第１問
Ｏを原点とする座標平面上の楕円
$\small\sf{\begin{align*}\sf C:\ \frac{x^2}{2}+y^2=1\end{align*}}$
を考える。点Ｐ(ｔ，$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ ｔ)（ただし、ｔ＞１）を通る楕円Cの２つの接線を
L1、L2とし、それらと楕円との接点をそれぞれＱ、Ｒとする。点Ｑを通り
L1と直交する直線をｍ1とし、点Ｒを通りL2と直交する直線をｍ2とする。
直線ｍ1とｍ2の交点をＳとする。ただし、Ｑのｘ座標はＲのｘ座標より大
きいとする。
(１) ２点Ｑ、Ｒの座標をｔを用いて表せ。
(２) 点Ｓの座標をｔを用いて表せ。
(３) ｔが１より大きい実数全体を動くとき、点Ｓの軌跡を求めよ。
(４) $\small\sf{\begin{align*}\sf t\gt\sqrt2\end{align*}}$ であるとき、△ＯＰＳの面積をＡ(ｔ)とする。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{A\ (t)}{t^2}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
まず、Ｃと直線$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{1}{\sqrt2}\ x\end{align*}}$ との交点を求めると、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1\ ,\ \frac{1}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$ であり、
ｔ＞１なので、点ＰはＣの外部にある。
接点を(ｘ0，ｙ0)とする。
この点はＣ上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x_0^2}{2}+y_0^2=1\end{align*}}$ ． ････①
(ｘ0，ｙ0)における接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x_0\ x}{2}+y_0\ y=1\end{align*}}$ ････②
であり、これが点Ｐを通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x_0\ t}{2}+\frac{y_0\ t}{\sqrt2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y_0=-\frac{1}{\sqrt2}\ x_0+\frac{\sqrt2}{t}\ \ (\because\ \ t\ne 0)\end{align*}}$ ．･･･③
これを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x_0^2}{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt2}\ x_0+\frac{\sqrt2}{t}\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2\ x_0^2-2t\ x_0+2-t^2=0\end{align*}}$ ････④
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_0=\frac{1\pm\sqrt{t^2-1}}{t}\ .\end{align*}}$
③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_0=\frac{1\mp\sqrt{t^2-1}}{\sqrt2\ t}\ .\end{align*}}$ （複号同順）
よって、２接点Ｑ、Ｒの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ Q\ \left(\frac{1+\sqrt{t^2-1}}{t}\ ,\ \frac{1-\sqrt{t^2-1}}{\sqrt2\ t}\right)\ \ ,\ \ R\ \left(\frac{1-\sqrt{t^2-1}}{t}\ ,\ \frac{1+\sqrt{t^2-1}}{\sqrt2\ t}\right)\ \ }\ .\end{align*}}$
(２)
(ⅰ) ｔ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ のとき
右図より、L1：ｘ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ 、L2：ｙ＝１
となるので、このときのＳの座標は(０，０)．
(ⅱ) ｔ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ のとき
２接線L1、L2は座標軸と平行にならない。
Ｑ(ｘ1，ｙ1)とすると、②よりL1の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{x_1}{2y_1}\ x+\frac{1}{y_1}\end{align*}}$ ････②’
と変形できる。
よって、Ｑを通りL1に垂直な直線ｍ1の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2y_1}{x_1}\ (x -x_1)+y_1=\frac{2y_1}{x_1}\ x -y_1\end{align*}}$ ････④
であり、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y_1=-\frac{1}{\sqrt2}\ x_1+\frac{\sqrt2}{t}\end{align*}}$
