第1問
a、bを実数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 1\\ \sf 1 &\sf b\end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。以下の問いに答えよ。
(1) A2－2Aが単位行列のk倍になるとする。このとき、k≧0となる
ことを示せ。
(2) A2－2Aが単位行列であり、かつa≧bであるようなa、bを求めよ。
また、このときのA4、A8を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
単位行列をEとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2-2A=kE\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf a &\sf 1\\ \sf 1 &\sf b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf a &\sf 1\\ \sf 1 &\sf b\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}\sf a &\sf 1\\ \sf 1 &\sf b\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf a^2-2a+1 &\sf a+b-2\\ \sf a+b-2 &\sf b^2-2b+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf k&\sf 0\\ \sf 0&\sf k\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
成分を比較すると、
a+b－2=0 ････①
k=a2－2a+1=(a－1)2≧0 ････②
k=b2－2b+1=(b－1)2≧0 ････③
となり、②、③より、k≧0 となる。
(2)
(1)においてk=1のとき、②より、
(a－1)2=1 ⇔ a=0，2
同様に③より、b=0，1であり、
①を満たすようなa、bの組は、
(a，b)=(2，0)
である。
このとき、
A2－2A=E ⇔ A2=2A+E ････④
なので、
A4=(A2)2
=(2A+E)2 ←④より
=4A2+4A+E
=4(2A+E)+4A+E ←④より
=12A+5E ････⑤
A8=(A4)2
=(12A+5E)2 ←⑤より
=144A2+120A+25E
=144(2A+E)+120A+25E ←④より
=408A+169E ････⑥
⑤、⑥に成分を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^4=12\begin{pmatrix}\sf 2 &\sf 1\\ \sf 1 &\sf 0\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 29 &\sf 12\\ \sf 12 &\sf 0\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^8=408\begin{pmatrix}\sf 2 &\sf 1\\ \sf 1 &\sf 0\end{pmatrix}+169\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 985 &\sf 408\\ \sf 408&\sf 169\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)は、そのまま成分計算をしてもそれほど大変でもないと思います。
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第2問
tを1より大きい実数とする。曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x^2}\end{align*}}$
上の2点
$\small\sf{\begin{align*} \sf P\ \left(t\ ,\ \frac{1}{t^2}\right)\ \ ,\ \ Q\ \left(t^3\ ,\ \frac{1}{t^6}\right)\end{align*}}$
を考える。以下の問いに答えよ。ただし、Oは原点である。
(1) Pからx軸に下ろした垂線をPP'とするとき、三角形OPP'の
面積をtで表せ。
(2) 曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{x^2}\end{align*}}$
と線分OPおよび線分OQで囲まれた図形の面積Sをtで表せ。
(3) tがt＞1の範囲を動くとき、(2)で求めたSの最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
P'の座標は、(t，0)なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OPP'=\frac{1}{2}\ OP\cdot PP'=\frac{1}{2}\cdot t\cdot\frac{1}{t^2}=\underline{\ \frac{1}{2t}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
Qからx軸に下ろした垂線をQQ'とすると、(1)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OQQ'=\frac{1}{2t^3}\end{align*}}$ ．
また、与えられた曲線とx軸および、線分PP'、線分QQ'で
囲まれた図形の面積をTとすると、
t＞1より、t＜t3なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\int_t^{t^3}\ \frac{dx}{x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{x}\right]_t^{t^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{t^3}+\frac{1}{t}\end{align*}}$ ．
これらより、求める面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\triangle OPP'+ T-\triangle OQQ'\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2t}+\left(-\frac{1}{t^3}+\frac{1}{t}\right)-\frac{1}{2t^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^3}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
(2)で求めたSをtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S'=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{t^2}+\frac{3}{t^4}\right)=\frac{3\left(3-t^2\right)}{2t^4}\end{align*}}$
となり、t＞1の範囲でSの増減を調べると、次のようになる。
よって、t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ のとき、Sは最大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{\sqrt3}\ \ }\end{align*}}$ をとる。
