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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011千葉大 数学1



第1問

  1個のさいころを3回投げる。1回目に出る目をa1、2回目に出る目をa2
  3回目に出る目をa3とし、整数nを
         n=(a1-a2)(a2-a3)(a3-a1)
  と定める。

 (1) n=0である確率を求めよ。

 (2) |n|=30である確率を求めよ。




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2011千葉大 数学2



第2問

  三角形ABCの面積は$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+\sqrt3}{4}\end{align*}}$ 、外接円の半径は1、∠BAC=60°、
  AB>ACである。このとき、三角形ABCの各辺の長さを求めよ。





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2011千葉大 数学3



第3問

  四角錐OABCDにおいて、底面ABCDは1辺の長さ2の正方形で、
      OA=OB=OC=OD=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$
  である。

 (1) 四角錐OABCDの高さを求めよ。

 (2) 四角錐OABCDに内接する球Sの半径を求めよ。

 (3) 内接する球Sの表面積と体積を求めよ。



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2011千葉大 数学4



第4問

  実数xの関数f(x)=|x-1|(x-2)を考える。y=f(x)のグラフと
  直線y=x+aの共有点の個数は、定数aの値によって、どのように
  変わるかを調べよ。





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2011千葉大 数学5



第5問

  aは正の実数とし、座標平面上の直線L:y=xと放物線C:y=ax2
  考える。C上の点(x,y)(ただし0<x<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a}\end{align*}}$ )でLとの距離を最大にする
  点をP(s,t)とおく。またPとLとの距離をdとおく。以下の問いに答えよ。

 (1) d、s、tをそれぞれaの式で表せ。またPでの放物線Cの接線の傾きを
    求めよ。

 (2) 実数aをa>0の範囲で動かしたとき、点P(s,t)の軌跡を求め、図示
    せよ。




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2011千葉大 数学6



第6問

  三角形ABCの外心をO、重心をGとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ ならば、三角形ABCは直角三角形であることを証明せよ。

 (2) kがk≠$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ を満たす実数で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=k\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ が成り立つならば、三角形ABCは
    二等辺三角形であることを証明せよ。



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2011千葉大 数学7



第7問

  n人(n≧3)でじゃんけんを1回行うとき、次の問いに答えよ。

 (1) 1人だけ勝つ確率を求めよ。

 (2) あいこになる確率を求めよ。

 (3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

  ここで「あいこ」とは1種類または3種類の手が出る場合で、
  勝つ人数が0人の場合である。




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2011千葉大 数学8



第8問

  n段の階段を上るのに、一歩で1段、2段、または3段を上ることが
  できるとする。この階段の上り方の総数をanとおく。例えば、a1=1、
  a2=2、a3=4である。

 (1) a4、a5の値を求めよ。

 (2) an、an+1、an+2、an+3(n≧1)の間に成り立つ関係式を求めよ。

 (3) a10の値を求めよ。



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2011千葉大 数学9



第9問

  rは0<r<1を満たす実数とする。座標平面上に1辺の長さがrn
  正方形Rn(n=0,1,2,3,・・・)があり、その頂点を反時計回りに
  An、Bn、Cn、Dnとする。さらにRnは次の条件(ⅰ)、(ⅱ)を満たすと
  する。
    (ⅰ) 正方形R0の頂点はA0(0,0)、B0(1,0)、C0(1,1)、
      D0(0,1)である。
    (ⅱ) An+1=Cnで、点Dn+1は辺Cnn上にある。
  このとき以下の問いに答えよ。


 (1) 点A2、A3、A4の座標をrを用いて表せ。

 (2) A4nの座標を(xn,yn)(n=0,1,2,3,・・・)とおく。xn-1-xn
    およびyn+1-ynをr、nの式で表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x_n\ ,\ \lim_{n\rightarrow\infty}\ y_n\end{align*}}$ をrを用いて表せ。



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2011千葉大 数学10



第10問

    三角形ABCの外心をO、重心をG、内心をIとする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ ならば、三角形ABCは直角三角形であることを証明せよ。

 (2) kがk≠$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ を満たす実数で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=k\ \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ が成り立つならば、三角形ABCは
    二等辺三角形であることを証明せよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=0\end{align*}}$ が成り立つならば、三角形ABCは二等辺三角形であることを
    証明せよ。



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