青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2010乙

2010京都大　理系数学(乙)１

夏期講座終了！！！
おかげさまで今年も充実した夏が過ごせました。
明日から２日間、お休みを頂きます。

第１問

　　四面体ＡＢＣＤにおいて、 $\rm \overrightarrow{\rm CA}$ と $\rm \overrightarrow{\rm CB}$ 、 $\rm \overrightarrow{\rm DA}$ と $\rm \overrightarrow{\rm DB}$ 、 $\rm \overrightarrow{\rm AB}$ と $\rm \overrightarrow{\rm CD}$ はそれぞれ
　　垂直であるとする。このとき、頂点Ａ、頂点Ｂおよび辺ＣＤの中点Ｍの
　　３点を通る平面は辺ＣＤと垂直であることを示せ。

解答はこちら↓

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2011/08/29(月) 23:57:00|

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2010京都大　理系数学(乙)２

第２問

　　ｘを正の実数とする。座標平面上の３点Ａ(０，１)、Ｂ(０，２)、Ｐ(ｘ，ｘ)をとり、
　　△ＡＰＢを考える。ｘの値が変化するとき、∠ＡＰＢの最大値を求めよ。

　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　ｘｙ平面上で２直線のなす角を求めるには、
　　　　① 直線の傾きからtanの加法定理にもちこむ
　　　　　　　（２直線の位置関係によって場合分けが生じる場合がある）
　　　　② 直線の方向ベクトル(または法線ベクトル)の内積を用いる
　　　　　　　（計算が複雑になりやすい）
　　の２つの方法が一般的ですが、どちらの方法も一長一短があるので、
　　ここでは、まったく違った方向から解いてみることにします。

　　　　∠ＡＰＢ＝θとおく。
　　　　点Ｐは線分ＡＢを直径とする円の外部にあるので(図１)、
　　　　θは鋭角である。

　　　　△ＡＢＰの外接円の半径をＲとすると、正弦定理より
　　　　　　　　 $\rm \frac{AB}{\sin \theta}=2R\ \Leftrightarrow\ \sin\theta=\frac{AB}{2R}=\frac{1}{2R}$ ･････①
　　　　θは鋭角なので、θが最大となるためにはsinθが
　　　　最大であればよい。
　　　　すなわち、Ｒが最小のときθは最大となる。

　　　　△ＡＢＰの外接円の半径Ｒが最小になるのは、
　　　　外接円が直線ｙ＝ｘに接するときである(図２)。

　　　　この円の中心Ｃは弦ＡＢの垂直二等分線上に
　　　　あるので、その座標は、実数ｃを用いて
　　　　　　　　 $\rm C\left( c\ ,\ \frac{3}{2}\right)$
　　　　と表せる。
　　　　円と直線ｙ＝ｘが接するので、
　　　　　　Ｃから直線ｘ－ｙ＝０までの距離＝ＡＣ
　　　　となればよい。
　　　　　　　　 $\rm \frac{|c-\frac{3}{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{c^2+\left(\frac{3}{2}-1\right)^2}$
　　　　両辺を２乗して、方程式を解くと、
　　　　　　　　 $\rm c=\frac{1}{2}\ ,\ -\frac{7}{2}$
　　　　∠ＡＰＢは鋭角なので、中心Ｃと点Ｐは弦ＡＢに関して同じ側になければならない。
　　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm c=\frac{1}{2}\ \ (>0)$
　　　　このとき、円の半径Ｒは
　　　　　　　　 $\rm R=\frac{|\frac{1}{2}-\frac{3}{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt2}$
　　　　①より、
　　　　　　　　 $\rm \sin \theta=\frac{1}{2\times \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt2}$
　　　　θは鋭角なので、θ＝45°

　　　　以上より、∠ＡＰＢの最大値は45°となる。

　
　　　　
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2011/08/30(火) 23:57:00|

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2010京都大　理系数学(乙)３

昨日・今日と休塾日でしたので、名古屋まで旅行に行ってきました。
その間も、ブログの方は「予約投稿」という便利なシステムによって更新されています。

第３問

　　ａを正の実数とする。座標平面において曲線ｙ＝sinｘ（０≦ｘ≦π）と
　　ｘ軸とで囲まれた図形の面積をＳとし、曲線ｙ＝sinｘ（０≦ｘ≦π/2）、
　　曲線ｙ＝ａcosｘ（０≦ｘ≦π/2）およびｘ軸で囲まれた図形の面積を
　　Ｔとする。このときＳ：Ｔ＝３：１となるようなａの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　与えられた条件のまま計算するだけです。

