青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（全学部）

2011関西大　理系（全学部）　数学１

第1問

　　関数ｆ(x)=ｅ^-x|sinx+cosx|がある。ｎを0以上の整数とし、
　　曲線y=ｆ(x)、x軸および2直線x=2ｎ$\small\sf{\pi}$ 、x=(2ｎ+1)$\small\sf{\pi}$ によって
　　囲まれる図形の面積をS_nとおく。次の問いに答えよ。

　(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{4}\leqq x\leqq \frac{7\pi}{4}\end{align*}}$ の範囲で、y=ｆ(x)のグラフを解答用紙の　①　の
　　　欄にかけ。ただし、グラフは関数ｆ(x)の極値と増減がわかるように
　　　かくこと。

　(2) S₀の値を求めよ。

　(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\log S_n}{n}\end{align*}}$ を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　ｆ(x)の絶対値の中を合成すると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin x+\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
　　　となるので、

　　　(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{4}\leqq x\leqq \frac{3\pi}{4}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x+\frac{\pi}{4}\leqq \pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x+\cos x\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　なので、ｆ(x)は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)= \sqrt2\ e^{\sf -x}\left(\sin x+\cos x\right)\end{align*}}$
　　　　　となり、このときのｆ(x)をｆ₁(x)とおく。
　　　　　また、ｆ₁(x)の導関数は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ _1'(x)= \sqrt2\ (-e^{\sf -x})\left(\sin x+\cos x\right)+\sqrt2\ e^{\sf -x}\left(\cos x-\sin x\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = -2\ e^{\sf -x}\sin x\end{align*}}$ ．

　　　(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{4}\leqq x\leqq \frac{7\pi}{4}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　　　　sinx+cosx≦0
　　　　　となるので、ｆ(x)および導関数ｆ’(x)は、
　　　　　　　　　ｆ(x)=－ｆ₁(x) 、　ｆ’(x)=－ｆ’₁(x)
　　　　　となる。
　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、ｆ(x)の増減は下の通り。
　　　　　
　　　これより、ｆ(x)のグラフの概形は
　　　右図のようになる。

　(2)
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int\ f\ _1(x)\ dx=\int\sqrt2e^{-x}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ dx\end{align*}}$
　　　とおくと、部分積分法により、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=-\sqrt2e^{-x}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\int \sqrt2e^{-x}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt2e^{-x}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt2e^{-x}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\int\sqrt2e^{-x}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sqrt2e^{-x}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt2e^{-x}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-I\end{align*}}$
　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ I=-\frac{\sqrt2}{2}e^{-x}\left\{\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right\}+C\end{align*}}$　（C：積分定数）
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-e^{-x}\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+C\end{align*}}$　←三角関数の合成
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-e^{-x}\cos x+C\end{align*}}$

　　　S₀は右図の青色部分の面積なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_0=\int_0^{\pi}\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{3\pi /4}\ f\ _1(x)\ dx-\int_{3\pi /4}^{\pi}\ f_1(x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-e^{-x}\cos x\right]_0^{3\pi /4}-\left[-e^{-x}\cos x\right]_{3\pi /4}^{\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\ e^{-\frac{3\pi}{4}}-(-1)+\left(-e^{-\pi}\right)-\left(-\frac{1}{\sqrt2}\ e^{-\frac{3\pi}{4}}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt2\ e^{-\frac{3\pi}{4}}-e^{-\pi}+1\ \ }\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　(1)と同様に考えると、
　　　　　　　2ｎ$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦2ｎ$\scriptsize\sf{\pi}$ +$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、ｆ(x)=ｆ₁(x)
　　　　　　　2ｎ$\scriptsize\sf{\pi}$ +$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\pi}{4}\end{align*}}$ ≦x≦(2ｎ+1)$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、ｆ(x)=－ｆ₁(x)
　　　なので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{2n\pi}^{2n\pi+\frac{3\pi}{4}}f\ _1(x)\ dx-\int_{2n\pi+\frac{3\pi}{4}}^{(2n+1)\pi}f\ _1(x)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-e^{-x}\cos x\right]_{2n\pi}^{2n\pi+\frac{3\pi}{4}}-\left[-e^{-x}\cos x\right]_{2n\pi+\frac{3\pi}{4}}^{(2n+1)\pi}\end{align*}}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\ e^{-2n\pi-\frac{3\pi}{4}}-(-e^{2n\pi})+\left(-e^{-(2n+1)\pi}\right)-\left(-\frac{1}{\sqrt2}\ e^{-2n\pi-\frac{3\pi}{4}}\right)\end{align*}}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sqrt2\ e^{-\frac{3\pi}{4}}-e^{-\pi}+1\right)\ e^{-2n\pi}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{\log S_n}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log\left\{\left(\sqrt2\ e^{-\frac{3\pi}{4}}-e^{-\pi}+1\right)\ e^{-2n\pi}\right\}}{n}\end{align*}}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log\left(\sqrt2\ e^{-\frac{3\pi}{4}}-e^{-\pi}+1\right)}{n}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{-2n\pi}{n} \end{align*}}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -2n\pi\ \ }\end{align*}}$

