青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2009甲

2009京都大　理系数学（甲）１（１）

第１問

　(１)　正の数aに対してxyz空間で O(0，0，0)、A(3，0，0)、B(3，2，0)、
　　　　C(0，2，0)、D(0，0，a)、E(3，0，a)、F(3，2，a)、G(0，2，a)を
　　　　頂点とする直方体OABC－DEFGを考える。Dを通り、3つの頂点O、E、
　　　　Gを含む平面に垂直な直線が辺BC（両端を含む）と点Pで交わるとき、
　　　　aの値とPの座標を求めよ。

解答はこちら↓

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2013/07/26(金) 23:54:00|

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2009京都大　理系数学（甲）１（２）

第１問

　　次の各問いにそれぞれ答えよ。

　(２) 白球と赤球の入った袋から２個の球を同時に取り出すゲームを考える。
　　　取り出した２球がともに白球ならば｢成功｣でゲームを終了し、そうで
　　　ないときは｢失敗｣とし、取り出した２球に赤球を１個加えた３個の球を
　　　袋にもどしてゲームを続けるものとする。最初に白球が２個、赤球が
　　　１個袋に入っていたとき、ｎ－１回まで失敗しｎ回目に成功する確率
　　　を求めよ。ただしｎ≧２とする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(２)
　　　初めの状態(白２、赤１)から１回目に失敗する確率は、
　　　　　　　　　　 $\rm 1-\frac{_2C_2}{_3C_2}$
　　　１回目に失敗した後(白２、赤２)に、２回目も失敗する確率は、
　　　　　　　　　　 $\rm 1-\frac{_2C_2}{_4C_2}$
　　　････
　　　n-2回目に失敗した後(白２、赤n-1)に、n-1回目も失敗する確率は、
　　　　　　　　　　 $\rm 1-\frac{_2C_2}{_{n+1}C_2}$
　　　n-1回目に失敗した後(白２、赤n-1)に、ｎ回目に成功する確率は、
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{_2C_2}{_{n+2}C_2}$

　　　求める確率ｐは、これらの積になるので、
　　　　　 $\rm p=\left(1-\frac{_2C_2}{_3C_2}\right)\left(1-\frac{_2C_2}{_4C_2}\right)\left(1-\frac{_2C_2}{_5C_2}\right)\ldots\left(1-\frac{_2C_2}{_{n+1}C_2}\right)\cdot\frac{_2C_2}{_{n+2}C_2}$
　　　となる。
　　　ここで、一般に
　　　　　　　 $\rm 1-\frac{_2C_2}{_{k}C_2}=\frac{k(k-1)-2}{k(k-1)}=\frac{(k-2)(k+1)}{k(k-1)}\ \ (k=3,4,\ldots ,n+1)$
　　　であり、
　　　　　　　 $\rm \frac{_2C_2}{_{n+2}C_2}=\frac{2}{(n+2)(n+1)}$
　　　なので、
　　　　　 $\rm p=\frac{1\cdot 4}{3\cdot 2}\times\frac{2\cdot 5}{4\cdot 3}\times\frac{3\cdot 6}{5\cdot 4}\times\ldots\times\frac{(n-2)(n+1)}{n(n-1)}\times\frac{(n-1)(n+2)}{(n+1)n}\times\frac{2}{(n+2)(n+1)}$
　　　　　　 $\rm \underline{\ =\frac{2}{3n(n+1)}\ \ }$

　　最後の計算は、このように約分できます。

　　　　　　　　

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2013/07/26(金) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学（甲）２

第２問

　　平面上に三角形△OA₁A₂と点A₃、A₄、A₅を、n＝1、2、3に対して
　　△OA_nA_n+1と△OA_n+1A_n+2が辺OA_n+1に関して対称になるように
　　とる。△OA₂A₅の面積が△OA₁A₂の面積の正の整数倍となるとき、
　　∠A₁OA₂の値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　OA₁＝a、 OA₂＝b、 ∠A₁OA₂＝θ（0＜θ＜π）とおく。
　　　△OA₁A₂≡△OA₃A₂≡△OA₃A₄≡△OA₅A₄なので、
　　　　　　　　OA₅＝OA₁＝a
　　　であり、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　mを正の整数とすると、題意より
　　　　　　　　△OA₂A₅＝m△OA₁A₂
　　　と表せ、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　よって、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　θの値によってsin3θが負になる場合もあるので、|sin3θ|と
　　絶対値が必要です。　　