　　まず、Ｓを求める。(右図の青色部分)
　　　　 $\rm S=\int_0^{\pi}\sin x\ dx=[-\cos x]_0^{\pi}=2$ ･････①

　　次に、ｙ＝sinｘとｙ＝ａcosｘの交点を求める。
　　　　sinｘ＝ａcosｘ
　　この式はｘ＝π/2では成り立たないので、
　　両辺をcosｘ（≠０）で割る。
　　　　　tanｘ＝ａ
　　これを満たすｘの値をｐとおく。
　　すなわち、tanｐ＝ａ　(０＜ｐ＜π/2)

　　一方、Ｔは右図の赤色部分の面積なので、
　　　　　 $\rm T=\int_0^{p}\sin x\ dx+\int_p^{\frac{\pi}{2}}a\cos x\ dx$
　　　　　　 $\rm =[-\cos x]_0^{p}+a[\sin x]_p^{\frac{\pi}{2}}$
　　　　　　 $\rm =-\cos p+1+a-a\sin p$ ･････②

　　Ｓ：Ｔ＝３：１なので、①、②より
　　　　　 $\rm T=-\cos p+1+a-a\sin p=\frac{2}{3}$
　　これにａ＝tanｐを代入すると、
　　　　　 $\rm -\cos p+1+\tan p-\tan p\sin p=\frac{2}{3}$
　　両辺にcosｐをかけて整理すると、
　　　　　cosｐ＝３－３sinｐ
　　これと、sin²ｐ＋cos²ｐ＝１より、
　　　　　sin²ｐ＋(３－３sinｐ)²＝１
　　０＜ｐ＜π/2より、０＜sinｐ＜１の範囲でこれを解くと、
　　　　　 $\rm \sin p=\frac{4}{5}\ ,\ \cos p=\frac{3}{5}$

　　よって、 $\rm a=\tan p=\frac{\sin p}{\cos p}=\frac{4}{3}$
　　　　　

　　最後の計算が雑ですが、まぁ問題ないでしょ。

　
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2011/08/31(水) 23:57:00|

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2010京都大　理系数学(乙)４

さて、今日から２学期が始まりました。２学期は長いですが、まぁ頑張りましょう。

第４問

　　１＜ａ＜２とする。３辺の長さが
　　　　　 $\rm \sqrt3\ ,\ a\ ,\ b$
　　である鋭角三角形の外接円の半径が１であるとする。
　　このとき、ａを用いてｂを表せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　これまたシンプルな問題ですね。

　　　　右図のように、△ＡＢＣを設定する。
　　　　外接円の半径が１なので、正弦定理より
　　　　　　　　 $\rm \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{\sqrt3}{\sin C}=2$
　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow \sin A=\frac{a}{2}\ ,\ \sin B=\frac{b}{2}\ ,\ \sin C=\frac{\sqrt3}{2}$ ･････①

　　　　角Ｃは鋭角なので、Ｃ＝60°
　　　　よって、Ａ＋Ｂ＝120°より、
　　　　　　　sinＢ＝sin(120°－Ａ)
　　　　となり、これに加法定理を用いると、
　　　　　　　sinＢ＝sin120°cosＡ－cos120°sinＡ････②
　　
　　　　ところで、角Ａは鋭角なので、
　　　　　　 $\rm \cos A=\sqrt{1-\sin^2A}=\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}\ \ (>0)$
　　　　これと①を用いて②を変形する。
　　　　　　　　 $\rm \frac{b}{2}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt{1-\frac{a^2}{4}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}$
　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow b=\sqrt{3-\frac{3a^2}{4}}+\frac{a}{2}$

　　　　　　　　
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2011/09/01(木) 23:57:00|

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2010京都大　理系数学(乙)５

台風が接近しています。警報が出ていたようですね。

第５問

　　次の問いに答えよ。
　(１) ｎを正の整数、ａ＝２ⁿとする。３^ａ－１は２ⁿ⁺²で割り切れるが、
　　　２ⁿ⁺³では割り切れないことを示せ。

　(２) ｍを正の偶数とする。３^m－１が２^mで割り切れるならばｍ＝２
　　　またはｍ＝４であることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　これは少し難しい感じです。(１)は帰納法がキレイだと思います。
　　(２)でうまく(１)が使えるかが勝負ですね。