　　(2)の積分について、
　　　　ｅ^-xcosx ････① をxで微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf \left(e^{-x}\ cos x\right)'=-e^{-x}\cos x+e^{-x}\cdot(-\sin x)}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(-e^{-x}\ cos x\right)'=e^{-x}\left(\sin x+\cos x\right)}\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf \int\ e^{-x}\ (\sin x+\cos x)\ dx=-e^{-x}\ cos x+C}\end{align*}}$ ．
　　　　のように計算すると楽です。この方法は知っておきましょう。
　　　　突然出てくる①ですが、(1)の微分の結果を考えると、
　　　　それほど突飛な話でもありません。

　　また、(4)の積分は、
　　　　　　　　ｔ=x－2ｎ$\scriptsize\sf{\pi}$
　　と置換すると、
　　　　　x：2ｎ$\scriptsize\sf{\pi}$ →(2ｎ+1)$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、ｔ：0→$\scriptsize\sf{\pi}$
　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf S_n=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}\ f\ (x)\ dx}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf =\int_{0}^{\pi}\ f\ (t+2n\pi)\ dt}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf =\int_{0}^{\pi}\ e^{-t-2n\pi}\left|\sin (t+2n\pi)+\cos(t+2n\pi)\right|\ dt}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf =e^{2n\pi}\int_{0}^{\pi}\ e^{-t}\left|\sin t+\cos t\right|\ dt}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf =e^{2n\pi}\int_{0}^{\pi}\ f\ (x)\ dt}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\sf =e^{2n\pi}\ S_0}\end{align*}}$
　　と計算することができます。これも知っておくべき手法です。
　　

　　

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2011関西大　理系（全学部）　数学２

第2問

　　pは定数で、0＜p≦1とする。数列{a_n}は、すべてのｎについて
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a_n\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　を満たし、さらに、関係式
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ \cos a_{n+1}=\sin\left(pa_n+\frac{\pi}{3}(1-p)\right)\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
　　が成り立っているとする。次の　　　をうめよ。

　(1) p=1のとき、a₄₉=　①　、a₅₀=　②　となる。

　(2) 0＜p≦1のとき、数列{a_n}は、漸化式
　　　　　　　　a_n+1=　③　･a_n+　④　
　　　を満たし、一般項は
　　　　　　　　　　　
　　　と表される。ただし、　③　と　④　はｎを含まないpの式で
　　　で答えること。

　(3) 0＜p＜1のとき、数列{a_n}は収束して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ 　a_n=\beta\end{align*}}$ となる。
　　　このとき$\small\sf{\beta}$ はpを用いて、
　　　　　　　　　　　
　　　と表される。さらに、
　　　　　　　　　　　
　　　　が成り立つ。
　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$　　　　③ －p　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\ (2p+1)\end{align*}}$　
　⑤ (－p)ⁿ+2p+1　　⑥ 2p+1　　⑦ －p$\scriptsize\sf{\pi}$

【解説】

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ \cos a_{n+1}=\sin\left(pa_n+\frac{\pi}{3}(1-p)\right)\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$　････(※)
　(1)
　　　任意のｎに対して、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq a_n\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$　････(A)
　　　なので、p=1のとき、(※)は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos a_2=\sin a_1=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_2=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos a_3=\sin a_2=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_3=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos a_4=\sin a_3=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_4=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　･･･
　　　これより、自然数ｎに対して、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2n+1}=\frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ a_{2n}=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　と類推できる（帰納法による証明は略）。
　　　よって、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_{49}=\frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ a_{50}=\frac{\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　pについての関数ｆ(p)を　　　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=pa_n+\frac{\pi}{3}(1-p)\ \ \ \ (0\lt p\leqq 1)\end{align*}}$
　　　と定めると、ｆ(p)は単調関数であり、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=\frac{\pi}{3}\ \ ,\ \ 0\leqq f\ (1)=\ a_n\leqq \frac{\pi}{2}\ \ \ \ (\because\ (A)\ )\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq f\ (p)=pa_n+\frac{\pi}{3}(1-p)\leqq \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ．