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2013/07/27(土) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学（甲）３

第３問

　　ｘ、ｙはｘ≠１、ｙ≠１を満たす正の数で、不等式
　　　　　　　log_xｙ＋log_ｙｘ＞２＋(log_x２)(log_ｙ２)
　　を満たすとする。このときｘ、ｙの組(ｘ，ｙ)の範囲を座標平面上に図示せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　与式の底を２に変換すると、　
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{\log_2y}{\log_2x}+\frac{\log_2x}{\log_2y}>2+\frac{1}{\log_2x}\cdot\frac{1}{\log_2y}$
　　　となり、
　　　　　　　　　　Ｘ＝log₂ｘ、　Ｙ＝log₂ｙ
　　　とおくと、
　　　　　　　　　　 $\rm \frac{Y}{X}+\frac{X}{Y}>2+\frac{1}{XY}$ 　････①

　　(ⅰ) ＸＹ＞０のとき
　　　　このようになるのは、次の２つの場合がある。
　　　　　　・Ｘ、Ｙ＞０　
　　　　　　　　すなわち　ｘ、ｙ＞１　のとき
　　　　　　・Ｘ、Ｙ＜０　
　　　　　　　　すなわち　０＜ｘ＜１、０＜ｙ＜１　のとき　
　　　　このとき①の両辺にＸＹをかけると、
　　　　　　　　　　Ｘ²＋Ｙ²＞２ＸＹ＋１
　　　　　　　　⇔　(Ｘ－Ｙ)²＞１
　　　　　　　　⇔　Ｘ－Ｙ＜－１　または　１＜Ｘ－Ｙ
　　　　　　　　⇔　log₂ｙ＞１＋log₂ｘ＝log₂２ｘ　または
　　　　　　　　　　log₂ｘ＞１＋log₂ｙ＝log₂２ｙ
　　　　　　　　⇔　ｙ＞２ｘ　または　ｘ＞２ｙ
　　　　これを図示したものが右図１

　　(ⅱ) ＸＹ＜０のとき
　　　　このようになるのは、次の２つの場合がある。
　　　　　　・Ｘ＞０、Ｙ＜０　
　　　　　　　　すなわち　１＜ｘ、０＜ｙ＜１　のとき
　　　　　　・Ｘ＜０、Ｙ＞０　
　　　　　　　　すなわち　０＜ｘ＜１、１＜ｙ　のとき　
　　　　(ⅰ)と同様にすると
　　　　　　　　　　(Ｘ－Ｙ)²＜１
　　　　　　　　⇔　ｙ＜２ｘ　かつ　ｘ＜２ｙ
　　　　これを図示したものが右図２

　　(ⅰ)、(ⅱ)より、求める(ｘ，ｙ)の範囲を図示すると、下図のようになる。
　　（ただし、境界線上の点は含まない）

　　　　　　　　　

　　分母を払う際に、ＸＹの符号で場合分けです。　　

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2013/07/28(日) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学（甲）４

第４問

　　 $\rm A=\binom{a\ \ &b}{c\ \ &d}$ をａｄ－ｂｃ＝１を満たす行列（ａ、ｂ、ｃ、ｄは実数）とし、
　　正の整数ｎに対して
　　　　　　　 $\rm \binom{x_1}{y_1}=\binom{1}{0}\ \ ,\ \ \binom{\ x_{n+1}\ }{y_{n+1}}=A\ \binom{x_n}{y_n}$ 　　　　　
　　によりx_n、y_n定める。x₂²＋y₂²＝x₃²＋y₃²＝1ならばすべてのnに
　　対してx_n²＋y_n²＝1であることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　
　　　　二次の単位行列および零行列をそれぞれＥ、Ｏと表す。
　　　　ハミルトン・ケーリーの定理より、
　　　　　　　Ａ²－(ａ＋ｄ)Ａ－(ａｄ－ｂｃ)Ｅ＝Ｏ
　　　　これと、条件ａｄ－ｂｃ＝１････①　より
　　　　　　　Ａ²＝(ａ＋ｄ)Ａ－Ｅ　･････②