　(１)

　　　ａはｎの関数なので、以下はａ(ｎ)＝２^ｎと表すことにする。

　　　(ⅰ)ｎ＝１のとき
　　　　　３^ａ(1)－１＝３²－１＝８
　　　　　これは、２³で割り切れるが、２⁴では割り切れない。
　　　　　よって、成立する。
　　　(ⅱ)ｎ＝ｋのとき成立すると仮定する。
　　　　　３^ａ(ｋ)－１は、２^k+2で割り切れるが、２^k+3で割り切れないので、
　　　　　　　　　３^ａ(k)－１＝２^k+2・ｐ（ｐは奇数）･･････①
　　　　　と表される。

　　　　　ｎ＝ｋ＋１のとき
　　　　　　　ａ(ｋ＋１)＝２^k+1＝２・２^k＝２ａ(ｋ)より、
　　　　　　　３^ａ(k+1)－１＝３^2ａ(k)－１
　　　　　　　　　　　　　　＝{３^ａ(k)}^２－１
　　　　　　　　　　　　　　＝(２^k+2･ｐ＋１)²－１（∵①より）
　　　　　　　　　　　　　　＝２^2(k+2)･ｐ²＋２･２^k+2･ｐ＋１－１
　　　　　　　　　　　　　　＝２^k+3{２^k+1･ｐ＋１}ｐ
　　　　　　　ここで、ｐは奇数なので、{２^k+1･ｐ＋１}ｐは奇数。
　　　　　　　よって、
　　　　　　　３^ａ(ｋ+1)－１は、２^k+3で割り切れるが、２^k+4で割り切れない。
　　　　　ｎ＝ｋ＋１のときも成立するので、
　　　　　任意の自然数ｎに対して題意は成立する。

　(２)
　　　ｍは正の偶数なので、自然数ｎと正の奇数ｑを用いて
　　　　　　ｍ＝２ⁿ･ｑ･････②
　　　と表せる。ここでも(１)と同様、ａ(ｎ)＝２^ｎと表すことにすると、
　　　　　　ｍ＝ａ(ｎ)･ｑ
　　　と表すことができる。
　　　題意より、３^m－１が２^mで割り切れるので、
　　　　　　３^ａ(n)･q－１＝２^m･ｒ　（ｒは自然数）･････③
　　　ここで、(１)より
　　　３^ａ(n)－１は、２ⁿ⁺²で割り切れるが、２ⁿ⁺³では割り切れないので、
　　　　　　３^ａ(n)－１＝２ⁿ⁺²･ｐ　（ｐは奇数）･･････④
　　　と表せる。
　　　　
　　　ここで③の左辺を変形する。
　　　　　３^ａ(n)･q－１
　　　　＝{３^ａ(n)}^q－１
　　　　＝{２ⁿ⁺²･ｐ＋１}^q－１　（∵④より）
　　　　＝_qＣ_q･２^q(n+2)･ｐ^q＋_qＣ_q-1･２^(q-1)(n+2)･ｐ^q-1＋･･･
　　　　　　　　　　　･･･＋_qＣ₂･２²⁽ⁿ⁺²⁾･ｐ²＋_qＣ₁･２ⁿ⁺²･ｐ＋１－１
　　　　＝２ⁿ⁺²･ｐ {２^(q-1)(n+2)･ｐ^q-1＋････＋_qＣ₂･２ⁿ⁺²･ｐ＋q}
　　　ｐ、ｑは奇数なので、
　　　ｐ {２^(q-1)(n+2)･ｐ^q-1＋･･･＋_qＣ₂･２ⁿ⁺²･ｐ＋q}は奇数である。
　　　この値をＱとおくと、③は
　　　　　　２ⁿ⁺²･Ｑ＝２^m･ｒ
　　　と表せ、Ｑは奇数、ｒは自然数なので、素因数２について考えると、
　　　　　　ｎ＋２≧ｍ
　　　が得られる。
　　　これと、②より、
　　　　　　ｎ＋２ ≧ ２ⁿ･ｑ　（ｑは奇数）･････⑤

