第1問（理学部）
xを正の実数とする。三角形ABCにおいて、AB=x、BC=x+1、
CA=x+2とする。次の問いに答えよ。
(1) xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) ∠B=$\small\sf{\theta}$ とおくとき、cos$\small\sf{\theta}$ をxを用いて表せ。
(3) 三角形ABCが鈍角三角形となるxの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
三角形の各辺の長さは、他の2辺の長さの和より小さいので、
x＜(x+1)+(x+2) ⇔ x＞－3
x+1＜x+(x+2) ⇔ x＞－1
x+2＜x+(x+1) ⇔ x＞1
が成り立てばよい。
これらを同時に満たすxの値の範囲は、
x＞1
である。
(2)
余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{x^2+(x+1)^2-(x+2)^2}{2x(x+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^2-2x-3}{2x(x+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(x-3)(x+1)}{2x(x+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{x-3}{2x}\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
CAが最大の辺なので、∠Bが最大の角になる。
よって、三角形ABCが鈍角三角形になるためには、
∠B＞90°すなわち、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜0であればよい。
(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{x-3}{2x}<0\end{align*}}$
⇔ x＜3．
これと(1)より、求める範囲は、
1＜x＜3
となる。
確実に！
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- 2012/11/09(金) 23:57:00|
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第2問（理学部）
$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{0\leqq\theta\leqq 2\pi}$ をみたす実数とする。2次関数
$\small\sf{\sf ｆ(x)=x^2-2(\sin\theta)x+\sin^2\theta}$
について、次の問いに答えよ。
(1) ｆ(x)のグラフの頂点の座標を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) ｆ(x)の区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\leqq x\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$ における最大値Ｍ($\small\sf{\theta}$ )を$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(3) (2)で求めた$\small\sf{M(\theta)}$ に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}\ M\ (\theta)\ d\theta\end{align*}}$
の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)は
$\scriptsize\sf{\sf ｆ(x)=(x-\sin\theta)^2}$
と変形できるので、グラフの頂点の座標は、
$\scriptsize\sf{\sf\underline{\ (sin\theta\ ,\ 0)}}$
である。
(2)
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\sin\theta\geqq 0}$ すなわち $\scriptsize\sf{\sf 0\leqq\theta\leqq\pi}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ (\theta)=f\ \left(-\frac{1}{2}\right)=\underline{\ \frac{1}{4}+\sin\theta+\sin^2\theta\ \ }\end{align*}}$
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\sin\theta\lt 0}$ すなわち $\scriptsize\sf{\pi\lt \theta\lt 2\pi}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ (\theta)=f\ \left(\frac{1}{2}\right)=\underline{\ \frac{1}{4}-\sin\theta+\sin^2\theta\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{2\pi}\ M\ (\theta)\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(\frac{1}{4}+\sin\theta+\sin^2\theta\right)\ d\theta+\int_{\pi}^{2\pi}\left(\frac{1}{4}-\sin\theta+\sin^2\theta\right)\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{2\pi}\ \frac{1}{4}\ d\theta+\int_0^{2\pi}\ \sin^2\theta\ d\theta+\int_0^{\pi}\ \sin\theta\ d\theta-\int_{\pi}^{2\pi}\ \sin\theta\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{4}\ \theta\right]_0^{2\pi}+\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\ \left(1-\cos 2\theta\right)\ d\theta+\left[ -\cos\theta\ \right]_0^{\pi}-\left[ -\cos\theta\ \right]_{\pi}^{2\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\left[\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{2\pi}+(1+1)-(-1-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3\pi}{2}+4\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)は軸の位置で場合分けです。
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- 2012/11/10(土) 23:57:00|
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第3問（理学部）
aとbは異なる整数で、ともに0以上9以下とする。有理数xが次のように
循環小数で表されているとする。
x=0.abababab･･･
次の問いに答えよ。
(1) 99xは自然数であることを示せ。
(2) 33xが自然数となるようなxを1つ求めよ。
(3) 11xが自然数となるときのa+bの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
xおよび100xは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{a}{10}+\frac{b}{10^2}+\frac{a}{10^3}+\frac{b}{10^4}+\frac{a}{10^5}+\frac{b}{10^6}+\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 100x=10a+b+\frac{a}{10}+\frac{b}{10^2}+\frac{a}{10^3}+\frac{b}{10^4}+\frac{a}{10^5}+\frac{b}{10^6}+\ldots\end{align*}}$
であり、差をとると小数点以下は消えるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 99x=10a+b\end{align*}}$ ．
よって、99xは自然数である。
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 33x=\frac{99x}{3}=\frac{10a+b}{3}\end{align*}}$ ．
これが自然数になるためには、10a+bが3の倍数になればよい。
例えば、a=1、b=2のとき、
x=0.1212121212･･･
であり、33x=4 となり、題意を満たす。
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 11x=\frac{99x}{9}=\frac{10a+b}{9}\end{align*}}$ ．
これが自然数になるためには、10a+bが9の倍数になればよい。
よって、整数ｋを用いて
10a+b=9ｋ
と表される。この式は、
9a+a+b=9ｋ ⇔ a+b=9(ｋ－a)
と変形できるので、a+bは9の倍数となる。
ここで、a、bは0以上9以下の異なる自然数なので、
a+b=9
である。
(3)の変形が少し難しいかもしれません。
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- 2012/11/11(日) 23:57:00|
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第4問（生活環境学部）
三角形ABCは各辺の長さが1の正三角形であるとする。
