青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2008甲

2008　京都大　理系数学（甲）１

第１問

　　直線ｙ＝ｐｘ＋ｑが関数ｙ＝log ｘのグラフと共有点をもたないために
　　ｐとｑが満たすべき必要十分条件を求めよ

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　真数条件より、以下はｘ＞０の範囲で考える。
　
　　　　２式を連立させると、
　　　　　　　ｐｘ＋ｑ＝log ｘ　⇔　log ｘ－ｐｘ＝ｑ

　　　　未知の定数を分離するのは、定石ですね。
　　　　ｐが残っていますが、まぁ１文字ぐらいだったらどうにかなるでしょう。　　

　　　　ここで、ｆ(ｘ)＝logｘ－ｐｘとおくと、題意を満たすためには、
　　　　ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフと直線ｙ＝ｑが共有点をもたなければよい。
　　　　まず、ｆ(ｘ)の導関数を求めると、
　　　　　　　　 $\rm f\ '(x)=\frac{1}{x}-p$

　　　　(ⅰ) ｐ≦０のとき
　　　　　　　ｘ＞０の範囲で常にｆ’(ｘ)＞０となるので、
　　　　　　　ｆ(ｘ)は単調増加。
　　　　　　　また、
　　　　　　　　　　 $\rm \lim_{x\rightarrow +0}f\ (x)=-\infty$
　　　　　　　　　　 $\rm \lim_{x\rightarrow +\infty}f\ (x)=\infty$
　　　　　　　なので、ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフと直線ｙ＝ｑは必ず
　　　　　　　共有点をもってしまう（右図１）。
　　　　　　　よって、この場合は不適である。　　　

　　　　(ⅱ) ｐ＞０のとき
　　　　　　　ｆ’(ｘ)＝０となるのは、
　　　　　　　　　　 $\rm 　x=\frac{1}{p}\ \ (>0)$
　　　　　　　のとき。
　　　　　　　ｘ＞０の範囲で増減表を書くと、下の通り。
　　　　　　　　　　　

　　　　　　　ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフと直線ｙ＝ｑが共有点をもたないのは、
　　　　　　　　　　 $\rm 　q>f\ \left(\frac{1}{p}\right)=-\log p-1$
　　　　　　　のときである（右図２）。

　　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、満たすべき条件は、
　　　　　　　　ｐ＞０かつｑ＞－log ｐ－１　

　　(ⅱ)のｘ→＋∞のときの極限について。　　
　　　　　 $\rm {\color{blue}\lim_{x\rightarrow+\infty}\ \frac{\log x}{x}=0}$ 　･････①　
　　という極限値を用いれば、簡単にｆ(ｘ)→－∞とできるのですが、
　　①を証明しようとすると、大変なことになってしまいます。
　　直接には答えとは関係ないので、触れずにおくのがベストでしょうね。　　

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2008　京都大　理系数学（甲）２

第２問

　　正四面体ＡＢＣＤを考える。点Ｐは時刻０では頂点Ａに位置し、１秒ごとに
　　ある頂点から他の３頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、
　　時刻０から時刻ｎまでの間に、４頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのすべてに点Ｐが現れる
　　確率を求めよ。ただし、ｎは１以上の整数とする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　
　　　　まず、時刻０に点Ａに位置しているので、残りのＢ、Ｃ、Ｄに
　　　　ついてのみ考えればよい。

　　　　時刻ｎの時点で、点Ｐがそれまでに一度もＢ、Ｃ、Ｄに現れない
　　　　事象をそれぞれ、
　　　　　　　　Ｂ、Ｃ、Ｄ
　　　　と書くことにする。

　　　　「４頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄのすべてに点Ｐが現れる」
　　　　を事象Ｘとおくと、Ｘの余事象は、
　　　　　　　　ＢまたはＣまたはＤ
　　　　である。

　　　　ここで、時刻１にはＢ、Ｃ、Ｄのいずれかの点に
　　　　移動しているので、
　　　　　　　　ＢかつＣかつＤ
　　　　とは成りえない。
　　　　このことを考慮に入れて、ベン図で表すと、
　　　　右図の緑色の部分が
　　　　事象Ｘを表すことになる。

