第1問
a、b、cを自然数とするとき、次の不等式を示せ。
(1) 2a+b≧2a+2b
(2) 2a+b+c≧2a+2b+2c+2
(3) 2a+b+c≧2a+b+2b+c+2c+a－4
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A=2a、 B=2b、 C=2c とおくと、
a、b、c≧1より、A、B、C≧2である。
(1)
左辺－右辺=2a+b－2a－2b
=AB－A－B
=A(B－1)－B
≧2(B－1)－B ←A、B≧2より
=B－2
≧0 ←B≧2より
よって、
左辺≧右辺となるので、題意は示された。
等号成立は、
A=B=2 すなわち a=b=1 のとき。
(2)
左辺－右辺=2a+b+c－2a－2b－2c－2
=ABC－A－B－C－2
=(AB－1)C－A－B－2
≧2(AB－1)－A－B－2 ←C≧2 かつ AB－1＞0
=2AB－A－B－4
=(2A－1)B－A－4
≧2(2A－1)－A－4 ←B≧2 かつ 2A－1＞0
=3(A－2）
≧0 ←A≧2より
よって、
左辺≧右辺となるので、題意は示された。
等号成立は、
A=B=C=2 すなわち a=b=c=1 のとき。
(3)
左辺－右辺=2a+b+c－2a+b－2b+c－2c+a+4
=ABC－AB－BC－CA+4
=A(BC－B－C)－BC+4
≧2(BC－B－C)－BC+4 ←(1)と A≧2 より
=BC－2B－2C+4
=(B－2)(C－2)
≧0 ←B、C≧2より
よって、
左辺≧右辺となるので、題意は示された。
等号成立は、
A=B=C=2 すなわち a=b=c=1 のとき。
A、B、C≧2を順番に使っていけばＯＫです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/11/15(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2012
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
ｍを9以下の自然数とする。箱の中にｍ枚のカードが入っており、
それぞれのカードには1，2，･･･，ｍの数字がひとつずつ書かれ
ている。ただし、異なるカードには異なる数字が書かれているもの
とする。この箱からカードを1枚引き、そのカードに書かれた数字
を記録してから元に戻す。この操作を2回繰り返す。
1回目に引いたカードに書かれた数字をa、2回目に引いたカード
に書かれた数字をbとし、また、aを十の位、bを一の位とする2桁
の数をｎとする。次の問いに答えよ。
(1) a+bが3で割り切れる確率とｎが3で割り切れる確率は等しい
ことを示せ。
(2) a+2bを3で割った余りとｎを3で割った余りが等しくなる確率が
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ となるｍをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、2つの整数x、yに対して、
xを3で割った余りとyを3で割った余りが等しくなることを
x≡y
と表すことにする。
(1)
ｎは十の位がa、一の位がbの2桁の自然数なので、
ｎ=10a+b
⇔ ｎ－(a+b)=9a
であり、9a≡0 なので、
ｎ≡a+b ････①
である。
よって、ｎ≡0 となるのは、 a+b≡0のときなので、
ｎが3割り切れる確率と、a+bが3で割り切れる確率は等しい。
(2)
a、bに対して
a+2b=(a+b)+b
であり、①より ｎ≡a+bなので、
ｎ≡a+2b になるためには
b≡0
であればよい。
すなわち、2回目の数字が3の倍数であればよく、
この確率が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ になる場合を考える。
ｍ≦9より、ｍ以下の3の倍数は、1個または2個または3個。
よって、2回目に3の倍数を引く確率は、Ｎ=1，2，3として、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{m}=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ m=3N=\underline{\ 3\ ,\ 6\ ,\ 9\ \ }\end{align*}}$ ．
合同式を使うとキレイに書けます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/11/16(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2012
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
ｎは自然数とする。次の問いに答えよ。
(1) 次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}\ <2\end{align*}}$
(2) x＞0のとき、次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{x^3}{6}<\sin x\lt x\end{align*}}$
(3) 次の極限値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n\ k\sin\frac{1}{k}\right)\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ)ｎ=1のときは、1＜2となり自明
(ⅱ)ｎ≧2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ \frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{n^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots +\frac{1}{(n-1)n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\frac{1}{1}-\frac{1}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2-\frac{1}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <2\end{align*}}$ ．
(2)
関数ｆ(x)を
ｆ(x)=x－sinx （x＞0）
と定義すると、導関数は、
ｆ’(x)=1－cosx≧0
となるので、ｆ(x)は単調に増加する。
これと、ｆ(0)=0であることから
x＞0の範囲では常にｆ(x)＞0 ････①
よって、sinx＜x が成り立つ。
また、関数ｇ(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\sin x-x+\frac{x^3}{6}\ \ \ \ \ (x>0)\end{align*}}$
と定義すると、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ ''(x)=x-\sin x=f\ (x)\end{align*}}$．
①より、ｇ’(x)は単調に増加し、ｇ’(0)=0なので、
x＞0でつねにｇ’(x)＞0となる。
よって、ｇ(x)は単調に増加し、ｇ(0)=0なので、
x＞0でつねにｇ(x)＞0となる。
すなわち、x＞0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x-\frac{x^3}{6}\leqq \sin x\end{align*}}$
が成り立つ。
以上より題意は示された。
(3)
(2)より、任意の自然数ｋに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{k}-\frac{1}{6k^3}<\sin\frac{1}{k}<\frac{1}{k}\end{align*}}$
が成り立ち、両辺にｋ（＞0）をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{6k^2}<\ k\sin\frac{1}{k}<1\end{align*}}$ ．
ｋ=1，2，･･･，ｎに対しても成り立つので、和をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\left(1-\frac{1}{6k^2}\right)<\sum_{k=1}^n\ k\sin\frac{1}{k}<\sum_{k=1}^n\ 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<\sum_{k=1}^n\ k\sin\frac{1}{k}\lt n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n-\frac{2}{6}<\ n-\frac{1}{6}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}<\sum_{k=1}^n\ k\sin\frac{1}{k}\lt n\end{align*}}$ ←(1)より
両辺をｎ（＞0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{3n}<\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n\ k\sin\frac{1}{k}\right)<1\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{3n}\right)=1 \end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^n\ k\sin\frac{1}{k}\right)=1\ \ }\end{align*}}$ ．
