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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011大阪教育大 前期 数学1



第1問

  平行四辺形OABCは
         OA=BC=1、 OC=AB=r、 ∠AOC=$\small\sf{\theta}$
  を満たす。ただし、r>0かつ0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ とする。このとき、
  次の問いに答えよ。

 (1) OB2+AC2は$\small\sf{\theta}$ の値によらず一定であることを示し、
    その値をrを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\theta}$ が0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ の範囲を動くとき、OB+ACの最大値と
    そのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。




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  1. 2012/11/19(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2011
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2011大阪教育大 前期 数学2



第2問

  一般項が
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{27}{10}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\end{align*}}$
  で与えられる数列{an}の、初項から第n項までの和をbnと表すとき、
  次の問いに答えよ。

 (1) 数列{bn}の一般項を求めよ。

 (2) 楕円
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{\left(\frac{43}{2}-b_n\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{81}{10}+b_n\right)^2}=1\end{align*}}$
    の面積をSnで表すとき、Snが最大になる自然数nと、そのときの
    Snの値を求めよ。




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  1. 2012/11/20(火) 23:57:00|
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2011大阪教育大 前期 数学3



第3問

  座標平面上の円x2+y2=1をCとする。点Pが行列
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1\\ \sf 1 &\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
  で表される1次変換で点Qに移されるとき、次の問いに答えよ。

 (1) 点Pが円C上を動くとき、点Qの軌跡を求め、図示せよ。

 (2) (1)で求めた曲線で囲まれる図形の面積を求めよ。



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  1. 2012/11/21(水) 23:57:00|
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2011大阪教育大 前期 数学4



第4問

  次のようなゲームを考える。成功の確率がp(0<p<1)、失敗の確率が
  q(=1-p)であるような試行をAとBの2人が行い、先に成功した方を
  勝ちとする。なお、Aが勝つ確率がBが勝つ確率より大きいとき、Aに有利
  であるといい、Aが勝つ確率とBが勝つ確率が等しいとき、ゲームは公平で
  あるという。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) Aから始めて、以後交互に試行を行う。すなわち、ABABAB・・・・と
    いう順で試行を行う。このとき、pの値にかかわらずゲームはAに有利
    であることを示せ。

 (2) Aから始めるが、Aが1回に対して、Bは2回試行を行えるとする。
    すなわちABBABB・・・という順で試行を行う。pがどのような値のとき、
    ゲームは公平になるか。

 (3) (2)において、ゲームが公平であるとき、qについての等式
          q=q2+q4+q6+・・・・
    が成り立つことを示せ。




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  1. 2012/11/22(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2011
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