　　　　(ⅰ) 事象Ｂが起こる確率
　　　　　　　時刻ｎまでのｎ回の移動のすべてにおいて、
　　　　　　　移動可能な３点のうち、Ｂ以外の２点の
　　　　　　　いずれかに移動すればよいので、
　　　　　　　その確率は
　　　　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{2}{3}\right)^n$
　　　　　　　となる。　同様に、Ｃ、Ｄとなる確率もそれぞれ
　　　　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{2}{3}\right)^n$
　　　　　　　である。

　　　　(ⅱ) 事象「ＢかつＣ」が起こる確率
　　　　　　　時刻ｎまでのｎ回の移動のすべてにおいて、
　　　　　　　移動可能な３点のうち、Ｂ、Ｃ以外の点に
　　　　　　　移動すればよいので、その確率は
　　　　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{1}{3}\right)^n$
　　　　　　　となる。
　　　　　　　同様に、
　　　　　　　「ＣかつＤ」および「ＤかつＢ」となる確率もそれぞれ
　　　　　　　　　　　 $\rm \left(\frac{1}{3}\right)^n$
　　　　　　　である。

　　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、事象Ｘが起こる確率は、
　　　　　　　　　　　 $\rm 1-\bigg(3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^n-3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n\bigg)=\underline{\ 1-3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\ \ }$

　　　　ベン図を描くと分かりやすいと思います。
　　　　　　　　　(緑色)＝(全体)－{(水色３つ)－(ピンク３つ)}
　　　　です。　　

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2012/10/29(月) 23:57:00|

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2008　京都大　理系数学（甲）３

第３問

　　ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣを考える。辺ＡＢの中点をＭとし、
　　辺ＡＢを延長した直線上に点Ｎを、ＡＮ：ＮＢ＝２：１となるようにとる。
　　このとき、∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮとなることを示せ。ただし、点Ｎは辺ＡＢ
　　上にないものとする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　△ＡＭＣと△ＡＣＮにおいて、題意より
　　　　　　　　ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＮかつ　ＡＭ＝ＢＭ
　　　なので、
　　　　　　　　ＡＭ：ＡＣ＝ＡＣ：ＡＮ＝１：２．
　　　また、∠Ａ共通なので、△ＡＭＣ∽△ＡＣＮ．
　　　よって、∠ＡＣＭ＝∠ＡＮＣ････①

　　　△ＢＣＮにおいて、
　　　　　　　∠ＢＣＮ＝∠ＡＢＣ－∠ＣＮＢ
　　　△ＡＢＣにおいて、
　　　　　　　∠ＢＣＭ＝∠ＡＣＢ－∠ＡＣＭ．
　　　
　　　△ＡＢＣは二等辺三角形なので
　　　　　　　∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ　
　　　であり、このことと①より
　　　　　　　∠ＢＣＭ＝∠ＢＣＮ
　　　となる。

　　他にも色々な考え方ができると思います。　　

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2012/10/30(火) 23:54:00|

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2008　京都大　理系数学（甲）４

第４問

　　定数ａは実数であるとする。方程式
　　　　　(ｘ²＋ａｘ＋１)(３ｘ²－ａｘ－３)＝０
　　を満たす実数ｘはいくつあるか。ａの値によって分類せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　(ｘ²＋ａｘ＋１)(３ｘ²－ａｘ－３)＝０　････(※)

　　２つの二次方程式
　　　　　　　　ｘ²＋ａｘ＋１＝０　････①
　　　　　　　　３ｘ²－ａｘ－３＝０　････②
　　の判別式をそれぞれＤ₁、Ｄ₂とすると、
　　　　　　　　Ｄ₁＝ａ²－４＝(ａ－２)(ａ＋２)
　　となるので、①は
　　　　　　　　－２＜ａ＜２のとき、虚数解
　　　　　　　　ａ＝±２のとき、重解
　　　　　　　　ａ＜－２、２＜ａのとき、異なる２つの実数解
　　をもつ。また、
　　　　　　　　Ｄ₂＝ａ²＋36＞０
　　より、②はａの値によらず、異なる２つの実数解をもつ。