なので、これを代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\left(-\sqrt2+\frac{2\sqrt2}{t\ x_1}\right)\ x+\frac{1}{\sqrt2}\ x_1-\frac{\sqrt2}{t}\end{align*}}$ ．
同様に、Ｒ(ｘ2，ｙ2)とするとｍ2の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\left(-\sqrt2+\frac{2\sqrt2}{t\ x_2}\right)\ x+\frac{1}{\sqrt2}\ x_2-\frac{\sqrt2}{t}\end{align*}}$
となるので、これら２式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(-\sqrt2+\frac{2\sqrt2}{t\ x_1}\right)\ x+\frac{1}{\sqrt2}\ x_1-\frac{\sqrt2}{t}=\left(-\sqrt2+\frac{2\sqrt2}{t\ x_2}\right)\ x+\frac{1}{\sqrt2}\ x_2-\frac{\sqrt2}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2\sqrt2}{t}\cdot\frac{x_2-x_1}{x_1\ x_2}\ x=\frac{x_2-x_1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{t}{4}\ x_1\ x_2\ \ \ \ (\because\ \ x_1\ne x_2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{t}{4}\cdot\frac{1+\sqrt{t^2-1}}{t}\cdot\frac{1-\sqrt{t^2-1}}{t}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2-t^2}{4t}\end{align*}}$ ．
この値およびｘ1、ｙ1の値を④に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{2\left(1-\sqrt{t^2-1}\right)}{\sqrt2\left(1+\sqrt{t^2-1}\right)}\cdot\frac{2-t^2}{4t} -\frac{1-\sqrt{t^2-1}}{\sqrt2\ t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{2-t^2}{2\sqrt2\ t}\end{align*}}$
となるので、ｍ1、ｍ2の交点Ｓの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ S\ \left(\frac{2-t^2}{4\ t}\ ,\ -\frac{2-t^2}{2\sqrt2\ t}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
（これは、(ⅰ)の場合も満たす。）
(３)
Ｓ(Ｘ，Ｙ)とすると、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf Y=-\frac{2-t^2}{2\sqrt2\ t}=-\sqrt2\cdot\frac{2-t^2}{4\ t}=-\sqrt2\ X\end{align*}}$
となるので、Ｓは直線 ｙ＝－$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2\end{align*}}$ ｘ上にある。
ここで、Ｓのｘ座標をｔの関数とみなして
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f (t)=\frac{2-t^2}{4\ t}\ \ \ (t\gt 1)\end{align*}}$
とおく。その導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f '(t)=\frac{-2t\cdot t-(2-t^2)}{4t^2}=-\frac{2+3t^2}{4t^2}\end{align*}}$
となるので、ｆ(ｔ)の増減は下のようになる。
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f (t)\lt\frac{1}{4}\end{align*}}$
となるので、Ｓの軌跡の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ y=-\sqrt2\ x\ \ \ \left(x\lt\frac{1}{4}\ \right)\ \ }.\end{align*}}$
