第1問
次の文章の に適する答えを、解答用紙の所定の欄に記入せよ。
自然数28のすべての約数は 1，2，4，7，14，28であり、その和は
1+2+4+7+14+28=2×28となり、28の2倍である。このように、
自然数ｍで、そのすべての約数の和が2ｍとなるようなｍを完全数と
呼ぶ。以下、p、qは相異なる素数を表すとする。ｍ=pqの形の自然
数で完全数となるものを探そう。p、qが相異なる素数であるから、
pqの約数は (1) の4つであり、その和が2pqと等しいから、
( (2) )( (3) )=2となる。XY=2となる自然数X、Yは
(X，Y)=(1，2)、(2，1)の二組しかないから、p＜qとすると、
p= (4) 、q= (5) となる。したがって、pqの形の完全数は
(6) のみということがわかる。
第2問
座標平面上に3点Ｏ(0，0)、A(r，0)、B(0，1)がある。Ｏを中心
として、Aを反時計回りに$\small\sf{\theta}$ 回転した点をA’とし、線分ABと線分ＯA’
の交点をPとする。ただし、rはr＞1を満たす定数とし、$\small\sf{\theta}$ は0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$
を満たす変数とする。$\small\sf{\theta}$ が不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ rcos$\small\sf{\theta}$ ≦sin$\small\sf{\theta}$ ≦2rcos$\small\sf{\theta}$
を満たしながら変化するとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|\end{align*}}$ の最小値Ｍと、そのときのPの座標
(ｋ，L)を求めよ。ただし、計算の過程は記入しなくてよい。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
まず、線分ABの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{r}+\frac{y}{1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x+ry-r=0\end{align*}}$ ．
また、ｔ=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ （ｔ＞0）とおくと、
線分ＯA’の式は、y=ｔx となる。
これらを連立させると、1+rｔ≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+r\ t\ x-r=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{r}{1+r\ t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=t\ x=\frac{r\ t}{1+r\ t}\end{align*}}$
となるので、ABとＯA’の交点Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ \left(\frac{r}{1+r\ t}\ ,\ \frac{r\ t}{1+r\ t}\right)\end{align*}}$ ．････①
よって、ｆ(ｔ)= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2\end{align*}}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=\left(\frac{r}{1+r\ t}\right)^2+\left(\frac{r\ t}{1+r\ t}\right)^2=\frac{r^2(1+t^2)}{(1+r\ t)^2}\end{align*}}$
であり、その導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=\frac{r^2\left\{2t\ (1+r\ t)^2-(1+t^2)\cdot 2(1+r\ t)\cdot r\right\}}{(1+r\ t)^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2r^2\left\{t\ (1+r\ t)-(1+t^2)\cdot r\right\}}{(1+r\ t)^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2r^2\ (t-r)}{(1+r\ t)^3}\end{align*}}$ ．
一方、0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2より、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ rcos$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦2rcos$\scriptsize\sf{\theta}$
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ r≦tan$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦2r
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ r≦t≦2r ． ････②
よって、②の範囲でｆ(ｔ)の増減を調べると、次のようになる。
これより、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|\end{align*}}$ の最小値Ｍは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\sqrt{f\ (r)}=\sqrt{\frac{r^2\ (1+r^2)}{(1+r^2)^2}}=\underline{\ \frac{r}{\sqrt{1+r^2}}\ \ }\end{align*}}$
となる。また、このときのPの座標は①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\ \left(\frac{r}{1+r^2}\ ,\ \frac{r^2}{1+r^2}\right)\ \ }\end{align*}}$
である。
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第3問
表が出る確率がp、裏が出る確率が1－pである1個のコインがある。
ただし、pは0＜p＜1である定数とする。このコインをくりかえし投げ
る試行を考える。ｎを2以上の自然数とし、Qnをｎ回目に初めて2回
続けて表が出る確率とする。以下の問いに答えよ。ただし、計算の
過程は記入しなくてよい。
(1) Q2、Q3、Q4をpを用いて表せ。
(2) 1回目に表が出た場合と裏が出た場合に分けることによって、
Qn+2をQn、Qn+1およびpを用いて表せ。
(3) p=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{7}\end{align*}}$ のとき、一般項Qnをｎを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
[Q2について]
1回目、2回目とも表が出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_2=p^2\end{align*}}$
[Q3について]
1回目に裏、2回目、3回目に表が出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_3=(1-p)\ p^2\end{align*}}$
[Q4について]
1回目はどちらでもよく、2回目に裏、3回目、4回目に表が
出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_4=(1-p)\ p^2\end{align*}}$
(2)
ｎ+2回目に初めて2回続けて表が出るためには、
次の2つの場合が考えられる。
(ⅰ)1回目が表のとき
2回目が裏であり、3回目から数えてちょうどｎ回目に
初めて2回続けて表が出ればよい。
この確率は、 p(1－p)Qn である。
(ⅱ)1回目が裏のとき
2回目から数えてちょうどｎ+1回目に初めて2回続けて
表が出ればよい。
この確率は、 (1－p)Qn+1 である。
こららより、ｎ+2回目に初めて2回続けて表が出る確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q_{n+2}=(1-p)\ Q_{n+1}+p(1-p)\ Q_n\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
与えられたpの値を(1)、(2)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_2=\frac{9}{49}\ \ ,\ \ Q_3=\frac{36}{343}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_{n+2}=\frac{4}{3}\ Q_{n+1}+\frac{12}{49}\ Q_n\end{align*}}$ ････①
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\frac{4}{3}\ t+\frac{12}{49}\ \ \Leftrightarrow\ \ t=-\frac{2}{7}\ ,\ \frac{6}{7}\end{align*}}$
であることを利用すると、①は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_{n+2}+\frac{2}{7}\ Q_{n+1}=\frac{6}{7}\left(Q_{n+1}+\frac{2}{7}\right)\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_{n+2}-\frac{6}{7}\ Q_{n+1}=-\frac{2}{7}\left(Q_{n+1}-\frac{6}{7}\right)\end{align*}}$ ････③
と、2通りに変形できる。
