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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009奈良県立医大 数学1



第1問

  xyz空間において原点O(0,0,0)を中心とする半径1の球面をSとし、
  球面Sから点N(0,0,1)を除いた部分に属する点P(x,y,z)に対して、
  2点N、Pを通る直線とxy平面z=0との交点をQとおく。

 (1) 点Qの座標を求めよ。

 (2) 球面S上の任意の点Rに対してRのどんな近くにも、S上の点(a,b,c)
    で各座標がa、b、cが全て有理数からなるものが存在することを証明
    せよ。




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  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2009
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2009奈良県立医大 数学2



第2問

  nを2以上の整数とし、1からnまでの相異なるn個の整数を横一列に
  並べて得られる各順列σに対して、左からi番目の数字をσ(i)と記す。
  このとき、条件1≦i<j≦n、かつσ(i)>σ(j)を満たす自然数の対
  (i,j)の個数をL(σ)とおく。更に1からnまでの順列σ全体のなす集合
  をSとする。順列σがS全体を動くとき、L(σ)の総和Σσ∈SL(σ)を
  求めよ。



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2009奈良県立医大 数学3



第3問

  kは正の定数で、実数a、bは条件
      a>0、b>0、a+b=k
  を満たしながら動くものとする。このときxy平面の2点A(a,0)、
  B(0,b)を通る直線と点P(a,b)との距離の最大値を求めよ。




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2009奈良県立医大 数学4



第4問

 (1) 任意の正整数nに対して関数$\small\sf{f_n(\theta)}$ は$\small\sf{f_n(\theta)=n^2\sin\theta\cos^{2n}\theta}$ で
    定義されているものとする。このとき
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \int_0^{\pi /2}\ f\ _n(\theta)\ d\theta=\int_0^{\pi /2}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\ f\ _n(\theta)\right)\ d\theta\end{align*}}$
    が成り立つかどうか調べよ。

 (2) 各正整数nに対して、$\small\sf{\theta}$ が$\small\sf{\begin{align*}0\leqq \theta\leqq\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲を動くときの関数
        $\small\sf{f_n(\theta)=n^2\sin\theta\cos^{2n}\theta}$
    の最大値をM(n)とおく。このとき、極限値
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{M\ (n)}{\sqrt{n^3}}\end{align*}}$
    を求めよ。

  ただし、aを0<a<1の範囲にある定数とするとき、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\ a^n=0\end{align*}}$ である
  ことは証明なしに用いてよい。



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