。

 (3) 正整数p (>1)を素数とする。任意の正整数nについて、
    関係式 
         $\small\sf{\begin{align*}\sf (1+x)^{p^n}\equiv 1+x^{p^n}\ \ \ \ (mod\ p)\end{align*}}$
    が満たされることを証明せよ。

 (4) 正整数p (>1)を素数とし、nを2以上の正整数とする。n-1個
    の二項係数nCi (1≦i≦n-1)がすべてpの倍数であるための
    必要十分条件は、整数nが素数pの正べきである(すなわち、
    適当な正整数kを用いてn=pkと表せる)ことを証明せよ。


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2012奈良県立医大 数学4(4)



第4問

  整数mが与えられたとき、xに関する整数係数の2つの整式f(x)、
  g(x)が関係式
         f(x)≡g(x) (mod m)
  を満たすとは、等式f(x)-g(x)=mh(x)を満たすような整数係数
  の整式h(x)が存在することである。

 (1) f(x)、g(x)、F(x)、G(x)を整数係数の整式とする。もし、ある
    整数mについて関係式
       f(x)≡g(x) (mod m) かつ F(x)≡G(x) (mod m)
    が満たされるならば、関係式
       f(x)+F(x)≡g(x)+G(x) (mod m) かつ
       f(x)F(x)≡g(x)G(x) (mod m)
    が満たされることを証明せよ。

 (2) 正整数p (>1)を素数とする。pより小さい任意の正整数iに
    対して二項係数pCはpの倍数であることを証明せよ。

 (3) 正整数p (>1)を素数とする。任意の正整数nについて、
    関係式 
         $\small\sf{\begin{align*}\sf (1+x)^{p^n}\equiv 1+x^{p^n}\ \ \ \ (mod\ p)\end{align*}}$
    が満たされることを証明せよ。

 (4) 正整数p (>1)を素数とし、nを2以上の正整数とする。n-1個
    の二項係数nCi (1≦i≦n-1)がすべてpの倍数であるための
    必要十分条件は、整数nが素数pの正べきである(すなわち、
    適当な正整数kを用いてn=pkと表せる)ことを証明せよ。


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