②より、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{Q_{n+1}+\frac{2}{7}\ Q_n\right\}\end{align*}}$ は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{7}\end{align*}}$ の等比数列になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_{n+1}+\frac{2}{7}\ Q_n=\left(\frac{6}{7}\right)^{n-2}\left(Q_3+\frac{2}{7}\ Q_2\right)=\frac{54}{343}\left(\frac{6}{7}\right)^{n-2}\end{align*}}$ ． ･･･②’
③より、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{Q_{n+1}-\frac{6}{7}\ Q_n\right\}\end{align*}}$ は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2}{7}\end{align*}}$ の等比数列になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_{n+1}-\frac{6}{7}\ Q_n=\left(-\frac{2}{7}\right)^{n-2}\left(Q_3-\frac{6}{7}\ Q_2\right)=-\frac{18}{343}\left(-\frac{2}{7}\right)^{n-2}\end{align*}}$ ． ･･･③’
②’－③’より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{7}\ Q_n=\frac{54}{343}\left(\frac{6}{7}\right)^{n-2}+\frac{18}{343}\left(-\frac{2}{7}\right)^{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ Q_n=\frac{9}{196}\left\{3\cdot\left(\frac{6}{7}\right)^{n-2}+\left(-\frac{2}{7}\right)^{n-2}\right\}\ \ }\end{align*}}$
隣接3項間の漸化式は解けますか？
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第5問
ｎとｋを自然数、ｔを正の実数とする。以下の問いに答えよ。
ただし、(1)については計算の過程を記入しなくてよい。
(1) 不定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ x\sin tx\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{2}{t}\pi}\ |x\sin tx|\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf k}\sf \ (t)=\int_{\frac{k-1}{t}\pi}^{\frac{k}{t}\pi}\ |x\sin tx|\ dx\end{align*}}$ を、ｋが偶数である場合に求めよ。
(4) 定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{2n}{t}\pi}\ |x\sin tx|\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
求める不定積分をF(x)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf F\ (x)=x\cdot\left(-\frac{1}{t}\ \cos\ tx\right)-\int\ 1\cdot\left(-\frac{1}{t}\ \cos\ tx\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{x}{t}\ \cos tx+\frac{1}{t}\int\ \cos tx\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{x}{t}\ \cos tx+\frac{1}{t^2}\ \sin tx+C\ \ }\end{align*}}$ （C：積分定数）
(2)
積分区間内において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin tx>0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt tx <\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt x<\frac{\pi}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin tx<0\ \ \Leftrightarrow\ \ \pi\lt tx <2\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{t}\lt x<\frac{2\pi}{t}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{2}{t}\pi}\ |x\sin tx|\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{\pi}{t}}\ x\sin tx\ dx-\int_{\frac{\pi}{t}}^{\frac{2}{t}\pi}\ x\sin tx\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{x}{t}\ \cos tx+\frac{1}{t^2}\ \sin tx\right]_0^{\frac{\pi}{t}}+\left[\frac{x}{t}\ \cos tx+\frac{1}{t^2}\ \sin tx\right]_{\frac{\pi}{t}}^{\frac{2}{t}\pi}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2\pi}{t^2}\ \cos\pi+\frac{2\pi}{t^2}\cos 2\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4\pi}{t^2}\ \ }\end{align*}}$
(3)
ｋが偶数のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k-1}{t}\ \pi\leqq x\leqq \frac{k}{t}\ \pi\ \ \Leftrightarrow\ \ (k-1)\pi\leqq tx\leqq k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ x\sin tx\leqq 0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf k}\sf \ (t)=\int_{\frac{k-1}{t}\pi}^{\frac{k}{t}\pi}\ (-x\sin tx)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{x}{t}\ \cos tx-\frac{1}{t^2}\ \sin tx\right]_{\frac{k-1}{t}\pi}^{\frac{k}{t}\pi}\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k\pi}{t^2}\ \cos k\pi-\frac{(k-1)\pi}{t^2}\ \cos (k-1)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k\pi}{t^2}\ +\frac{(k-1)\pi}{t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{(2k-1)\ \pi}{t^2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
ｋが奇数のとき、(3)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf k}\sf \ (t)=\int_{\frac{k-1}{t}\pi}^{\frac{k}{t}\pi}\ x\sin tx\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{k\pi}{t^2}\ \cos k\pi+\frac{(k-1)\pi}{t^2}\ \cos (k-1)\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(2k-1)\ \pi}{t^2}\end{align*}}$ ．
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{2n}{t}\pi}\ |x\sin tx|\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{1}{t}\pi}|x\sin tx|dx+\int_{\frac{1}{t}\pi}^{\frac{2}{t}\pi}|x\sin tx|dx+\ldots +\int_{\frac{2n-1}{t}\pi}^{\frac{2n}{t}\pi}|x\sin tx|dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \rm I_{\sf 1}\sf (t)+ \rm I_{\sf 2}\sf (t)+\ldots + \rm I_{\sf 2n}\sf (t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{2n}\ \frac{(2k-1)\ \pi}{t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{t^2}\left\{\frac{1}{2}\cdot 2\cdot2n(2n-1)-2n\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4n^2}{t^2}\ \pi\ \ }\end{align*}}$
ひたすら計算です！！
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- 2012/10/09(火) 23:57:00|
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