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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011奈良女子大 後期 数学1



第1問

  a、bを実数とし、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 1\\ \sf 1 &\sf b\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とする。以下の問いに答えよ。

 (1) A2-2Aが単位行列のk倍になるとする。このとき、k≧0となる
    ことを示せ。

 (2) A2-2Aが単位行列であり、かつa≧bであるようなa、bを求めよ。
    また、このときのA4、A8を求めよ。



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  1. 2012/12/08(土) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 後期 2011
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2011奈良女子大 後期 数学2



第2問

  tを1より大きい実数とする。曲線
         $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x^2}\end{align*}}$
  上の2点
         $\small\sf{\begin{align*} \sf P\ \left(t\ ,\ \frac{1}{t^2}\right)\ \ ,\ \ Q\ \left(t^3\ ,\ \frac{1}{t^6}\right)\end{align*}}$
  を考える。以下の問いに答えよ。ただし、Oは原点である。

 (1) Pからx軸に下ろした垂線をPP'とするとき、三角形OPP'の
    面積をtで表せ。

 (2) 曲線
         $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x^2}\end{align*}}$
    と線分OPおよび線分OQで囲まれた図形の面積Sをtで表せ。

 (3) tがt>1の範囲を動くとき、(2)で求めたSの最大値を求めよ。


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  1. 2012/12/08(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 後期 2011
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2011奈良女子大 後期 数学3



第3問

  a、bを実数とし、
         f(x)=x2-ax-2x+2a-6
         g(x)=-x2+bx-3x+3b
  とする。以下の問いに答えよ。

 (1) 二次方程式 f(x)=0は異なる2つの実数解をもつことを示せ。

 (2) 二次方程式 g(x)=0を解け。

 (3) 連立不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf f(x)<0 & \\ \sf g(x)>0 & \\\end{array} \right.\end{align*}}$
    の解は0<x<2であるとする。このとき、a、bの値を求めよ。



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  1. 2012/12/09(日) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 後期 2011
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2011奈良女子大 後期 数学4



第4問

  以下の問いに答えよ。ただし$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ は無理数であることは証明なしに
  用いてよい。

 (1) p、q、s、tを有理数とする。このとき、
         p+q$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$=s+t$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ならば p=s、q=t
    が成り立つことを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a+b\sqrt3}=p+q\sqrt3\end{align*}}$ が成り立つとする。ただし、a、b、p、qは有理数
    とする。このときp、qをa。bを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a+\sqrt3}=p+q\sqrt3\end{align*}}$ が成り立つとする。ただし、a、p、qは整数とする。
    このときaの値をすべて求めよ。

 (4) bを0でない整数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1+b\sqrt3}\end{align*}}$ は整数p、qを用いてp+q$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ とは
    表されないことを示せ。



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  1. 2012/12/09(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 後期 2011
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