第1問
平行四辺形ＯABCは
ＯA=BC=1、 ＯC=AB=r、 ∠AＯC=$\small\sf{\theta}$
を満たす。ただし、r＞0かつ0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ とする。このとき、
次の問いに答えよ。
(1) ＯB2+AC2は$\small\sf{\theta}$ の値によらず一定であることを示し、
その値をrを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\theta}$ が0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ の範囲を動くとき、ＯB+ACの最大値と
そのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△ＯACで余弦定理を用いると、
AC2=12+r2－2･1･r･cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 
=r2+1－2rcos$\scriptsize\sf{\theta}$ ． ････①
また、
∠ＯAB=$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$
なので、
cos∠OAB=cos($\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ )=－cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
△ＯABで余弦定理を用いると、
ＯB2=12+r2－2･1･r･(－cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )
=r2+2rcos$\scriptsize\sf{\theta}$ +1． ････②
よって、
ＯB2+AC2
=(r2－2rcos$\scriptsize\sf{\theta}$ +1)+(r2+2rcos$\scriptsize\sf{\theta}$ +1)
=2(r2+1)
となり、$\scriptsize\sf{\theta}$ の値によらず一定値をとる。
(2)
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (OB+AC)^2=(OB^2+AC^2)+2OB\cdot AC\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(r^2+1)+2\sqrt{r^2+1-2r\cos\theta}\cdot\sqrt{r^2+1+2r\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(r^2+1)+2\sqrt{(r^2+1)^2-4r^2\cos^2\theta}\end{align*}}$ ．
これが最大になるのは、cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ が最小のときである。
すなわち、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\pi}$ /2のとき、ＯB+ACは最大となり、
その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (OB+AC)^2=2(r^2+1)+2\sqrt{(r^2+1)^2-0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4(r^2+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ OB+AC=\underline{\ 2\sqrt{r^2+1}\ \ }\end{align*}}$ ．
うまく(1)の結論が使えるように変形すれば、微分する必要はありません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/11/19(月) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
一般項が
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{27}{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\end{align*}}$
で与えられる数列{an}の、初項から第ｎ項までの和をbnと表すとき、
次の問いに答えよ。
(1) 数列{bn}の一般項を求めよ。
(2) 楕円
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{\left(\frac{43}{2}-b_n\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{81}{10}+b_n\right)^2}=1\end{align*}}$
の面積をSnで表すとき、Snが最大になる自然数ｎと、そのときの
Snの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
{an}は等比数列なので、初項から第ｎ項までの和は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{27}{10}\cdot\frac{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\frac{2}{3}}=\underline{\ \frac{81}{10}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}\ \ }\end{align*}}$ ．
である。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{43}{2}-b_n=\frac{67}{5}+\frac{81}{10}\left(\frac{2}{3}\right)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{81}{10}+b_n=\frac{81}{10}\left\{2-\left(\frac{2}{3}\right)^n\right\}\end{align*}}$
となり、任意の自然数ｎに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\left(\frac{2}{3}\right)^n<\frac{2}{3}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{43}{2}-b_n>0\ \ ,\ \ \frac{81}{10}+b_n>0\end{align*}}$ ．
よって、楕円
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{\left(\frac{43}{2}-b_n\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{81}{10}+b_n\right)^2}=1\end{align*}}$
の面積をSnは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\pi\left(\frac{43}{2}-b_n\right)\left(\frac{81}{10}+b_n\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left\{-\left(b_n\right)^2+\frac{67}{5}\ b_n+\frac{43}{2}\cdot\frac{81}{10}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left\{-\left(b_n-\frac{67}{10}\right)^2+\left(\frac{67}{10}\right)^2+\frac{43}{2}\cdot\frac{81}{10}\right\}\end{align*}}$
と表すことができる。
ここで、数列{bn}は単調増加列であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_4=\frac{81}{10}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^4\right\}=\frac{13}{2}<\frac{67}{10}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_5=\frac{81}{10}\left\{1-\left(\frac{2}{3}\right)^5\right\}=\frac{211}{30}>\frac{67}{10}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1\lt b_2<\ldots\lt b_4<\frac{67}{10}\lt b_5\lt b_6\lt \ldots\end{align*}}$ ．
これより、Snが最大になるのはｎ=4またはｎ=5のときである。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_4=\pi\left(\frac{43}{2}-\frac{13}{2}\right)\left(\frac{81}{10}+\frac{13}{2}\right)=219\ \pi=\frac{49275}{225}\ \pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_5=\pi\left(\frac{43}{2}-\frac{211}{30}\right)\left(\frac{81}{10}+\frac{211}{30}\right)=\frac{49259}{225}\ \pi\end{align*}}$
なので、S4＞S5。
よって、
ｎ=4のときにSnは最大値219$\scriptsize\sf{\pi}$ をとる。
計算が面倒です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/11/20(火) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
座標平面上の円x2+y2=1をCとする。点Pが行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1\\ \sf 1 &\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
で表される1次変換で点Qに移されるとき、次の問いに答えよ。
(1) 点Pが円C上を動くとき、点Qの軌跡を求め、図示せよ。
(2) (1)で求めた曲線で囲まれる図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
点Pおよび点Qの座標をそれぞれ
P(p，q)、 Q(X，Y)
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{\sf X}{Y}=A\ \binom{\sf p}{q}\end{align*}}$ ．････①
行列Aのデターミナントは、
detA=0－1=－1≠0
なので、逆行列A-1が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{-1}=-\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf -1\\ \sf -1 &\sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 1\\ \sf 1 &\sf -1\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
