第1問
行列A、Eをそれぞれ
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix} \end{align*}}$
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) A3を求めよ。
(2) E+A+A2+A3+A4+A5を求めよ。
(3) E+A+A2+･･･+A2012を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ハミルトン・ケーリーの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)A+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\right)E=O\end{align*}}$
⇔ A2－A+E=Ｏ ････①
よって、
A3=A･A2
=A(A－E) ←①より
=A2－A
=(A－E)－A
= －E ．
(2)
(1)より、
A3=－E
A4=A･A3=－A
A5=A2･A3=－A2
よって、
E+A+A2+A3+A4+A5
=E+A+A2－E－A－A2
= Ｏ
(3)
(1)より、ｎを0以上の整数とすると、
A6n=(A3)n=(－E)2n=E
A6n+1=A･A6n=A
A6n+2=A2･A6n=A2
A6n+3=A3･A6n=－E
A6n+4=A･A6n+3=－A
A6n+5=A2･A6n+3=－A2
これより、
E+A+A2+A3+A4+A5=Ｏ
A6+A7+A8+A9+A10+A11=Ｏ
A12+A13+A14+A15+A16+A17=Ｏ
････
A2004+A2005+A2006+A2007+A2008+A2009=Ｏ
なので、
E+A+A2+･･･+A2012
=Ｏ+Ｏ+･･･Ｏ+A2010+A2011+A2012
=E+A+A2
=E+A+(A－E) ←①より
=2A
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf -\sqrt3\\ \sf \sqrt3 &\sf 1\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$ ．
うまく処理していくと、成分計算は必要ありません。
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- 2012/11/14(水) 23:48:00|
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第2問
aを2以上の定数とする。関数
ｆ(x)=4x+4-x－2a(2x+2-x)
について、次の問いに答えよ。
(1) ｔ=2x+2-xとおく。ｔ≧2であることを示せ。
また、4x+4-xをｔで表せ。
(2) ｆ(x)の最小値とｆ(x)が最小となるときのxをaで表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2x＞0なので、相加･相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^x+2^{-x}\geqq 2\sqrt{2^x\cdot 2^{-x}}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t\geqq 2\ \ }\end{align*}}$ ．････①
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=(2^x+2^{-x})^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2^x)^2+2\cdot 2^x\cdot 2^{-x}+(2^{-x})^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4^x+4^{-x}+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4^x+4^{-x}=\underline{\ t^2-2\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)より
ｆ(x)=ｔ2－2－2aｔ
=(ｔ－a)2－a2－2 （ｔ≧2）
2≦aより、ｔ=aのときｆ(x)は最小値をとる。
その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)_{min}=\underline{\ -a^2-2\ \ }\end{align*}}$ ．
このときのxを求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^x+2^{-x}=a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2^x)^2-a\cdot 2^x +1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^x=\frac{a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ \log_2\frac{a\pm \sqrt{a^2-4}}{2}\ \ }\end{align*}}$
確実に！
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- 2012/11/14(水) 23:51:00|
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第3問
次の問いに答えよ。
(1) 5人の生徒をA組2人、B組2人、C組1人の3つの組に分ける
方法は何通りあるか。
(2) 5人の生徒を2人、2人、1人の3つの組に分ける方法は何通り
あるか。
(3) 5人の生徒を3つの組に分ける方法は何通りあるか。ただし、
どの組にも少なくとも1人の生徒が入るものとする。
(4) ｎとｋはｎ≧ｋをみたす自然数であるとする。ｎ人の生徒をｋ個の
組に分ける方法の総数をS(n,k)とおく。ただし、どの組にも少なく
とも1人の生徒が入るものとする。ｋ≧2のとき、次の等式が成り
立つことを示せ。
S(n+1,k)=S(n,k-1)+k S(n,k)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
5人の中からA組の2人を選ぶ方法は、
5C2=10通り。
このあと、残りの3人の中からB組の2人を選ぶ方法は、
3C2=3通り。
このあと、残った1人がC組に入ればよいので、
求める場合の数は、
10×3= 30 通り
である。
(2)
(1)において、A、Bの区別がないので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{30}{2!}=15\end{align*}}$ 通り．