　　　　まず、
　　　　　　 $\rm \binom{x_2}{y_2}=A\binom{1}{0}=\binom{a\ \ &b}{c\ \ &d}\binom{1}{0}=\binom{a}{c}$
　　　　より、
　　　　　　x₂²＋y₂²＝ａ²＋ｃ²＝１･････③
　　　　次に、
　　　　　　 $\rm \binom{x_3}{y_3}=A^2\binom{1}{0}=(a+d)A\binom{1}{0}-E\binom{1}{0}=\binom{(a+d)a-1}{(a+d)c}$
　　　　より、
　　　　　　x₃²＋y₃²＝{(ａ＋ｄ)ａ－１}²＋{(ａ＋ｄ)ｃ}²
　　　　　　　　　　　　＝(ａ＋ｄ)²(ａ²＋ｃ²)－２ａ(ａ＋ｄ)＋１＝１
　　　　　　これに③を代入して整理すると、
　　　　　　　　　　ａ²＝ｄ²
　　　　　　　　⇔　ａ＝±ｄ････④

　　ここまでが準備段階です。ハミルトンを使うと計算量が減って楽ですね。　

　　　　
　　　(ⅰ) ａ＋ｄ＝０のとき
　　　　　②より、Ａ²＝－Ｅ
　　　　　このとき、任意の自然数ｎに対して、
　　　　　　　 $\rm \binom{x_{n+2}}{y_{n+2}}=A^{n+2}\binom{1}{0}=A^2\cdot A^n\binom{1}{0}=-E\binom{x_n}{y_n}=-\binom{x_n}{y_n}$
　　　　　より、
　　　　　　　x_n+2²＋y_n+2²＝x_n²＋y_n²
　　　　　となるので、任意の偶数ｎに対して、
　　　　　　　x_n²＋y_n²＝x_n-2²＋y_n-2²＝････＝x₂²＋y₂²＝1
　　　　　任意の奇数ｎに対して、
　　　　　　　x_n²＋y_n²＝x_n-2²＋y_n-2²＝････＝x₃²＋y₃²＝1
　　　　　がそれぞれ成り立つので、
　　　　　　　x_n²＋y_n²＝1

　　　(ⅱ) ａ＝ｄかつｃ＝０のとき
　　　　　　③より、ａ＝ｄ＝±１
　　　　　　 $\rm A=\binom{\pm 1\ \ &b}{0\ \ &\pm 1}$
　　　　　　このＡに対して、
　　　　　　　 $\rm \binom{x_{n+1}}{y_{n+1}}=A^{n+1}\binom{1}{0}=A\cdot A^n\binom{1}{0}=\binom{\pm 1\ \ &b}{0\ \ &\pm 1}\binom{x_n}{y_n}=\pm\binom{x_n}{y_n}$
　　　　　　となるので、
　　　　　　　x_n+1²＋y_n+1²＝x_n²＋y_n² ．
　　　　　　よって、任意の自然数ｎに対して、
　　　　　　　x_n²＋y_n²＝x_n-1²＋y_n-1²＝････＝x₂²＋y₂²＝1

　　　(ⅲ) ａ＝ｄかつｃ≠０のとき
　　　　　　①より、ｂｃ＝ａ²－１
　　　　　　これに③を代入して、両辺をｃで割ると、
　　　　　　　　　ｂ＝－ｃ
　　　　　　これと③より、ａ、ｂ、ｃ、ｄはαを用いて、
　　　　　　　　　ａ＝ｄ＝cosα 、ｃ＝－ｂ＝sinα
　　　　　　と表せる。
　　　　　　このとき、Ａは
　　　　　　　　　 $\rm A=\binom{\cos\alpha \ \ &-\sin\alpha }{\sin\alpha \ \ &\ \ \cos\alpha }$
　　　　　　となり、これは原点中心としてαだけ回転させる変換を表す行列となる。
　　　　　　よって、このときも常に $\rm |\overrightarrow{\rm OP_{n}}|=1$ が保たれる。

　　(ⅰ)～(ⅲ)より、
　　　　　任意の自然数に対して、x_n²＋y_n²＝1 が成り立つ。

　　細かい場合分けが面倒ですが、丁寧に解いていきましょう。　　

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2013/07/29(月) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学（甲）５

第５問

　　ｐを素数、ｎを正の整数とするとき、(ｐⁿ)！はｐで何回割り切れるか。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　これは非常に有名な問題で、中学入試あたりでは頻出問題なんですね。
　　まぁ、とりあえず具体的な数で実験してみることにしましょう。
　　ｐ＝２、ｋ＝４とすると、(ｐ^ｋ)！＝16！で、
　　これが２で何回割り切れるかを考えてみます。
　　１～16のそれぞれの数が、何回２で割り切れるか、すなわち、素因数として
　　２を何個持つかをまとめたのが下の図で、素因数２の個数を赤丸で表しています。

