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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012大阪教育大 前期 数学1



第1問

  a、b、cを自然数とするとき、次の不等式を示せ。

 (1) 2a+b≧2a+2b

 (2) 2a+b+c≧2a+2b+2c+2

 (3) 2a+b+c≧2a+b+2b+c+2c+a-4




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/11/15(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2012
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2012大阪教育大 前期 数学2



第2問

  mを9以下の自然数とする。箱の中にm枚のカードが入っており、
  それぞれのカードには1,2,・・・,mの数字がひとつずつ書かれ
  ている。ただし、異なるカードには異なる数字が書かれているもの
  とする。この箱からカードを1枚引き、そのカードに書かれた数字
  を記録してから元に戻す。この操作を2回繰り返す。
  1回目に引いたカードに書かれた数字をa、2回目に引いたカード
  に書かれた数字をbとし、また、aを十の位、bを一の位とする2桁
  の数をnとする。次の問いに答えよ。

 (1) a+bが3で割り切れる確率とnが3で割り切れる確率は等しい
    ことを示せ。

 (2) a+2bを3で割った余りとnを3で割った余りが等しくなる確率が
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ となるmをすべて求めよ。
 


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/11/16(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2012
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2012大阪教育大 前期 数学3



第3問
 
  nは自然数とする。次の問いに答えよ。

 (1) 次の不等式を示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\ <2\end{align*}}$

 (2) x>0のとき、次の不等式を示せ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{x^3}{6}<\sin x\lt x\end{align*}}$

 (3) 次の極限値を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n\ k\sin\frac{1}{k}\right)\end{align*}}$



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  1. 2012/11/17(土) 23:57:00|
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2012大阪教育大 前期 数学4



第4問

  Aを実数を成分するとする行列
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とし、任意の実数xに対して、行列(xE-A)を考える。ただし、Eは
  2×2の単位行列とする。相異なる実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ に対して、行列
  ($\small\sf{\alpha}$ E-A)、($\small\sf{\beta}$ E-A)は逆行列を持たないとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ =a+d、 $\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\beta}$ =ad-bcであることを示せ。また、x≠$\small\sf{\alpha}$ 、
    x≠$\small\sf{\beta}$ のとき、(xE-A)は逆行列を持つことを示せ。

 (2) x≠$\small\sf{\alpha}$ 、x≠$\small\sf{\beta}$ のとき、(xE-A)の逆行列の(i,j)成分を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{i\ j}\ (x)\ ,\ \ \ \ (i=1,2\ ;\ j=1,2)\end{align*}}$
    と表し、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf b_{i\ j}=\lim_{x\rightarrow\alpha}\ x^2(x-\alpha)\ a_{i\ j}\ (x)\ +\ \lim_{x\rightarrow\beta}\ x^2(x-\beta)\ a_{i\ j}\ (x)\end{align*}}$
    とする。このとき行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf b_{11} &\sf b_{12}\\ \sf b_{21} &\sf b_{22}\end{pmatrix}\end{align*}}$ をAを用いて表せ。


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  1. 2012/11/18(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2012
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