これより①は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{\sf p}{q}=A^{-1}\binom{\sf X}{Y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 0&\sf 1\\ \sf \sf 1 &\sf -1\end{pmatrix}\binom{\sf X}{Y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\binom{\sf Y}{X-Y}\end{align*}}$ ････②
と表せる。Pは円C上にあるので
p2+q2=1．
これに②を代入すると、
Y2+(X－Y)2=1
⇔ 2Y2－2XY+X2－1=0
となるので、点Q(X，Y)の軌跡の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2y^2-2xy+x^2-1=0\ \ }\end{align*}}$ ． ････③
③をyについての二次方程式とみなすと、
yは実数なので、判別式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=x^2-2(x^2-1)=2-x^2\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\sqrt2\leqq x\leqq \sqrt2 \end{align*}}$ ････④
また、③をyについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x\pm\sqrt{2-x^2}}{2}\end{align*}}$ ．
ここで
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1=\frac{x+\sqrt{2-x^2}}{2}\ \ ,\ \ y_2=\frac{x-\sqrt{2-x^2}}{2}\end{align*}}$
とおく。y1の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '_1=\frac{1}{2}\left(1+\frac{-2x}{2\sqrt{2-x^2}}\right)=\frac{\sqrt{2-x^2}-x}{2\sqrt{2-x^2}}\end{align*}}$
となり、y’1=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{2-x^2}=x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2-x^2=x^2\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\ (>0)\end{align*}}$ ．
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '_2=\frac{\sqrt{2-x^2}+x}{2\sqrt{2-x^2}}\end{align*}}$
となり、y’2=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{2-x^2}=-x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-1\ (<0)\end{align*}}$ ．
これらより、④の範囲におけるy1、y2の増減表
およびQの軌跡の概形は下のようになる。
(2)
求める面積をSとおくと、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\ (y_1-y_2)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left(\frac{x+\sqrt{2-x^2}}{2}-\frac{x-\sqrt{2-x^2}}{2}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\ \sqrt{2-x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{0}^{\sqrt2}\ \sqrt{2-x^2}\ dx\end{align*}}$ ． ←被積分関数は偶関数
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\sqrt 2\sin\theta\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\sqrt2 \cos\theta\end{align*}}$
となるので、積分区間も考慮に入れると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^{\pi /2}\sqrt{2-2\sin^2\theta}\cdot\sqrt 2\cos\theta d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\int_0^{\pi /2}\cos^2\theta \ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^{\pi /2}\left(1+\cos 2\theta\right)\ d\theta\end{align*}}$ ←cosの半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{\pi /2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi\ \ }\end{align*}}$ ．
円を一次変換で移すのだから、楕円になりそうな気がしますよね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/11/21(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
次のようなゲームを考える。成功の確率がp（0＜p＜1）、失敗の確率が
q（=1－p）であるような試行をAとBの2人が行い、先に成功した方を
勝ちとする。なお、Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき、Aに有利
であるといい、Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき、ゲームは公平で
あるという。このとき、次の問いに答えよ。
(1) Aから始めて、以後交互に試行を行う。すなわち、ABABAB････と
いう順で試行を行う。このとき、pの値にかかわらずゲームはAに有利
であることを示せ。
(2) Aから始めるが、Aが1回に対して、Bは2回試行を行えるとする。
すなわちABBABB･･･という順で試行を行う。pがどのような値のとき、
ゲームは公平になるか。
(3) (2)において、ゲームが公平であるとき、qについての等式
q=q2+q4+q6+････
が成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、Bが勝つ確率をそれぞれPA、PBとおく。
(1)
Aが勝つためには、奇数回目の試行で初めて成功すればよい。
2ｎ－1回目（ｎ：自然数）に初めて成功する、すなわち
初めの2(ｎ－1)回は失敗し、2ｎ－1回目に成功する確率は、
pq2(n-1)
であり、ｎ=1，2，3，････の場合があるので、その総和は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_A=\sum_{n=1}^{\infty}\ p\ q^{2(n-1)}\end{align*}}$
で求めることができ、0＜q＜1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_A=\frac{p}{1-q^2}\end{align*}}$ ．
一方、Bが勝つ確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_B=1-P_A\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{p}{1-q^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-q^2-p}{1-q^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-(1-p)^2-p}{1-q^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{p-p^2}{1-q^2}\end{align*}}$
よって、0＜q＜1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_A-P_B=\frac{p}{1-q^2}-\frac{p-p^2}{1-q^2}=\frac{p^2}{1-q^2}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_A>P_B\end{align*}}$
となり、pの値によらずAの方が有利であることがいえる。
(2)
Aが勝つためには、ｎを自然数として 3ｎ－2回目の試行で
初めて成功すればよく、その確率は、pq3(n-1)．
よって、Aが勝つ確率は、(1)と同じように考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_A=\sum_{n=1}^{\infty}\ p\ q^{3(n-1)}=\frac{p}{1-q^3}\end{align*}}$ ．
ゲームが公平になるためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_A=P_B=\frac{1}{2}\end{align*}}$
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{1-q^3}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2p=1-q^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(1-q)=(1-q)(1+q+q^2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (q-1)(q^2+q-1)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=\frac{-1+\sqrt5}{2}\ \ \ (\because 0\lt q<1)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=1-q=\underline{\ \frac{3-\sqrt5}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
0＜q＜1より0＜q2＜1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q^2+q^4+q^6+\ldots\ldots=\sum_{n=1}^{\infty}\ b^{2n}=\frac{q^2}{1-q^2}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{q^2}{1-q^2}-q=\frac{q^2-q(1-q^2)}{1-q^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{q(q^2-q+1)}{1-q^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←(2)より、q2－q+1=0
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=q^2+q^4+q^6+\ldots\end{align*}}$
が成り立つ。
(3)は、(2)の数値を代入してもＯＫです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/11/22(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2011
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