(４)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A\ (t)=\triangle OPS\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left|t\cdot\left(-\frac{2-t^2}{2\sqrt2\ t}\right)-\frac{1}{\sqrt2}\ t\cdot\frac{2-t^2}{4\ t}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left|-\frac{3(2-t^2)}{4\sqrt2\ t}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3(t^2-2)}{8\sqrt2}\ \ \ \left(\because t\gt\sqrt2\ \right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{A\ (t)}{t^2}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{3(t^2-2)}{8\sqrt2\ t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{3}{8\sqrt2}\left(1-\frac{2}{t^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{3}{8\sqrt2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(２)の計算がタイヘンです････
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第２問
ｎを３以上の整数とする。１以上の整数Ｍをｎで割ったときの商をＭ1、
余りをａ1とする。続いて、Ｍ1をｎで割ったときの商をＭ2、余りをａ2と
する。このようにして１以上の整数ｉに対して、Ｍiをｎで割ったときの商
をＭi+1、余りをａi+1とおく。このときＭiとなるようなｉの最小値をｋとす
る。次に、Ｍに対して、ａ1＋ａ2＋･･･＋ａkを対応させる関数をｆ(Ｍ)と
表す。すなわち、
$\small\sf{\begin{align*}\sf f (M)=\sum_{i=1}^k\ a_{\ i}\end{align*}}$
である。
たとえばＭ＝５3、ｎ＝10のときは、ｋ＝３であり、ｆ(Ｍ)＝８となる。
(１) Ｍをａ1、ａ2、･･･、ａkとｎを用いて表せ。
(２) ｆ(Ｍ)≦Ｍであることを示せ。また、等号が成立するための条件を
ｎとＭを用いて表せ。
(３) Ｍ－ｆ(Ｍ)はｎ－１で割り切れることを示せ。
次に、ｆ(1)(Ｍ)＝ｆ(Ｍ)、ｆj(Ｍ)＝ｆ(ｆj-1(Ｍ)) （ｊ≧２）によりｆj(Ｍ)を
定める。Ｍに対して、ｆj(Ｍ)＜ｎとなるよなｊの最小値をｓとし、ｆs(Ｍ)
の値をＲ(Ｍ)とおく。
(４) Ｍがｎ－１で割り切れるとき、Ｒ(Ｍ)を求めよ。
(５) Ｍがｎ－１で割り切れないとき、Ｒ(Ｍ)がどのような値となるかを
ｎ、Ｍを用いて説明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
題意より
Ｍ＝ｎＭ1＋ａ1 ････①
Ｍ1＝ｎＭ2＋ａ2 ････②
Ｍ2＝ｎＭ3＋ａ3 ････③
Ｍ3＝ｎＭ4＋ａ4 ････④
････
Ｍk-2＝ｎＭk-1＋ａk-1 ････⑤
Ｍk-1＝ｎＭk＋ａk＝ａk （∵Ｍk＝０） ････⑥
であり、
①＋②×ｎ＋③×ｎ2＋④×ｎ3＋･･･＋⑤×ｎk-2＋⑥×ｎk-1
を計算すると、
Ｍ＝ａ1＋ｎａ2＋ｎ2ａ3＋ｎ3ａ4＋･･･＋ｎk-1ａk
を得る。
(２)
(１)より、
Ｍ－ｆ(Ｍ)
＝(ａ1＋ｎａ2＋ｎ2ａ3＋･･･＋ｎk-1ａk)－(ａ1＋ａ2＋･･･＋ａk)
＝(ｎ－１)ａ2＋(ｎ2－１)ａ3＋･･･＋(ｎk-1－１)ａk ････⑦
であり、
ａ2≧０、ａ3≧０、････、ａk≧０かつｎ≧３
なので、Ｍ－ｆ(Ｍ)≧０、すなわち ｆ(Ｍ)≦Ｍ である。
等号が成立するのは、
ａ2＝ａ3＝････＝ａk＝０
のときであるが、
ａk＝０と⑥より、Ｍk-1＝０、
Ｍk-1＝ａk-1＝０と⑤より、Ｍk-2＝０、
･････
Ｍ2＝ａ2＝０と②より、Ｍ1＝０．
よって、ｋ＝１であり、Ｍ＝ａ1となるので、
Ｍ＜ｎのとき、等号は成立する。
(３)
任意のｉ（ｉ＝１，２，･･･，ｋ－１）に対して、
ｎｉ－１＝(ｎ－１)(ｎi-1＋ｎi-2＋･･＋ｎ＋１)
となるので、ｎｉ－１はｎ－１で割り切れる。
よって、⑦より、Ｍ－ｆ(Ｍ)はｎ－１で割り切れる。
以下、２数Ａ、Ｂをｎ－１で割った余りが等しいことを、
Ａ≡Ｂ と表すことにする。
(４)
(３)より、Ｍ－ｆ(Ｍ)≡０ なので、
Ｍ≡ｆ(Ｍ)．
同様に、
ｆ(Ｍ)≡ｆ(ｆ(Ｍ)) ⇔ ｆ(Ｍ)≡ｆ2(Ｍ)
ｆ2(Ｍ)≡ｆ(ｆ2(Ｍ)) ⇔ ｆ2(Ｍ)≡ｆ3(Ｍ)
ｆ3(Ｍ)≡ｆ(ｆ3(Ｍ)) ⇔ ｆ3(Ｍ)≡ｆ4(Ｍ)
･････
も成り立つので、
Ｍ≡ｆ(Ｍ)≡ｆ2(Ｍ)≡ｆ3(Ｍ)≡････≡ｆs(Ｍ)． ････(※)
よって、Ｍ≡０のとき、Ｒ(Ｍ)＝ｆs(Ｍ)≡０となる。
すなわち、Ｒ(Ｍ)はｎ－１の倍数であり、
題意より、Ｒ(Ｍ)＜ｎなので、Ｒ(Ｍ)＝ｎ－１ ．
(５)
(※)より、Ｒ(Ｍ)≡Ｍであり、Ｒ(Ｍ)＜ｎなので、
Ｒ(Ｍ)は、Ｍをｎ－１で割った余りに等しい。
(１)の計算を丁寧に書くと、次のようになります。
(４)、(５)は合同式を使うと書きやすいです。
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第３問
ａ＞０とし、座標平面上の２つの曲線
$\small\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ y=e^{-\frac{x^2}{4}}\ \ ,\ \ C_2:\ y=-\frac{a}{4}\ x^2+a\ (1-\log a)\end{align*}}$
を考える。
(１) ａ＞１であるとき、Ｃ1とＣ2は共有点をもたないことを示せ。
(２) ０＜ａ＜１であるとき、Ｃ1とＣ2の共有点の座標をａを用いて表せ。
(３) (２)の場合で、共有点がＣ1の変曲点であるとき、ａの値を求めよ。
(４) ａが(３)の値のとき、Ｃ1とＣ2で囲まれた部分をｙ軸のまわりに１回転
