第2問
a、b、c、d、x、y、z、ｕを実数とし、行列A、B、Eを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix}\sf x&\sf y\\ \sf z &\sf u\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。また、
A+B=E、 AB=E
が成立するとする。次の問いに答えよ。
(1) 任意に実数ｋに対して A≠ｋEであることを示せ。
(2) a+dを計算せよ。
(3) a、b、cが整数であり、
2≦a≦9 、 2≦b≦|c|≦9
をみたすとき、行列A、Bを決定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた条件式
A+B=AB=E
よりBを消去すると、
A(E－A)=E ⇔ A2－A+E=Ｏ ････①
A=ｋEとなる実数ｋが存在すると仮定すると、①より
(ｋE)2－ｋE+E=Ｏ
⇔ (ｋ2－ｋ+1)E=Ｏ．
E≠Ｏより、
ｋ2－ｋ+1=0 ･･･②
となるが、②の判別式Dは、
D=1－4＜0
となるので、②を満たす実数ｋは存在しない。
よって、任意の実数ｋに対して、A≠ｋEとなる。
(2)
ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－(a+d)A+(ad－bc)E=Ｏ
となり、この式と①の差をとると、
(a+d－1)A－(ad+bc－1)E=Ｏ ････②
a+d－1≠0のとき、②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{ad-bc-1}{a+d-1}\ E\end{align*}}$
と変形でき、これは(1)に反する。
よって、a+d－1=0 すなわち、a+d=1 となる。
(3)
(2)より、②は
(ad－bc－1)E=Ｏ
となり、E≠Ｏより、
ad－bc=1
これと a+d=1よりdを消去すると、
a(1－a)－bc=1
⇔ bc=－a(a－1)－1 ････③
ここで、aは2≦a≦9を満たす整数なので、
aに対するbcの値は、
(a，bc)=(2，－3)、(3，－7)、(4，－13)、(5，－21)、
(6，－31)、(7，－43)、(8，－57)、(9，－73)
この中で、条件2≦b≦|c|≦9を満たすのは、
a=5、b=3、c=－7
のときのみである。このとき、(2)より
d=1－a=－4
となる。よって、行列Aは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix}\sf 5 &\sf 3\\ \sf -7 &\sf -4\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
であり、さらに行列Bは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=E-A=\underline{\ \begin{pmatrix}\sf -4 &\sf -3\\ \sf 7 &\sf 5\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
となる。
(3)はシラミつぶしに探してください。
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- 2012/10/26(金) 23:57:00|
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第3問
関数ｆ(x)は微分可能で、常にｆ(x)＞0であり、曲線y=ｆ(x)上の
任意の点(a，ｆ(a))での接線がx軸と(a－1，0)で交わるとする。
また、y=ｆ(x)上の点(－1，ｆ(－1))での法線Lは原点(0，0)を
通るとする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ '(x)}{f\ (x)}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) logｆ(x)の導関数を計算し、ｆ(x)を決定せよ。
(3) 曲線y=ｆ(x)、および点(1，ｆ(1))における接線ｍと
点(－1，ｆ(－1))における法線Lにより囲まれた部分の面積を
計算せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y=ｆ(x)上の点(a，ｆ(a))における接線の方程式は、
y－ｆ(a)=ｆ’(a)(x－a)
であり、これが円(a－1，0)を通るので、
－ｆ(a)=ｆ’(a)･(－1) ⇔ ｆ(a)=ｆ’(a)
この式は任意のaに対して成り立つので、
ｆ(x)=ｆ’(x)
であり、両辺をｆ(x)（＞0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{f\ '(x)}{f\ (x)}=1\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
logｆ(x)をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\log f\ (x)\right\}'=\frac{f\ '(x)}{f\ (x)}\end{align*}}$
であり、これと(1)より、
{logｆ(x)}’=1．
よって{logｆ(x)}’の不定積分は
logｆ(x)=∫dx=x+C （C：積分定数）
⇔ ｆ(x)=ｅx+C ････①
一方、y=ｆ(x)上の点(－1，ｆ(－1))における法線Lは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-f\ (-1)=-\frac{1}{f\ '(-1)}\ (x+1)\end{align*}}$
であり、これが原点(0，0)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -f\ (-1)=-\frac{1}{f\ '(-1)}\ \ \Leftrightarrow\ \ f\ (-1)\cdot f\ '(-1)=1\end{align*}}$ ．
これと(1)および、ｆ(－1)＞0より、
ｆ(－1)=ｆ’(－1)=1．
①に代入すると、
ｆ(－1)=ｅ－1+c=1
⇔ －1+c=0
⇔ c=1
となるので、
ｆ(x)=ｅx+1 ．
(3)
(2)より、ｆ’(x)=ｅx+1なので、
ｆ(1)=ｆ’(1)=ｅ2．
よって、点(1，ｅ2)における接線ｍは、
y－ｅ2=ｅ2(x－1) ⇔ y=ｅ2x
一方、ｆ(－1)=ｆ’(－1)=1 なので、
(－1，ｆ(－1))における法線Lは
y－1=－（x+1）⇔ y=－x．
よって、曲線y=ｆ(x)および2直線L、ｍの
位置関係は右図のようになるので、
これらで囲まれる部分の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-1}^1\ e^{x+1}\ dx-\frac{1}{2}\cdot 1^2-\frac{1}{2}\cdot 1\cdot e^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[e^{x+1}\right]_{-1}^1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ e^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^2-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ e^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\ e^2-\frac{3}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
しっかり誘導がついているので、そのままと言えばそのままです。
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- 2012/10/27(土) 23:57:00|
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第4問
a、bを正の実数とし、座標空間内の点を
A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，1)、P(2，2，1)
とする。次の問いに答えよ。
(1) △ABCの面積Sをa、bを用いて表せ。
(2) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ の両方に直交する長さ1のベクトルをすべて、
a、bを用いて成分表示せよ。
(3) 点Pから△ABCを含む平面に下ろした垂線の足をHとする。
ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}\end{align*}}$ をa、bを用いて成分表示せよ。
(4) 四面体PABCの体積Vをa、bを用いて表せ。
(5) V=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ であるときbをaを用いて表せ。また、このときの△ABCの
面積Sの最小値とそのときのaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=(-a\ ,\ b\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=(-a\ ,\ 0\ ,\ 0)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=a^2+b^2\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AC}|^2=a^2+1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=a^2\end{align*}}$ ．