(3)
5人の生徒を3つの組に分けるには
(ア) 2人、2人、1人
(イ) 3人、1人、1人
の場合がある。
(ア)の場合は、(2)より15通り。
(イ)の場合、3人を選んでしまえば、残りの2人は
1人ずつに分かれるので、
5C3=10通り。
よって、全部で
15+10=25通り
となる。
(4)
n+1人の生徒がｋ組に分かれる場合、
この中のある特定の1人(生徒P)が属する組(組P)について
次の2つの場合が考えられる。
(ウ) 組Pに属するのは生徒Pただ1人
(エ) 組Pに属する生徒は2人以上
(ウ)の場合、残りのｎ人がk-1組に分かれればよいので、
S(n，k-1)通り
(エ)の場合、生徒P以外のｎ人がｋ組に分かれる方法は
S(n，k)通りあり、生徒Pがどの組に属するかはｋ通り
考えられるので、全部で
ｋS(n，k)通り
以上より、
S(n+1,k)=S(n,k-1)+k S(n,k)
が示された。
(4)が難しいでしょうね。
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- 2012/11/14(水) 23:54:00|
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第4問
円$\small\sf{\sf x^2+y^2=1}$ 上の点$\small\sf{\sf P(\cos\theta\ ,\ \sin\theta)}$ とx軸上の点$\small\sf{\sf H(\cos\theta\ ,\ 0)}$
をとる。ただし、0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ /2とする。原点をＯ、線分PHを2：1
に内分する点をQとし、∠QＯH=$\small\sf{\alpha}$ 、∠PＯQ=$\small\sf{\beta}$ とおく。
次の問いに答えよ。
(1) 点Qの座標を$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(2) tan$\small\sf{\alpha}$ とtan$\small\sf{\beta}$ を$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(3) $\small\sf{\theta}$ が変化するとき、$\small\sf{\beta}$ が最大となる$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
QはPHを2：1に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q\left(\cos\theta\ ,\ \frac{\sin\theta}{3}\right)\ \ }\end{align*}}$
(2)
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\alpha=\frac{QH}{OH}=\frac{\sin\theta}{3\cos\theta}=\underline{\ \frac{\tan\theta}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
また、$\scriptsize\sf{\beta=\theta-\alpha}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\beta=\tan(\theta-\beta)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\tan\theta-\tan\alpha}{1+\tan\theta\tan\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\tan\theta-\frac{\tan\theta}{3}}{1+\tan\theta\frac{\tan\theta}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2\tan\theta}{3+\tan^2\theta}\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
$\scriptsize\sf{\sf 0\lt \beta\lt \pi/2}$ の範囲で$\scriptsize\sf{\tan\beta}$ は単調に増加するので、
$\scriptsize\sf{\beta}$ が最大になるのは、$\scriptsize\sf{\tan\beta}$ が最大になるときである。
$\scriptsize\sf{t=\tan\theta}$ とおくと、$\scriptsize\sf{0\lt \theta\lt\pi/2}$ より、ｔ＞0 ････①
これと(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan\beta=\frac{2t}{3+t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{\frac{3}{t}+t}\end{align*}}$ ←分子・分母÷ｔ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq \frac{2}{2\sqrt{\frac{3}{t}\cdot t}}\end{align*}}$ ←相加･相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt3}\end{align*}}$ ．
よって、
相加･相乗平均の等号が成立するときにtan$\scriptsize\sf{\beta}$ は最大となる。
このときのｔの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{t}=t\ \ \Leftrightarrow\ \ t^2-3\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\sqrt 3\ \ \ (>0)\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\tan\theta=\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \theta=\frac{\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)で相加･相乗平均に気づかなければ、微分してしまってもいいでしょう。
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- 2012/11/14(水) 23:57:00|
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