第4問
1から10までの数が、同様に確からしく出るルーレットがある。いま、
ルーレットを回し、1から4までの数が出るとコインを1枚もらい、5から
10までの数が出るとコインを1枚失うゲームを繰り返し行う。
Ｎを2以上の定数として、コインの枚数がＮ枚になるか、または、コイン
がすべてなくなれば、ゲームを終了する。
最初にコインをｋ枚持ってゲームを始め、コインがＮ枚になってゲームを
終了する確率をPkとして、次の にあてはまる数または式を解答
欄に記入せよ。
(1) Pkの定義より、P0= ア 、PN= イ である。
(2) ｋを1≦ｋ≦Ｎ－1として、Pk-1、Pk、Pk+1の間に成り立つ関係式は
ウ となる。
(3) Pk－Pk-1をP0とP1およびｋを用いて表すと、
Pk－Pk-1= エ (P1－P0)
となる。
さらに、この漸化式を解き、PkをP0、P1およびｋを用いて表すと、
Pk=P0+ オ (P1－P0) ････(A)
となる。
(4) 式(A)はｋ=0およびｋ=Ｎのときも成り立つので、設問(1)の結果を
使って、PkをｋおよびＮを用いて表すと、Pk= カ となる。
(5) Ｎを偶数として、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{2}\end{align*}}$ 枚コインを持ってゲームを始める。コインがＮ枚に
なってゲームを終了する確率が10001分の1以下になるのは、Ｎが
キ 枚以上のときである。
必要であれば、log102=0.3010、log103=0.4771を用いよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 0 イ 1 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_k=\frac{2}{5}\ P_{k+1}+\frac{3}{5}\ P_{k-1}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}\end{align*}}$
オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1\right\}\end{align*}}$ カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1}\end{align*}}$ キ 46
【解説】 (1)
コインがすべてなくなればゲームは終了するので、P0=0．
また、コインがＮ枚になればゲームは終了するので、PN=1．
(2)
最初にｋ枚（1≦ｋ≦Ｎ－1）持っている状態から、
Ｎ枚になって終了するには、次の2つの場合が考えられる。
(ⅰ) 1回目1～4が出て、ｋ+1枚になった状態からＮ枚になる場合。
この確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{5}\ P_{k+1}\ .\end{align*}}$
(ⅱ) 1回目5～10が出て、ｋ－1枚になった状態からＮ枚になる場合。
この確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{5}\ P_{k-1}\ .\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_k=\frac{2}{5}\ P_{k+1}+\frac{3}{5}\ P_{k-1}\ \ }\end{align*}}$
(3)
特性方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2}{5}\ t^2+\frac{3}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=1\ , \ \frac{3}{2}\end{align*}}$
を用いると、(2)の関係式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{k+1}-P_k=\frac{3}{2}\left(P_k-P_{k-1}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{P_k-P_{k-1}\right\}\end{align*}}$ は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ の等比数列となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_k-P_{k-1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}(P_1-P_0)\ \ }\end{align*}}$ ．
この式は、ｋ=1，2，･･･，ｋについて成立するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1-P_{0}=\left(\frac{3}{2}\right)^{0}(P_1-P_0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_2-P_{1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{1}(P_1-P_0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3-P_{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}(P_1-P_0)\end{align*}}$
･･･
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{k-1}-P_{k-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{k-2}(P_1-P_0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_k-P_{k-1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}(P_1-P_0)\end{align*}}$
これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_k-P_0=\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{0}+\left(\frac{3}{2}\right)^{1}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\ldots +\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}\right\}(P_1-P_0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ P_k=P_0+\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1}{\frac{3}{2}-1}(P_1-P_0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ P_k=P_0+2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1\right\}(P_1-P_0)\ \ }\ \ \ldots \ldots\ (A)\end{align*}}$
(4)
(A)にｋ=Ｎを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_N=P_0+2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1\right\}(P_1-P_0)\end{align*}}$
であり、(1)より P0=0、PN=1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1=0+2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1\right\}(P_1-0)\ \ \Leftrightarrow\ \ P_1=\frac{1}{2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1\right\}}\end{align*}}$ ．
これを(A)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_k=2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1\right\}\cdot\frac{1}{2\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1\right\}}=\underline{\ \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{k}-1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1}\ \ }\end{align*}}$
が得られる。
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{N}{2}\end{align*}}$ 枚のコインから始めるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{\frac{N}{2}}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}-1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{N}-1}=\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}+1}\end{align*}}$
であり、これが10001分の1以下なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}+1}\leqq \frac{1}{10001}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}+1\geqq 10001\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}\geqq 10000\end{align*}}$ ．
両辺＞0より、常用対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lg_{10}\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{N}{2}}\geqq \log_{10}10000\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{N}{2}\log_{10}\frac{3}{2}\geqq 4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ N\left(\log_{10}3-\log_{10}2\right)\geqq 8\end{align*}}$ .
これに与えられた数値を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (0.4771-0.3010)\ N\geqq 8\ \ \Leftrightarrow\ \ n\geqq 45.4\ldots\end{align*}}$
これを満たす最小の偶数Ｎは、46 なので、
Ｎが46枚以上のとき、題意を満たすことになる。
(2)に気づくかが勝負の分かれ目です！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/24(土) 01:09:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .京都薬科大 2010
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