　　　ここで、
　　　曲線群ｙ＝ｑ･２^x（ｑは正の奇数）と
　　　直線ｙ＝ｘ＋２の位置関係を考えると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　(右図)

　　　⑤を満たす自然数の組(ｎ，ｑ)は
　　　　　(ｎ，ｑ)＝(１，１)、(２，１)の２組のみである。
　　　②より、
　　　　　ｍ＝２¹･１＝２
　　　　または、
　　　　　ｍ＝２²･１＝４

　　　以上より、
　　　３^m－１が２^mで割り切れるならばｍ＝２またはｍ＝４である。

　　
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2011/09/02(金) 23:57:00|

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2010京都大　理系数学(乙)６

引き続き、台風による大雨です。警報が出ているというにもかかわらず、今日も欠席者ゼロ。
なかなか素晴らしい！

第６問

　　ｎ個のボールを２ｎ個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に
　　入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも１個以下
　　のボールしか入っていない確率をｐ_nとする。このとき極限値
　　　　　 $\rm \lim_{\rm x \to \infty} \rm \frac{\log p_n}{n}$
　　を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　求める式の形を見ただけで、なんとなく方向性が見えてきますが・・・

　　入れ方の総数は、
　　ｎ個のボールを重複を許して２ｎ個の箱に入れるので、
　　　　　　(２ｎ)ⁿ通り

　　どの箱にも１個以下のボールしか入っていないような入れ方は、
　　ｎ個のボールを重複を許さずに２ｎ個の箱に入れるので、
　　　　　　_2nＰ_n＝(２ｎ)(２ｎ－１)(２ｎ－２)････(ｎ＋２)(ｎ＋１)
　　　　　　　　　＝(ｎ＋１)(ｎ＋２)(ｎ＋３)････(ｎ＋ｎ) 通り

　　よって、その確率は
　　　　　　 $\rm p_n=\frac{ (n+1)(n+2)(n+3)\ldots(n+n)}{2^n\cdot n^n}$
　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{2^n} \left( \frac{n+1}{n}\right)\left( \frac{n+2}{n}\right)\left( \frac{n+3}{n}\right)\ldots\left( \frac{n+n}{n}\right)$
　　　　　　　 $\rm =\frac{1}{2^n} \left( 1+\frac{1}{n}\right)\left(1+ \frac{2}{n}\right)\left(1+ \frac{3}{n}\right)\ldots\left(1+ \frac{n}{n}\right)$
　　　　　
　　両辺の自然対数をとる
　　　　　　 $\rm \log p_n=\log \frac{1}{2^n} \left( 1+\frac{1}{n}\right)\left(1+ \frac{2}{n}\right)\left(1+ \frac{3}{n}\right)\ldots\left(1+ \frac{n}{n}\right)$
　　　　　　　　　 $\rm =-n\log2 +\log \left( 1+\frac{1}{n}\right)+\log \left(1+ \frac{2}{n}\right)+\ldots+\log \left(1+ \frac{n}{n}\right)$
　　　　　　　　　 $\rm =-n\log 2+\sum_{k=1}^n\ \log \left(1+\frac{k}{n}\right)$

　　求める極限をＬとすると、
　　　　　　 $\rm L=\lim_{\rm x \to \infty} \rm \frac{\log p_n}{n}$
　　　　　　　 $\rm =\lim_{\rm x \to \infty} \rm \Biggl(-\log2+\frac{1}{n}\sum^n_{k=1} \log \left(1+\frac{k}{n}\right)\Biggr)$
　　　　　　　 $\rm =-\log2+\lim_{\rm x \to \infty} \rm \frac{1}{n} \sum^n_{k=1} \log \left(1+\frac{k}{n}\right)$
　　　　　　　 $\rm =-\log 2+\int_0^1 \log (x+1)\ dx$
　　　　　　　 $\rm =-\log 2+\bigg[(x+1)\log (x+1)\bigg]_0^1-\int_0^1\left\{ (x+1)\cdot\frac{1}{x+1}\right\}dx$

　　　　これを計算すると、
　　　　　　Ｌ＝log２－１

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2011/09/03(土) 23:57:00|

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プロフィール

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青木ゼミの塾長ブログです。
毎日、大学入試数学を解いて
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