　　①と②が共通解をもつ場合を考える。共通解をｐとおくと、
　　　　　　　　ｐ²＋ａｐ＋１＝０　････①’
　　　　　　　　３ｐ²－ａｐ－３＝０　････②’
　　であり、これら２式を辺々加えると、
　　　　　　　　 $\rm 4p^2-2=0　\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\pm\frac{1}{\sqrt2}$
　　 $\rm (i)\ \ p=\frac{1}{\sqrt2}$ 　のとき
　　　　①’、②’よりａの値を求めると、
　　　　　　　　 $\rm a=-\frac{3}{\sqrt2}$
　　　　となり、このときの①および②の解はそれぞれ、
　　　　　　　　 $\rm x=\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ \sqrt2\ \ \ ,\ \ \ \ x=\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ -\sqrt2$
　　　　なので、(※)は異なる３個の実数解をもつ。

　　 $\rm (ii)\ \ p=-\frac{1}{\sqrt2}$ 　のとき
　　　　①’、②’よりａの値を求めると、
　　　　　　　　 $\rm a=\frac{3}{\sqrt2}$
　　　　となり、このときの①および②の解はそれぞれ、
　　　　　　　　 $\rm x=-\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ -\sqrt2\ \ \ ,\ \ \ \ x=-\frac{1}{\sqrt2}\ \ ,\ \sqrt2$
　　　　なので、(※)は異なる３個の実数解をもつ。

　　以上より、(※)の異なる実数解の個数は、
　　　　　　　　 $\rm -2<a<2$ 　のとき２個
　　　　　　　　 $\rm a=\pm 2\ ,\ \pm\frac{3}{\sqrt2}$ 　のとき３個
　　　　　　　　 $\rm a<-\frac{3}{\sqrt2}\ ,\ -\frac{3}{\sqrt2}<a<-2\ ,\ 2<a<\frac{3}{\sqrt2}\ ,\ \frac{3}{\sqrt2}<a$ 　のとき４個
　　となる。

　　共通解があることを忘れちゃダメです！　　

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2012/10/30(火) 23:57:00|

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2008　京都大　理系数学（甲）５

第５問

　　次の式で与えられる底面の半径が２、高さが１の円柱Ｃを考える。
　　　　　Ｃ＝{ (ｘ，ｙ，ｚ) | ｘ²＋ｙ²≦４，０≦ｚ≦１}
　　ｘｙ平面上の直線ｙ＝１を含み、ｘｙ平面と45°の角をなす平面のうち、
　　点(０，２，１)を通るものをＨとする。円柱Ｃを平面Ｈで２つに分けるとき、
　　点(０，２，０)を含む方の体積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ｘｙ平面上において、
　　円ｘ²＋ｙ²＝４と直線ｙ＝１との交点を求めると、　
　　　　　　ｘ²＋１²＝４　⇔　ｘ＝± $\rm \sqrt3$ ．

　　次に、ｘ軸上に点Ｐ(ｔ，０)　（－ $\rm \sqrt3$ ≦ｔ≦ $\rm \sqrt3$ ）を通り、
　　ｘ軸に垂直な直線と直線ｙ＝１および円ｘ²＋ｙ²＝４
　　との交点をそれぞれ右図１にようにＱ、Ｒとする。
　　　　　　Ｑ(ｔ，１) 、Ｒ(ｔ， $\rm \sqrt{4-t^2}$ )
　　より、
　　　　　　ＱＲ＝ $\rm \sqrt{4-t^2}$ －１．

　　
　　円柱Ｃを平面Ｈで２つに分けたときに点(０，２，０)を含む側、
　　すなわち下側にある方の立体をＤとし、Ｄをｘ軸に垂直な
　　平面ｘ＝ｔで切ったときの断面Ｓを考える。
　　平面Ｈがｘｙ平面と45°をなすことから、断面Ｓは
　　ＱＲを等辺とする直角二等辺三角形となり(図２)、
　　その面積Ｓ(ｔ)は、
　　　　　 $\rm S\ (t)=\frac{1}{2}\ QR^2$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{2}\left(\sqrt{4-t^2}-1\right)^2$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{2}\left(5-t^2-2\sqrt{4-t^2}\right)$ ．