　　　　　
　　２は１個、４は２²なので２個、６は１個、８は２³なので３個、･･･
　　といった感じです。
　　この赤丸が全部でいくつあるかを考えればよいので、
　　　　　赤丸が１つの数････２、６、10、14　←２²の倍数でない２の倍数
　　　　　赤丸が２つの数････４、12　　　　　←２³の倍数でない２²の倍数
　　　　　赤丸が３つの数････８　　　　　　　←２⁴の倍数でない２³の倍数
　　　　　赤丸が４つの数････ 16　　　　　　　←２⁴の倍数
　　なので、赤丸の総数は、
　　　　　１×４＋２×２＋３×１＋４×１＝15個
　　よって、16！は15回２で割り切れることになる。　　
　　
　　この考え方で解いたのが下の解答です。
　　　

　　１～ｐ^ｎの中にある
　　　　ｐの倍数の個数は、ｐ^ｎ÷ｐ＝ｐ^n-1個
　　　　ｐ^２の倍数の個数は、ｐ^ｎ÷ｐ^２＝ｐ^n-2個
　　　　････
　　　　ｐ^n-1の倍数の個数は、ｐ^ｎ÷ｐ＝ｐ個
　　　　ｐの倍数の個数は、ｐ^ｎ÷ｐ^ｎ＝１個
　　なので、
　　　　ｐの倍数ではあるがｐ^２の倍数ではない数、すなわち
　　　　素因数ｐを１つだけもつ数は、ｐ^n-1－ｐ^n-2個
　　　　同様に考えると、
　　　　素因数ｐを２つだけもつ数は、ｐ^n-2－ｐ^n-3個
　　　　････
　　　　素因数ｐをｎ－２個だけもつ数は、ｐ^２－ｐ個
　　　　素因数ｐをｎ－１個だけもつ数は、ｐ－１個
　　　　素因数ｐをｎ個もつ数は、１個
　　
　　よって、(ｐ^ｎ)！の中にある素因数ｐの総数をＮとすると、
　　　　　 $\rm N=(p^{n-1}-p^{n-2})+2(p^{n-2}-p^{n-3})+3(p^{n-3}-p^{n-4})+\ldots$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\rm \ldots +(n-2)(p^{2}-p)+(n-1)(p-1)+n\cdot 1$
　　　　　　 $\rm =p^{n-1}+p^{n-2}+p^{n-3}+p^{n-4}+\ldots +p^2+p+1$
　　これは、初項１、公比ｐ（≠１）の等比数列の和に等しいので、
　　　　　 $\rm \underline{\ N=\frac{p^n-1}{p-1}\ \ }$

　　上の計算で等比数列が出てきましたが、実は赤丸の数を
　　下の図のように横に数えていくと非常に楽なのです！
　　まぁ、知っている人は知っている解法ですね。

　　　　

　　

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2013/07/30(火) 23:57:00|

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2009京都大　理系数学（甲）６

第６問

　　極方程式 r＝1＋cosθ （0≦θ≦π）で表される曲線の長さを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　r＝1＋cosθ より、xy座標は、
　　　　　　　　x＝rcosθ＝(1＋cosθ)cosθ　
　　　　　　　　y＝rsinθ＝(1＋cosθ)sinθ　
　　　と表せる。
　　　これらをθで微分すると、
　　　　　　　　x’＝－sinθcosθ＋(1＋cosθ)･(－sinθ)
　　　　　　　　　＝－2sinθcosθ－sinθ
　　　　　　　　　＝－sin2θ－sinθ　　←倍角公式

　　　　　　　　y’＝－sin²θ＋(1＋cosθ)cosθ
　　　　　　　　　＝cos²θ－sin²θ＋cosθ
　　　　　　　　　＝cos2θ＋cosθ　　←倍角公式
　　　となり、
　　　0≦θ≦πに対応する曲線の長さをLとすると、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←加法定理
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←半角公式
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←0≦θ/2≦π/2 より cosθ/2≧0
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　半角公式を使って√を外すところがミソでしょうか。　　

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2013/07/31(水) 23:57:00|

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