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第3問
a、bを実数とし、
f(x)=x2－ax－2x+2a－6
g(x)=－x2+bx－3x+3b
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 二次方程式 f(x)=0は異なる2つの実数解をもつことを示せ。
(2) 二次方程式 g(x)=0を解け。
(3) 連立不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf f(x)<0 & \\ \sf g(x)>0 & \\\end{array} \right.\end{align*}}$
の解は0＜x＜2であるとする。このとき、a、bの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)=0の判別式をD1とすると、
D1=(a+2)2－4(2a－6)
=a2－4a+28
=(a－2)2+24＞0
となるので、
二次方程式f(x)=0は異なる2つの実数解をもつ。
(2)
方程式 ｇ(x)=0は
x2－(b－3)x－3b=(x－b)(x+3)=0
と変形できるので、求める解は、
x=b，－3
(3)
方程式f(x)=0の2解を$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ （$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ）とおくと、
不等式f(x)＜0の解は、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜x＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ････①
(ア) －3＜bのとき
(2)より、不等式g(x)＞0の解は、－3＜x＜b．
これと①の共通部分が0＜x＜2となるためには
b=2 かつ $\scriptsize\sf{\alpha}$ =0
となればよい。よって、
f(0)=2a－6=0 ⇔ a=3．
このとき、方程式f(x)=0 の他解$\scriptsize\sf{\beta}$ は、
$\scriptsize\sf{\beta}$ =5＞0
となるので、題意を満たす。
(イ) b＜－3のとき
(2)より、不等式g(x)＞0の解は、b＜x＜－3
となるので、
これと①の共通部分が0＜x＜2となることはあり得ない。
(ウ) b=－3のとき
不等式g(x)＞0は解を持たないので不適。
以上より、a=3、b=2
(3)は、きちんと場合分けをしましょう。
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- 2012/12/09(日) 23:54:00|
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第4問
以下の問いに答えよ。ただし$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ は無理数であることは証明なしに
用いてよい。
(1) p、q、s、tを有理数とする。このとき、
p+q$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$=s+t$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ならば p=s、q=t
が成り立つことを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a+b\sqrt3}=p+q\sqrt3\end{align*}}$ が成り立つとする。ただし、a、b、p、qは有理数
とする。このときp、qをa。bを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a+\sqrt3}=p+q\sqrt3\end{align*}}$ が成り立つとする。ただし、a、p、qは整数とする。
このときaの値をすべて求めよ。
(4) bを0でない整数とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1+b\sqrt3}\end{align*}}$ は整数p、qを用いてp+q$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ とは
表されないことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
条件式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q\sqrt3=s+t\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ (q-t)\sqrt3=s-p\end{align*}}$ ････①
と変形でき、q≠tであると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3=\frac{s-p}{q-t}\end{align*}}$
となり、p、q、s、tは有理数なので、右辺は有理数である。
これは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ が無理数であることに矛盾するので、
q=t
である。これと①より、p=sも成り立つ。
(2)
条件式の左辺の分母を有理化すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a-b\sqrt3}{a^2-3b^2}=p+q\sqrt3\end{align*}}$
a、b、p、qは有理数なので、(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{a}{a^2-3b^2}\ \ ,\ \ q=-\frac{b}{a^2-3b^2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
(2)において、b=1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{a}{a^2-3}\ \ ,\ \ q=-\frac{1}{a^2-3}\end{align*}}$ ．
ここでqおよびaは整数なので、
a2－3=±1 ⇔ a2=2，4
であればよい。
これを満たす整数aの値は、
a=±2
である。
(4)
題意を満たすような整数p、qが存在すると仮定する。
(2)において、a=1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{1}{1-3b^2}\ \ ,\ \ q=-\frac{b}{1-3b^2}\end{align*}}$ ．
ここで、仮定よりpおよびbは整数なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-3b^2=\pm 1\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=0\ ,\ \frac{2}{3}\end{align*}}$
となるが、bが0でない整数であることに矛盾する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1+b\sqrt3}=p+q\sqrt3\end{align*}}$
となるような整数p、qは存在しない。
うまく誘導に乗っていきましょう！
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- 2012/12/09(日) 23:57:00|
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