(1)の変形が難しいでしょうね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/11/17(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2012
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
Aを実数を成分するとする行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
とし、任意の実数xに対して、行列(xE－A)を考える。ただし、Eは
2×2の単位行列とする。相異なる実数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ に対して、行列
($\small\sf{\alpha}$ E－A)、($\small\sf{\beta}$ E－A)は逆行列を持たないとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ =a+d、 $\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\beta}$ =ad－bcであることを示せ。また、x≠$\small\sf{\alpha}$ 、
x≠$\small\sf{\beta}$ のとき、(xE－A)は逆行列を持つことを示せ。
(2) x≠$\small\sf{\alpha}$ 、x≠$\small\sf{\beta}$ のとき、(xE－A)の逆行列の(ｉ，ｊ)成分を
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_{i\ j}\ (x)\ ,\ \ \ \ (i=1,2\ ;\ j=1,2)\end{align*}}$
と表し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_{i\ j}=\lim_{x\rightarrow\alpha}\ x^2(x-\alpha)\ a_{i\ j}\ (x)\ +\ \lim_{x\rightarrow\beta}\ x^2(x-\beta)\ a_{i\ j}\ (x)\end{align*}}$
とする。このとき行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf b_{11} &\sf b_{12}\\ \sf b_{21} &\sf b_{22}\end{pmatrix}\end{align*}}$ をAを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
行列
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf xE-A=\begin{pmatrix}\sf x-a &\sf -b\\ \sf -c &\sf x-d\end{pmatrix}\end{align*}}$
が逆行列を持たないとき、
det(xE－A)=(x－a)(x－d)－bc=0
⇔ x2－(a+d)x+ad－bc=0 ････①
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ は①の2解なので、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =a+d
$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =ad－bc
となる。
逆に、x≠$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、x≠$\scriptsize\sf{\beta}$ のとき、
x2－(a+d)x+ad－bc≠0
となるので、(xE－A)の逆行列が存在する。
(2)
(xE－A)の逆行列は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (xE-A)^{-1}=\frac{1}{(x-\alpha)(x-\beta)}\begin{pmatrix} \sf x-d&\sf b \\ \sf c & \sf x-a \end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{11}=\lim_{x\rightarrow\alpha}\ \frac{x^2(x-\alpha)(x-d)}{(x-\alpha)(x-\beta)}\ +\ \lim_{x\rightarrow\beta}\ \frac{x^2(x-\beta)(x-d)}{(x-\alpha)(x-\beta)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{x\rightarrow\alpha}\ \frac{x^2(x-d)}{x-\beta}\ +\ \lim_{x\rightarrow\beta}\ \frac{x^2(x-d)}{x-\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\alpha^2(\alpha-d)}{\alpha-\beta}\ +\ \frac{\beta^2(\beta-d)}{\beta-\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\alpha^3-\beta^3-d(\alpha^2-\beta^2)}{\alpha-\beta}\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 3－$\scriptsize\sf{\beta}$ 3=($\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ )($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ )
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－$\scriptsize\sf{\beta}$ 2=($\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ )($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )
なので、
b11=($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ )－d($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )2－$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ －d($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )
=(a+d)2－(ad－bc)－d(a+d) ←(1)より
=a2+bc．
同様に、
b22=($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2+$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ )－a($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )
=d2+bc．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{12}=\lim_{x\rightarrow\alpha}\ \frac{bx^2(x-\alpha)}{(x-\alpha)(x-\beta)}\ +\ \lim_{x\rightarrow\beta}\ \frac{bx^2(x-\beta)}{(x-\alpha)(x-\beta)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{x\rightarrow\alpha}\ \frac{bx^2}{x-\beta}\ +\ \lim_{x\rightarrow\beta}\ \frac{bx^2}{x-\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{b\alpha^2}{\alpha-\beta}\ +\ \frac{b\beta^2}{\beta-\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{b(\alpha^2-\beta^2)}{\alpha-\beta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =b(\alpha+\beta)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =b(a+d)\end{align*}}$ ． ←(1)より
同様に、
b21=c(a+d)．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf b_{11} &\sf b_{12}\\ \sf b_{21} &\sf b_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf a^2+bc &\sf b(a+d)\\ \sf c(a+d) &\sf d^2+bc\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf a&\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ A^2\ \ }\end{align*}}$ ．
面白い問題ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/11/18(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 前期 2012
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
