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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010京都府立医大 数学1



第1問

  Oを原点とする座標平面上の楕円
        $\small\sf{\begin{align*}\sf C:\ \frac{x^2}{2}+y^2=1\end{align*}}$
  を考える。点P(t,$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ t)(ただし、t>1)を通る楕円Cの2つの接線を
  L1、L2とし、それらと楕円との接点をそれぞれQ、Rとする。点Qを通り
  L1と直交する直線をm1とし、点Rを通りL2と直交する直線をm2とする。
  直線m1とm2の交点をSとする。ただし、Qのx座標はRのx座標より大
  きいとする。

 (1) 2点Q、Rの座標をtを用いて表せ。

 (2) 点Sの座標をtを用いて表せ。

 (3) tが1より大きい実数全体を動くとき、点Sの軌跡を求めよ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*}\sf t\gt\sqrt2\end{align*}}$ であるとき、△OPSの面積をA(t)とする。
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{t\rightarrow\infty}\frac{A\ (t)}{t^2}\end{align*}}$ を求めよ。




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2010京都府立医大 数学2


第2問

  nを3以上の整数とする。1以上の整数Mをnで割ったときの商をM1
  余りをa1とする。続いて、M1をnで割ったときの商をM2、余りをa2
  する。このようにして1以上の整数iに対して、Miをnで割ったときの商
  をMi+1、余りをai+1とおく。このときMiとなるようなiの最小値をkとす
  る。次に、Mに対して、a1+a2+・・・+akを対応させる関数をf(M)と
  表す。すなわち、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f (M)=\sum_{i=1}^k\ a_{\ i}\end{align*}}$
  である。
   たとえばM=53、n=10のときは、k=3であり、f(M)=8となる。

 (1) Mをa1、a2、・・・、akとnを用いて表せ。

 (2) f(M)≦Mであることを示せ。また、等号が成立するための条件を
    nとMを用いて表せ。

 (3) M-f(M)はn-1で割り切れることを示せ。

  次に、f(1)(M)=f(M)、fj(M)=f(fj-1(M)) (j≧2)によりfj(M)を
  定める。Mに対して、fj(M)<nとなるよなjの最小値をsとし、fs(M)
  の値をR(M)とおく。

 (4) Mがn-1で割り切れるとき、R(M)を求めよ。

 (5) Mがn-1で割り切れないとき、R(M)がどのような値となるかを
    n、Mを用いて説明せよ。


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2010京都府立医大 数学3



第3問

  a>0とし、座標平面上の2つの曲線
       $\small\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ y=e^{-\frac{x^2}{4}}\ \ ,\ \ C_2:\ y=-\frac{a}{4}\ x^2+a\ (1-\log a)\end{align*}}$
  を考える。

 (1) a>1であるとき、C1とC2は共有点をもたないことを示せ。

 (2) 0<a<1であるとき、C1とC2の共有点の座標をaを用いて表せ。

 (3) (2)の場合で、共有点がC1の変曲点であるとき、aの値を求めよ。 

 (4) aが(3)の値のとき、C1とC2で囲まれた部分をy軸のまわりに1回転
    させてできる立体の体積を求めよ。


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2010京都府立医大 数学4



第4問

 (1) p、qを1<p<qをみたす実数とし、3辺の長さが1、p、qの直方体
    Vを考える。長さqの辺と垂直な平面でVを2つに分割して、3辺の長
    さが1、p、1の直方体と3辺の長さが1、p、q-1の直方体Uを作る。
    p、qが条件q-1<1、q=p2、p(q-1)=1を満たすならば、VとU
    は相似であることを示せ。


  p、qを(1)の条件を満たす実数とし、座標空間の8点
    A1(0,0,0)  A2(0,1,0)  A3(0,1,p)  A4(0,0,p)
    B1(q,0,0)  B2(q,1,0)  B3(q,1,p)  B4(q,0,p)
  を頂点とする直方体をV0とする。点P0をP0=Aとおく。次に、1以上の
  整数nに対して、直方体Vnとその頂点Pnを以下のようにして順に定める。

   k≧0とし、直方体Vkとその頂点Pkが定まったとする。頂点Pkを含む
  Vkの3つの面のうち、Vkの最短辺と最長辺を含む面を考える。この面内で、
  Pkを頂点として含み、この面の最短辺を一辺とする正方形を考える。この
  正方形の、Pkを端点とする対角線を考え、その対角線のPkと異なる方の
  端点をPk+1とする。Pk+1を通りVkの最長辺と垂直な平面でVkを分割し、
  Pkを含まない方の直方体をVk+1とする。

 (2) n≧0のとき、直方体Vnの3辺の長さは
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{p^n}\ \ ,\ \ \frac{1}{p^{n-1}}\ \ ,\ \ \frac{1}{p^{n-2}}\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (3) P1、P2、P3、P4、P5、P6の座標をpを用いて表せ。

 (4) P6n (n≧0)のz座標をznとするとき、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ z_n\end{align*}}$
    の値をpを用いて表せ。


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