辺AB上に点D、辺BC上に点E、辺CA上に点Fを
AD=BE=CF=x
となるようにとる。ただし、0＜x＜1とする。次の問いに
答えよ。
(1) 三角形ABCの内接円の半径を求めよ。
(2) 三角形DEFの外接円の半径Rをxを用いて表せ。
(3) (2)で求めたRを最小にするxの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
内接円の中心をＩとし、その半径をrとすると、
△ABC=△ＩAB+△ＩBC+△ＩCA=3△ＩAB
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot\sin 60^{\circ}=3\left(\frac{1}{2}\cdot 1\cdot r\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\ \frac{\sqrt6}{6}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
題意より
AD=BE=CF=x
BD=CE=AF=1－x
となるので、
△ADF≡△BED≡△CFE
より、△DEFは正三角形となる。
その一辺は、余弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DF^2=x^2+(1-x)^2-2x(1-x)\cdot\cos 60^{\circ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3x^2-3x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ DF=\sqrt{3x^2-3x+1}\end{align*}}$ ．
正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt{3x^2-3x+1}}{\sin 60^{\circ}}=2R\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ R=\frac{\sqrt{3x^2-3x+1}}{\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{x^2-x+\frac{1}{3}}\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
xについての関数ｆ(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f (x)=x^2-x+\frac{1}{3}\ \ \ \ \ \ (0\lt x<1)\end{align*}}$
と定義すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f (x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\end{align*}}$
と変形できる。
Rが最小になるのは、ｆ(x)が最小のときなので、
求めるxの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
である。
計算ミスをしないように！
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- 2012/11/12(月) 23:57:00|
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第5問（生活環境学部）
1つのさいころを4回投げ、出た目を1回目から順にa、b、c、d
とする。このa、b、c、dを用いてxの2次式
ｆ(x)=x2－(a+d)x+(ad－bc)
を作る。次の問いに答えよ。
(1) どのようなさいころの目が出たとしても、2次方程式ｆ(x)=0は
異なる2つの実数解を持つことを示せ。
(2) どのようなさいころの目が出たとしても、2次方程式ｆ(x)=0は
1つの正の実数解を持つことを示せ。
(3) 2次方程式ｆ(x)=0の2つの実数解がいずれも0以上である
確率は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ 以上であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
方程式ｆ(x)=0の判別式は、
D=(a+d)2－4(ad－bc)
=a2－2ad+d2+4bc
=(a－d)2+4bc＞0 （∵b、c＞0）
よって、ｆ(x)=0は異なる2つの実数解を持つ。
(2)
ｆ(x)=0の2解を$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ とおくと、
解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =a+d＞0 （∵a、d＞0）
よって、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ の少なくとも一方は正になるので、
題意は示された。
(3)
(2)より、$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ ＞0なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ ともに0以上になるためには、$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ≧0 であればよい。
すなわち、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =ad－bc≧0
となればよい。
ここで、ad－bcの符号については、次の3通りの場合が考えられる。
ア･･･ad－bc＜0の場合
イ･･･ad－bc＞0の場合
ウ･･･ad－bc=0の場合
さいころの目の出方は同様に確からしいので、
アの確率とイの確率は等しい。よって、
(アの確率) ＜ (イの確率) + (ウの確率)
となるので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =ad－bc≧0
となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ より大きい。
(3)は確率を求める必要はありませんので、
うまく誤魔化してください（笑）
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- 2012/11/13(火) 23:57:00|
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第6問（生活環境学部）
aを実数とする。関数 y=|x－1|+|x－2| と関数 y=x+a
のグラフをそれぞれG1、G2とおく。G1とG2が交点を持つとする。
次の問いに答えよ。
(1) G1をかけ。
(2) G1とG2の囲む領域が三角形であるとする。このときaの値の
範囲を求め、三角形の面積S1をaを用いて表せ。
(3) G1とG2の囲む領域が四角形であるとする。このときaの値の
範囲を求め、四角形の面積S2をaを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ)x＜1のとき
x－1＜0 かつ x－2＜0
なので
y=－(x－1)－(x－2)=－2x+3
(ⅱ)1≦x＜2のとき
x－1≧0 かつ x－2＜0
なので
y=(x－1)－(x－2)=1
(ⅲ)2≦xのとき
x－1＞0 かつ x－2≧0
なので
y=(x－1)+(x－2)=2x－3
これらを図示すると右図のようになる。
(2)
点(1，1)および(2，1)をA、Bとする。
直線y=x+aがAおよびBを
通るときのaの値はそれぞれ
a=0、 a=－1．
よって、右図より
G1とG2の囲む領域が三角形になるような
aの値の範囲は、
－1＜a≦0 ．
G1と直線y=2x－3の交点をCとすると、
x+a=2x－3 ⇔ x=a+3
より、C(a+3，2a+3)．
また、G1と直線y=1の交点をDとすると、
x+a=1 ⇔ x=－a+1
より、D(－a+1，0)．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\triangle BCD\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\left\{2-(-a+1)\right\}\cdot\left\{(2a+3)-1\right\} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ (a+1)^2\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
G1とG2の囲む領域が四角形になるような
aの値の範囲は、右図より
0＜a ．
G1と直線y=－2x+3の交点をEとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+a=-2x+3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{3-a}{3}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\ \left(\frac{3-a}{3}\ ,\ \frac{3+2a}{3}\right)\end{align*}}$ ．
また、Aを通りy軸に平行な直線x=1とy=x+aとの
交点をFとすると、F(1，a+1)．
四角形ABCE=△ABC+△ACF+△AEF
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \left\{(2a+3)-1\right\}+\frac{1}{2}\left\{(a+1)-1\right\}\left\{(a+3)-\frac{3-a}{3}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(a+1)+\frac{a(2a+3)}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2a^2+6a+3}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
図を描けば問題ないと思います。
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- 2012/11/14(水) 22:57:00|
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