　　求めるＤの体積Ｖは、－ $\rm \sqrt3$ ≦ｔ≦ $\rm \sqrt3$ の範囲で、
　　断面積Ｓ(ｔ)を積分すると得られるので、
　　　　　 $\rm V=\frac{1}{2}\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}\ \left(5-t^2-2\sqrt{4-t^2}\right)\ dt$
　　　　　　 $\rm =\int_{0}^{\sqrt3} \left(5-t^2\right)\ dt-2\int_0^{\sqrt3} \sqrt{4-t^2}\right)\ dt$
　　ここで、
　　　　　　 $\rm \int_{0}^{\sqrt3} \left(5-t^2\right)\ dt=\left[5t-\frac{1}{3}t^3\right]_0^{\sqrt3}=4\sqrt3$

　　一方、後半の積分は、
　　右図３の面積を考えることによって、
　　　　　　 $\rm \int_0^{\sqrt3} \sqrt{4-t^2}\ dt=2^2\pi\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot\sqrt3\cdot1$
　　　　　　　　　　　　　　 $\rm =\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt3}{2}$
　　と求めることができる。
　　以上より、
　　　　　　 $\rm V=4\sqrt3-2\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\sqrt3}{2}\right)$
　　　　　　　 $\rm =\underline{\ 3\sqrt3-\frac{4}{3}\pi\ \ }$

　　これは教科書にもあるような問題ですね。
　　ｙ軸やｚ軸に垂直な平面で切った断面で考えてもＯＫです。　　

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2012/10/31(水) 23:54:00|

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2008　京都大　理系数学（甲）６

第６問

　　空間内に原点Ｏを中心とし半径１の球面Ｓを考え、Ｓ上の２点を
　　　　　　　　　 $\rm A\left(\frac{1}{2}\ ,\ 0\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)\ \ \ ,\ \ B\left(\frac{1}{4}\ ,\ \frac{\sqrt3}{4}\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)$
　　とする。
　　　　　　　　　 $\rm z=\frac{\sqrt3}{2}$
　　で与えられる平面でＳを切った切り口の円において、ＡとＢを結ぶ
　　弧のうち短い方の長さをL₁とする。また３点Ｏ、Ａ、Ｂを通る平面で
　　切った切り口の円において、ＡとＢを結ぶ弧のうち短い方の長さを
　　L₂とする。このときL₁＞L₂を証明せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　Ｓを平面 $\rm z=\frac{\sqrt3}{2}$ で切った切り口の円をＣ₁とし、
　　その中心をＰとすると、
　　　　　　　　 $\rm P\left(0\ ,\ 0\ ,\ \frac{\sqrt3}{2}\right)$
　　であり、Ｃ₁の半径は、
　　　　　　　　 $\rm PA=PB=\frac{1}{2}$ ．
　　また、
　　　　　　 $\rm AB=\sqrt{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)^2+\left(0-\frac{\sqrt3}{4}\right)^2}=\frac{1}{2}$ 　････①
　　となるので、△ＰＡＢは正三角形であり、
　　　　　　　　 $\rm \angle APB=\frac{\pi}{3}$
　　なので、
　　　　　　　　 $\rm L_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}$ ．････②

　　一方、
　　Ｓを平面ＯＡＢで切った切り口の円をＣ₂とすると、
　　その半径は、ＯＡ＝ＯＢ＝１．
　　∠ＡＯＢ＝θ（０≦θ≦π）とおくと、
　　　　　　　　L₂＝１･θ＝θ　････③
　　また、△ＡＯＢに余弦定理を適用すると、
　　　　　　　　 $\rm \cos\theta=\frac{1^2+1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2\cdot 1\cdot 1}=\frac{7}{8}$ ．
　　ここで、
　　　　　　　　 $\rm \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt{48}}{8}\ \ ,\ \ \frac{7}{8}=\frac{\sqrt{49}}{8}$
　　なので、
　　　　　　　　 $\rm \frac{\sqrt3}{2}<\frac{7}{8}\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\frac{\pi}{6}<\cos\theta$ 　．
　　０≦θ≦πの範囲ではcosθは単調に減少するので、
　　　　　　　　 $\rm \frac{\pi}{6}>\theta$ ．
　　よって、②、③より、
　　　　　　　　L₁＞L₂
　　となる。

　　地理で習う「大圏航路は等角航路より短い」ってヤツですね。　　

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2012/10/31(水) 23:57:00|

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