FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012大阪府立大 工学部 数学1



第1問

  次の文章の    に適する答えを、解答用紙の所定の欄に記入せよ。

  自然数28のすべての約数は 1,2,4,7,14,28であり、その和は
  1+2+4+7+14+28=2×28となり、28の2倍である。このように、
  自然数mで、そのすべての約数の和が2mとなるようなmを完全数と
  呼ぶ。以下、p、qは相異なる素数を表すとする。m=pqの形の自然
  数で完全数となるものを探そう。p、qが相異なる素数であるから、
  pqの約数は (1)  の4つであり、その和が2pqと等しいから、
  ( (2)  )( (3)  )=2となる。XY=2となる自然数X、Yは
  (X,Y)=(1,2)、(2,1)の二組しかないから、p<qとすると、
  p= (4)  、q= (5)  となる。したがって、pqの形の完全数は
   (6)  のみということがわかる。




2012大阪府立大 工学部 数学2



第2問
  
   座標平面上に3点O(0,0)、A(r,0)、B(0,1)がある。Oを中心
  として、Aを反時計回りに$\small\sf{\theta}$ 回転した点をA’とし、線分ABと線分OA’
  の交点をPとする。ただし、rはr>1を満たす定数とし、$\small\sf{\theta}$ は0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$
  を満たす変数とする。$\small\sf{\theta}$ が不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ rcos$\small\sf{\theta}$ ≦sin$\small\sf{\theta}$ ≦2rcos$\small\sf{\theta}$
  を満たしながら変化するとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|\end{align*}}$ の最小値Mと、そのときのPの座標
  (k,L)を求めよ。ただし、計算の過程は記入しなくてよい。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/10/06(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2012(工)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012大阪府立大 工学部 数学3



第3問

  表が出る確率がp、裏が出る確率が1-pである1個のコインがある。
  ただし、pは0<p<1である定数とする。このコインをくりかえし投げ
  る試行を考える。nを2以上の自然数とし、Qnをn回目に初めて2回
  続けて表が出る確率とする。以下の問いに答えよ。ただし、計算の
  過程は記入しなくてよい。

 (1) Q2、Q3、Q4をpを用いて表せ。

 (2) 1回目に表が出た場合と裏が出た場合に分けることによって、
    Qn+2をQn、Qn+1およびpを用いて表せ。

 (3) p=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{7}\end{align*}}$ のとき、一般項Qnをnを用いて表せ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/10/07(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2012(工)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012大阪府立大 工学部 数学4



第4問

  aを正の定数とする。実数の変数xの関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x+a\right)\ e^{2x^2}\end{align*}}$
  について、以下の問いに答えよ。ただし、(1)については計算の過程
  を記入しなくてよい。

 (1) 一階導関数f’(x)はある多項式g(x)により、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=g\ (x)\ e^{2x^2}\end{align*}}$
    と表され、二階導関数f”(x)はある多項式h(x)により、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=h\ (x)\ e^{2x^2}\end{align*}}$
    と表される。g(x)、h(x)を求めよ。

 (2) 関数f(x)が極大値と極小値をもつためのaの値の範囲を求めよ。

 (3) aが(2)で求めた範囲にあるとする。関数f(x)が極大値をとる
    xの値 を$\small\sf{\alpha}$ とし、極小値をとるxの値を$\small\sf{\beta}$ とする。このとき、
    f”($\small\sf{\gamma}$ )=0となる$\small\sf{\gamma}$ が$\small\sf{\alpha}$ と$\small\sf{\beta}$ の間に存在することを示せ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/10/08(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2012(工)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012大阪府立大 工学部 数学5



第5問

  nとkを自然数、tを正の実数とする。以下の問いに答えよ。
  ただし、(1)については計算の過程を記入しなくてよい。

 (1) 不定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ x\sin tx\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{2}{t}\pi}\ |x\sin tx|\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf k}\sf \ (t)=\int_{\frac{k-1}{t}\pi}^{\frac{k}{t}\pi}\ |x\sin tx|\ dx\end{align*}}$ を、kが偶数である場合に求めよ。

 (4) 定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{2n}{t}\pi}\ |x\sin tx|\ dx\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/10/09(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪府立大 中期 2012(工)
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0