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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010京都薬科大 数学1(1)~(3)



第1問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

 (1) 事象Aと事象Bが互いに排反で、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf P\ (A)=\frac{1}{5}\ \ ,\ \ P\ (A\cup B)=\frac{4}{5}\end{align*}}$
    を満たすとき、P(B)= ア  であり、P(AB)= イ  である。
    ただし、Xは事象Xの余事象を表すものとする。

 (2) 平面上における点Aが直線y=2x上を動くとき、点B(3,2)、
    C(5,7)とすると、△ABCの面積が10となるのは、点Aの座標が
    ( ウ  エ  )または、( オ  カ  )のときである。
    ただし、 ウ  オ  とする。

 (3) 不等式
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \log_a x<\log_{a^2}(2x+4)\end{align*}}$
    を満たすxの範囲は キ  である。ただし、a>1とする。



2010京都薬科大 数学1(4)~(6)



第1問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

 (4) 不等式
       $\small\sf{\begin{align*} \sf 8^x+4^{x+1}+2^x-6<0\end{align*}}$
    を解くと、 ク  となる。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(2x^2-\frac{1}{x}\right)^{20}\end{align*}}$ の展開式において、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x^{14}}\end{align*}}$ の係数は ケ  である。

 (6) 方程式
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin 3x+\sin 4x=0\end{align*}}$
    を0<x<$\small\sf{\pi}$ の範囲で解くと、一番大きな解は コ  となり、
    また、方程式
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin x+\sin 2x=\sin 3x+\sin 4x\end{align*}}$
    を0<x<$\small\sf{\pi}$ の範囲で解くと、一番大きな解は サ  となる。



2010京都薬科大 数学2



第2問

  1辺の長さ1の正四面体OABCにおいて、辺OA、OB、OC、AB、
  BC、CAの中点をそれぞれS、T、U、V、W、Xとおく。また、点O
  から平面ABCに下ろした垂線の足をHとおくとき、次の   
  あてはまる数を解答欄に記入せよ。ただし、分数形で解答する場合
  は、既約分数にすること。

 (1) OHの長さは ア  で、正四面体の表面積は イ  、体積は
     ウ  である。また、このとき、正四面体に内接する球の体積
    は エ  となる。

 (2) S、T、U、V、W、Xを頂点とする立体の表面積は オ  で、
    体積は カ  である。また、このとき、この立体に内接する球の
    体積は キ  となる。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf ST}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf t}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf SU}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf SV}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$ とおくとき、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf TX}\end{align*}}$ = ク  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf t}\end{align*}}$ + ケ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ + コ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ = サ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf t}\end{align*}}$ + シ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ + ス  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ = セ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf t}\end{align*}}$ + ソ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u}\end{align*}}$ + タ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}\end{align*}}$
    となる。


2010京都薬科大 数学3



第3問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

  放物線y=x2上に2点A(-1,1)、B(2,4)を取る。0<t<2として、
  2つの動点P(t,t2)、Q(t-1,(t-1)2)もその放物線上に取る。
  直線APは傾きが ア  、y切片が イ  で、直線BQは傾きが ウ 
  y切片が エ  である。
  直線APと直線BQの交点Rは、tを用いると、( オ  カ  )と表され、
  その軌跡は放物線C:y= キ  x2+ ク  x+ ケ  上にある。
  いま、線分ARと線分RB、および放物線y=x2で囲まれた図形の面積を
  Sとおくと、S= コ 2+ サ  t+ シ  であるから、t= ス 
  のとき、面積Sは最小値 セ  をとる。このとき、放物線Cの点Rにおける
  接線の傾きは ソ  である。



2010京都薬科大 数学4



第4問

  1から10までの数が、同様に確からしく出るルーレットがある。いま、
  ルーレットを回し、1から4までの数が出るとコインを1枚もらい、5から
  10までの数が出るとコインを1枚失うゲームを繰り返し行う。
  Nを2以上の定数として、コインの枚数がN枚になるか、または、コイン
  がすべてなくなれば、ゲームを終了する。
  最初にコインをk枚持ってゲームを始め、コインがN枚になってゲームを
  終了する確率をPkとして、次の    にあてはまる数または式を解答
  欄に記入せよ。
 
 (1) Pkの定義より、P0= ア  、PN= イ  である。

 (2) kを1≦k≦N-1として、Pk-1、Pk、Pk+1の間に成り立つ関係式は
     ウ  となる。

 (3) Pk-Pk-1をP0とP1およびkを用いて表すと、
       Pk-Pk-1= エ  (P1-P0)
    となる。
    さらに、この漸化式を解き、PkをP0、P1およびkを用いて表すと、
       Pk=P0+ オ  (P1-P0) ・・・・(A)
    となる。

 (4) 式(A)はk=0およびk=Nのときも成り立つので、設問(1)の結果を
    使って、PkをkおよびNを用いて表すと、Pk= カ  となる。

 (5) Nを偶数として、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{2}\end{align*}}$ 枚コインを持ってゲームを始める。コインがN枚に
    なってゲームを終了する確率が10001分の1以下になるのは、Nが
     キ  枚以上のときである。
    必要であれば、log102=0.3010、log103=0.4771を用いよ。