　　　この範囲で(※)を満たすのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{\pi}{2}-\left\{p\ a_n+\frac{\pi}{3}\ (1-p)\right\}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_{n+1}=-p\ a_n+\frac{\pi}{6}\ (2p+1)\ \ }\end{align*}}$　････(B)
　　　となるときである。
　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-p\ t+\frac{\pi}{6}\ (2p+1)\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\end{align*}}$
　　　より、(B)は
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}=-p\left(a_n-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\right)\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　これより数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_n-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\right\}\end{align*}}$ は公比－pの等比数列となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}=\left(-p\right)^{n-1}\cdot\left(a_1-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\left(-p\right)^{n-1}\cdot\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\right)+\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_n=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{(-p)^n+2p+1}{p+1}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　0＜p＜1より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ (-p)^n=0\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta=\lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\pi}{6}\cdot\frac{(-p)^n+2p+1}{p+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\\frac{\pi}{6}\cdot\frac{2p+1}{p+1} \ \ }\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-\beta=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{(-p)^n}{p+1}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N\left(a_n-\beta\right)=\frac{\pi}{6(p+1)}\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N\ (-p)^n\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{6(p+1)}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{-p\left\{1-(-p)^N\right\}}{p+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{-p\ \pi}{6(p+1)^2}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　文字pが入った漸化式ですが、定数ですので、普通に解きましょう。　　

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2018/11/27(火) 01:06:00|

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2011関西大　理系（全学部）　数学３

第3問

　　xy平面上の直線L：y=ｍxと円C：x²+y²－4x－4y+6=0がある。
　　次の問いに答えよ。

　(1) 円Cの中心の座標と半径を求めよ。

　(2) 直線Lが円Cと異なる2点で交わるような定数ｍの値の範囲を求めよ。

　(3) 直線Lが円Cによって切り取られる線分の長さが2であるとき、ｍの値を
　　　求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　円Cの方程式は
　　　　　　　(x－2)²+(y－2)²=2
　　　と変形できるので、中心は(2，2)、半径は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　Cの中心から直線L：ｍx－y=0までの距離をdとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}\end{align*}}$ ．
　　　であり、CとLが異なる2点で交わるので、
　　　dがCの半径より小さければよい。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}<\sqrt2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2m-2)^2<2(m^2+1)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2-\sqrt3
　(3)
　　　円Cの中心をＯとし、CとLの2交点をA、Bとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OA=OB=\sqrt2\end{align*}}$ ．
　　　また、ABの中点をＭとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AM=BM=1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OM=d=\frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}\end{align*}}$
　　　なので、△ＯAＭにおいて三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{|2m-2|}{\sqrt{m^2+1}}\right)^2+1^2=\left(\sqrt2\right)^2\end{align*}}$ ．
　　　これを整理すると、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3m^2-8m+3=0\end{align*}}$
　　　となり、これを(2)の範囲で解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ m=\frac{4\pm\sqrt7}{3}\ \ }\end{align*}}$

　　(3)は交点の座標を求める必要はありません。　　

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2018/11/27(火) 01:07:00|

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2011関西大　理系（全学部）　数学４(１)～(３)

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(1) 1以上999以下の整数のうち、4の倍数であるか、または6の倍数
　　　である整数の個数は　①　である。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。このとき、級数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos ^n\theta}{\sin ^n\theta}\end{align*}}$ が収束するのは、$\small\sf{\theta}$ の
　　　範囲が　②　のときである。その級数の和をtan$\small\sf{\theta}$ を用いて表すと、
　　　　③　である。

　(3) 行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf 1 \\ \sf 1 &\sf -a \end{pmatrix}\end{align*}}$ について、A¹⁰の(2，2)成分は　④　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① 332　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}<\theta <\frac{\pi}{2}\end{align*}}$　　　　③④ (a²+1)⁵

【解説】

　(1)
　　　4の倍数は、999÷4=249.･･･より249個　
　　　6の倍数は、999÷6=166.･･･より166個　
　　　4の倍数かつ6の倍数、すなわち12の倍数は、
　　　　　　　　　　999÷12=83.･･･より83個　
　　　よって、4の倍数または6の倍数は、
　　　　　　249+166－83= 332個