させてできる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ y=e^{-\frac{x^2}{4}}\ \ ,\ \ C_2:\ y=-\frac{a}{4}\ x^2+a\ (1-\log a)\end{align*}}$
(１)
Ｃ1の右辺をｆ(ｘ)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (-x)=e^{-\frac{(-x)^2}{4}}=e^{-\frac{x^2}{4}}=f\ (x)\end{align*}}$
となるので、ｆ(ｘ)は偶関数であり、Ｃ1のグラフはｙ軸について対称。
また、ｆ(ｘ)の第１次および第２次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=-\frac{x}{2}\ e^{-\frac{x^2}{4}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=-\frac{1}{2}\ e^{-\frac{x^2}{4}}-\frac{x}{2}\cdot\left(-\frac{x}{2}\right) e^{-\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{4}\left(x^2-2\right)\ e^{-\frac{x^2}{4}}\end{align*}}$
となり、ｘ≧０の範囲におけるｆ(ｘ)の増減・凹凸は次のようになる。
これより、Ｃ1の値域は ０＜ｙ≦１ ････①
また、Ｃ1の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{x^2}{4}=\log y\end{align*}}$
と変形でき、これをＣ2の式の代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=a\log y+a-a\log a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{y}{a}-\log y+\log a-1=0\ \ (\because\ a\ne0\ )\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{y}{a}-\log \frac{y}{a}-1=0\end{align*}}$ ．････②
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{y}{a}\end{align*}}$ とおくと、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0 このとき②は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p-\log p-1=0\end{align*}}$
となり、この左辺をＦ(ｐ)とおく。Ｆ(ｐ)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf F\ '(p)=1-\frac{1}{p}=\frac{p-1}{p}\end{align*}}$ ．
よって、ｐ＞０の範囲におけるＦ(ｐ)の増減表は次のようになる。
ａ＞１のときは、①’より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt p\leq \frac{1}{a}\lt 1\end{align*}}$
なので、Ｆ(ｐ)＝０となるようなｐは存在しない。
すなわち、②を満たすようなｙは存在せず、
Ｃ1とＣ2は共有点をもたない。
(２)
０＜ａ＜１のとき $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1\lt\frac{1}{a}\end{align*}}$ なので、ｐ＝１となることがあり、
このとき(１)にあるＦ(ｐ)の増減表より Ｆ(ｐ)＝０となる。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{y}{a}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=a\end{align*}}$
のとき、方程式②をみたすので、Ｃ1とＣ2の共有点のｙ座標は
ｙ＝ａである。
これをＣ1の式に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=e^{-\frac{x^2}{4}}\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{x^2}{4}=\log a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\pm2\sqrt{-\log a}\end{align*}}$
となるので、Ｃ1とＣ2の共有点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \left(\pm2\sqrt{-\log a}\ ,\ a\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
(３)
(１)のｆ(ｘ)の増減表より、Ｃ1の変曲点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\pm\sqrt2\ ,\ \frac{1}{\sqrt e}\right)\end{align*}}$
であり、これが(２)でもとめた共有点と一致するので、
ｙ座標を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a=\frac{1}{\sqrt e}\ \ }\end{align*}}$