よって、△ABCの面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf AB}|^2|\overrightarrow{\sf AC}|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+1)-(a^2)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+a^2+b^2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
求める単位ベクトルを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}=(x\ ,\ y\ ,\ z)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf e}|^2=x^2+y^2+z^2=1\end{align*}}$ ････①
また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ ⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ ⊥$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf e}=-ax+by=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{a}{b}\ x\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\cdot\overrightarrow{\sf e}=-ax+z=0\ \ \Leftrightarrow\ \ z=ax\end{align*}}$ ････③
となり、これらを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(\frac{a}{b}\ x\right)^2+(ax)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\frac{b}{\sqrt{a^2b^2+a^2+b^2}}\end{align*}}$ ．
②、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\pm\frac{a}{\sqrt{a^2b^2+a^2+b^2}}\ \ ,\ \ z=\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2b^2+a^2+b^2}}\end{align*}}$
となるので、求めるベクトルは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf e}=\pm\frac{1}{\sqrt{a^2b^2+a^2+b^2}}\ \left(b\ ,\ a\ ,\ ab\right)\ \ }\end{align*}}$ （複符同順）
(3)
点Hは△ABC上にあるので、実数s、ｔを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=s\ \overrightarrow{\sf AB}+t\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =s\ (-a\ ,\ b\ ,\ 0)+t\ (-a\ ,\ 0\ ,\ 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(-as-at\ ,\ sb\ ,\ t)\end{align*}}$ ････④
と表すことができる。
また、△ABC⊥PHより、
PH⊥ABかつPH⊥ACとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf e}\end{align*}}$ は平行になる。
よって、実数ｋを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}=k\ \left(b\ ,\ a\ ,\ ab\right)\end{align*}}$
と表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=\overrightarrow{\sf AP}+\overrightarrow{\sf PH}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2-a\ ,\ 2\ ,\ 1\right)+k\ \left(b\ ,\ a\ ,\ ab\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2-a+kb\ ,\ 2+ka\ ,\ 1+kab\right)\end{align*}}$ ････⑤
④、⑤の成分を比較すると、
－as－aｔ=2－a+ｋb
bs=2+ｋa
ｔ=1+ｋab
となり、sおよびｔを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a\cdot\frac{2+ka}{b}-a(1+kab)=2-a+kb\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=-\frac{2(a+b)}{a^2b^2+a^2+b^2}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PH}=k\ \left(b\ ,\ a\ ,\ ab\right)=\underline{\ -\frac{2(a+b)}{a^2b^2+a^2+b^2}\ \left(b\ ,\ a\ ,\ ab\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
a、b＞0であり、(1)および(3)の結果を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\ S\cdot|\overrightarrow{\sf PH}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+a^2+b^2}\cdot\frac{2(a+b)}{a^2b^2+a^2+b^2}\cdot\sqrt{a^2b^2+a^2+b^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a+b}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
(5)
(4)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{a+b}{3}=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=1-a\ \ }\end{align*}}$ ．
このとき、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{a^2(1-a)^2+a^2+(1-a)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{a^4-2a^3+3a^2-2a+1}\end{align*}}$ ．
ここで、aの関数ｆ(a)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (a)=a^4-2a^3+3a^2-2a+1\ \ \ \ (0\lt a<1)\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a)=4a^3-6a^2+6a-2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(2a-1)(a^2-a+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(2a-1)\left\{\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right\}\end{align*}}$
となる。
0＜a＜1の範囲でｆ(a)を調べると、上表のようになるので、
ｆ(a)の最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1+1=\frac{9}{16}\ \ \ \left(a=\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$ ．
このとき、Sは最小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{16}}=\underline{\ \frac{3}{8}\ \ }\end{align*}}$
をとる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
途中の計算が煩雑なのでイヤになりますが、(4)でスッキリです！！
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- 2012/10/28(日) 23:57:00|
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