　(2)
　　　与えられた級数をSとすると、Sは、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos ^n\theta}{\sin ^n\theta}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\tan \theta}\right)^n\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　無限等比級数Sが収束するためには、初項=0または、
　　　公比が
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1<\frac{1}{\tan\theta}<1\end{align*}}$
　　　であればよいので、
　　　　　　　　　tan$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜－1 または 1＜tan$\scriptsize\sf{\theta}$ 　････(ア)
　　　を満たせばよい。
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ なので、(ア)を満たすような$\scriptsize\sf{\theta}$ の範囲は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{\pi}{4}<\theta <\frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　このとき、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\frac{1}{\tan\theta}}{1-\frac{1}{\tan\theta}}=\underline{\ \frac{1}{\tan \theta -1}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　ハミルトン・ケーリーの定理より
　　　　　　　A²－(a－a)A+(－a²－1)E=Ｏ
　　　　　⇔　A²=(a²+1)E
　　　となるので、
　　　　　　　A¹⁰=(A²)⁵=(a²+1)⁵E．
　　　Eの(2，2)成分は1なので、A¹⁰の(2，2)成分は、
　　　　　　　(a²+1)⁵
　　　となる。

　　これは問題ないでしょう。　　

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2018/11/27(火) 01:08:00|

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2011関西大　理系（全学部）　数学４(４)～(６)

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ はxy平面上のベクトルで、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=(1\ ,\ 0)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=(-1\ ,\ \sqrt3)\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf c}|=1\end{align*}}$
　　　とする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ は鈍角をなし、この角と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ のなす角が等しいとき、
　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ の成分は　⑤　である。

　(5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(x^{\log_2 x}\right)^{\log_2 x}=64x^{6\log_2 x-11}\end{align*}}$ を満たすxは　⑥　である。

　(6) 実数x、yが2x²+y²=8をみたすとき、x²+y²－6xの最大値は
　　　　⑦　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{1}{2}\ ,\ -\frac{\sqrt3}{2}\right)\end{align*}}$　　　　⑥ 2，4，8　　　　⑦ 16

【解説】

　(4)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ のなす角を$\scriptsize\sf{\theta}$ とすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}}{|\overrightarrow{\sf c}|\ |\overrightarrow{\sf a}|}=\frac{\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}}{|\overrightarrow{\sf b}|\ |\overrightarrow{\sf c}|}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf c}|=1\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf b}|=2\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ．････(※)
　　　ここで、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}=(x\ ,\ y)\end{align*}}$
　　　とおくと、(※)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x=-x+\sqrt3 y\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\sqrt3x\end{align*}}$
　　　であり、これを
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2=x^2+y^2=1\end{align*}}$
　　　に代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(\sqrt3x\right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、$\scriptsize\sf{\theta}$ は鈍角なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf C}\cdot\overrightarrow{\sf a}=2x<0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf c}=\left(-\frac{1}{2}\ ,\ -\frac{\sqrt3}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$

　(5)
　　　両辺＞0より、両辺の対数（底2）をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_2\left(x^{\log_2 x}\right)^{\log_2 x}=\log_264x^{6\log_2 x-11}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\log_2 x)\left(\log_2x^{\log_2 x}\right)=\log_264+\log_2x^{6\log_2 x-11}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\log_2 x)^2\left(\log_2x\right)=6+(6\log_2 x-11)\log_2x\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\log_2 x)^3-6(\log_2x)^2+11\log_2 x-6=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\log_2 x-1)(\log_2x-2)(\log_2-3)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2 x=1\ ,\ 2\ ,\ 3\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=2\ ,\ 4\ ,\ 8\ \ }\end{align*}}$

　(6)
　　　与えられた条件は
　　　　　　2x²+y²=8　⇔　y²=8－2x²　････(ア)
　　　と変形でき、y²≧0より
　　　　　　8－2x²≧0　⇔　－2≦x≦2　････(イ)
　　　よって、
　　　　　　x²+y²－6x=x²+(8－2x²)－6x　←(ア)より
　　　　　　　　　　　　　 =－x²－6x+8
　　　　　　　　　　　　　 =－(x+3)²+17
　　　となり、(イ)より、
　　　　　　x=－2のとき、最大値16をとる。

　　(5)で両辺の対数をとるのがミソです。
　　他は難しくないですな。　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/27(火) 01:09:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（全学部）

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