(４)
ａが(３)で求めた値のとき、Ｃ2の式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=-\frac{1}{4\sqrt e} \ x^2+\frac{3}{2\sqrt e}\end{align*}}$
となるので、ｙ軸との交点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(0\ ,\ \frac{3}{2\sqrt e}\right)\end{align*}}$ ．
また、Ｃ1およびＣ2の式はそれぞれ、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ x^2=-4\log y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C_2:\ x^2=6-4\sqrt e \ y\end{align*}}$
のように変形できるので、
求める体積をＶとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf V=\pi\int_{\frac{1}{\sqrt e}}^1\left(-4\log y\right)\ dy-\pi\int_{\frac{1}{\sqrt e}}^{\frac{3}{2\sqrt e}}\left(6-4\sqrt e \ y\right)\ dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-4\pi\left[y\log y-y\right]_{\frac{1}{\sqrt e}}^1-\pi\left[6y-2\sqrt e\ y^2\right]_{\frac{1}{\sqrt e}}^{\frac{3}{2\sqrt e}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =4\pi+4\pi\left(-\frac{1}{2\sqrt e}-\frac{1}{\sqrt e}\right)-\pi\left(\frac{9}{\sqrt e}-\frac{9}{2\sqrt e}\right)+\pi\left(\frac{6}{\sqrt e}-\frac{2}{\sqrt e}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \left(4-\frac{13}{2\sqrt e}\right)\ \pi\ \ }\end{align*}}$
(１)の流れが理解できれば、(２)以降は問題ないはずです。
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第４問
(１) ｐ、ｑを１＜ｐ＜ｑをみたす実数とし、３辺の長さが１、ｐ、ｑの直方体
Ｖを考える。長さｑの辺と垂直な平面でＶを２つに分割して、3辺の長
さが１、ｐ、１の直方体と３辺の長さが１、ｐ、ｑ－１の直方体Ｕを作る。
ｐ、ｑが条件ｑ－１＜１、ｑ＝ｐ2、ｐ(ｑ－１)＝１を満たすならば、ＶとＵ
は相似であることを示せ。
ｐ、ｑを(１)の条件を満たす実数とし、座標空間の８点
Ａ1(０，０，０) Ａ2(０，１，０) Ａ3(０，１，ｐ) Ａ4(０，０，ｐ)
Ｂ1(ｑ，０，０) Ｂ2(ｑ，１，０) Ｂ3(ｑ，１，ｐ) Ｂ4(ｑ，０，ｐ)
を頂点とする直方体をＶ0とする。点Ｐ0をＰ0＝Ａとおく。次に、１以上の
整数ｎに対して、直方体Ｖnとその頂点Ｐnを以下のようにして順に定める。
ｋ≧０とし、直方体Ｖkとその頂点Ｐkが定まったとする。頂点Ｐkを含む
Ｖkの３つの面のうち、Ｖkの最短辺と最長辺を含む面を考える。この面内で、
Ｐkを頂点として含み、この面の最短辺を一辺とする正方形を考える。この
正方形の、Ｐkを端点とする対角線を考え、その対角線のＰkと異なる方の
端点をＰk+1とする。Ｐk+1を通りＶkの最長辺と垂直な平面でＶkを分割し、
Ｐkを含まない方の直方体をＶk+1とする。
(２) ｎ≧０のとき、直方体Ｖnの３辺の長さは
$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{p^n}\ \ ,\ \ \frac{1}{p^{n-1}}\ \ ,\ \ \frac{1}{p^{n-2}}\end{align*}}$
であることを示せ。
(３) Ｐ1、Ｐ2、Ｐ3、Ｐ4、Ｐ5、Ｐ6の座標をｐを用いて表せ。
(４) Ｐ6n （ｎ≧０）のｚ座標をｚnとするとき、
$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ z_n\end{align*}}$
の値をｐを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
条件ｑ＝ｐ2より、Ｖの３辺は、１，ｐ，ｐ2となり、
条件ｐ(ｑ－１)＝１より、Ｕの３辺は、１，ｐ，ｐ-1となる。
１：ｐ：ｐ2＝ｐ-1：１：ｐ
が成り立つので、２つの直方体Ｖ、Ｕは相似である。
(２)
「直方体Ｖnの３辺の長さは ｐ-n、ｐ-n+1、ｐ-n+2である」･･･・(※)
このことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) ｎ＝１のときは自明
(ⅱ) ｎ＝ｋのとき(※)が成立すると仮定すると、
１＜ｐより、Ｖkの最長辺はｐ-k+2、最短辺はｐ-kであり、
これらを２辺とする長方形から一辺ｐ-kの正方形を切り取ると、
２辺がｐ-kとｐ-k+2－ｐ-kである長方形が残る。
ここで、条件ｑ＝ｐ2とｐ(ｑ－１)＝１より、
ｐ2－１＝ｐ-1 ････①
なので、
ｐ-k+2－ｐ-k＝ｐ-k(ｐ2－１)＝ｐ-k-1．
よって、Ｖk+1の３辺は、ｐ-k-1，ｐ-k，ｐ-k+1となり、
ｎ＝ｋ＋１のときも(※)が成り立つので、
任意の自然数ｎに対して(※)は成り立つ。
(３)
点Ｐnの座標を(Ｘn，Ｙn，Ｚn)とする。
また、２点ＰnＰn+1を対角線とする正方形の一辺の長さをLnとすると、
Ln＝ｐ-n ････② となる。
Ｐ0～Ｐ6の位置関係は上図のようになるので、
Ｐ0(０，０，ｐ)
Ｐ1(Ｘ1，Ｙ1，Ｚ1)＝(Ｘ0＋L0，Ｙ0＋L0，Ｚ0)
＝(１，１，ｐ)
Ｐ2(Ｘ2，Ｙ2，Ｚ2)＝(ｑ，Ｙ1，Ｚ1－L1) ←ｘ座標はＢ1と同じ
＝(ｐ2，１，ｐ－ｐ-1)
Ｐ3(Ｘ3，Ｙ3，Ｚ3)＝(ｐ2，Ｙ2－L2，０) ←ｘ、ｚ座標はＢ1と同じ
＝(ｐ2，１－ｐ-2，０)
Ｐ4(Ｘ4，Ｙ4，Ｚ4)＝(Ｘ3－L3，０，０) ←ｙ、ｚ座標はＢ1と同じ
＝(ｐ2－ｐ-3，０，０)
Ｐ5(Ｘ5，Ｙ5，Ｚ5)＝(Ｘ4－L4，Ｙ4，Ｚ4＋L4)
＝(ｐ2－ｐ-3－ｐ-4，０，ｐ-4)
Ｐ6(Ｘ6，Ｙ6，Ｚ6)＝(Ｘ5，Ｙ5＋L5，Ｚ5＋L5)
＝(ｐ2－ｐ-3－ｐ-4，ｐ-5，ｐ-4＋ｐ-5)
(４)
直方体Ｖ6nにおける点Ｐ6nの位置関係はすべて同じ
（ｘ座標、ｙ座標は小さい方、ｚ座標は大きい方）なので、
(３)と同様に考えると、
Ｖ6n(Ｘ6n，Ｙ6n，Ｚ6n)に対して、
Ｚ6n+1＝Ｚ6n
Ｚ6n+2＝Ｚ6n+1－L6n+1
＝Ｚ6n－L6n+1
Ｚ6n+3＝Ｚ6n+2－L6n+2
＝Ｚ6n－L6n+1－L6n+2
Ｚ6n+4＝Ｚ6n+3
Ｚ6n+5＝Ｚ6n+4＋L6n+4
＝Ｚ6n－L6n+1－L6n+2＋L6n+4
Ｚ6n+6＝Ｚ6n+5＋L6n+5
＝Ｚ6n－L6n+1－L6n+2＋L6n+4＋L6n+5
②より、
Ｚ6n+6＝Ｚ6n－ｐ-6n-1－ｐ-6n-2＋ｐ-6n-4＋ｐ-6n-5
であり、両辺にｐ6n+6をかけると、
ｐ6n+6Ｚ6n+6＝ｐ6n+6Ｚ6n－ｐ5－ｐ4＋ｐ2＋ｐ．････③
ここで、
ａn＝ｐ6nＺ6n
ｒ＝－ｐ5－ｐ4＋ｐ2＋ｐ
とおくと、③は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{n+1}=p^6\ a_n+r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}-\frac{r}{1-p^6}=p^6\ \left(a_n-\frac{r}{1-p^6}\right)\end{align*}}$
と変形できる。
数列$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{a_n-\frac{r}{1-p^6}\right\}\end{align*}}$ は、公比ｐ6の等比数列となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n-\frac{r}{1-p^6}=(p^6)^n\ \left(a_0-\frac{r}{1-p^6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=p^{6n}\ \left(p-\frac{r}{1-p^6}\right)+\frac{r}{1-p^6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Z_{6n}=\frac{a_n}{p^{6n}}=p-\frac{r}{1-p^6}+\frac{1}{p^{6n}}\cdot\frac{r}{1-p^6}\end{align*}}$ ．
ここで、１＜ｐより
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{p^{6n}}=0\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ z_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ Z_{6n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =p-\frac{r}{1-p^6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =p-\frac{-p^5-p^4+p^2+p}{1-p^6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =p-\frac{(1-p^3)(p^2+p)}{(1-p^3)(1+p^3)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =p-\frac{p^2+p}{1+p^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{p^4-p^2}{p^3+1}\ \ }\end{align*}}$
(４)でｚnが定義されているのを忘れてました・・・
見にくいかもしれませんが、Ｚnとの区別つきますか？？
①から得られる ｐ3＝ｐ＋１ を用いると、
(３)、(４)はもう少し簡単な表し方もできます。
例えば(４)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{p^4-p^2}{p^3+1}=\frac{p(p+1)-p^2}{(p+1)+1}=\frac{p}{p+2}\end{align*}}$
とも表すことができます。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/03(水) 06:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2010
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