青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2011(2/7)

2011立命館大　理系（2月7日）　数学１

第1問

　　　座標平面において、原点Oを中心とする半径1の円周上を動く2点
　　P、Qがある。時刻tにおけるPの座標は、(cost，sint)である。
　　Qはt=0においてPと同じ位置にある。また、QはPの2倍の速さで
　　Pと逆向きに動いている。
　　時刻tにおけるQの座標は、(　ア　，　イ　 )であり、0＜t＜2$\small\sf{\pi}$
　　の範囲でPとQが同じ位置にあるのは、t=　ウ　のときである。
　　S₁を△OPQの面積とする。ただし、O、P、Qが一直線上にあるとき
　　はS₁=0と定める。S₁をtで表すと　エ　であり、これが0＜t＜$\small\sf{\pi}$
　　の範囲で最大になるのは、t=　オ　のときである。
　　　点(－1，0)に関してPと対称な点をRとする。時刻tにおけるRの
　　座標は、(　カ　，　キ　 )である。S₂を△OPRの面積とする。
　　ここでも、O、P、Rが一直線上にあるときはS₂=0と定める。S₂を
　　tで表すと、　ク　であり、0＜t＜$\small\sf{\pi}$ の範囲で、S₁=S₂であるの
　　は、t=　ケ　のときである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア cos2t　　　　イ－sin2t　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\ \pi\ ,\ \frac{4}{3}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left|\sin 3t\right|\end{align*}}$
　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{5}{6}\ \pi\end{align*}}$　　カ－2－cost　　　キ－sint　　　ク |sint|
　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5}{6}\ \pi\end{align*}}$　　　

【解説】

　　　t=0のとき、P(cost，sint)は(1，0)であり、
　　　単位円周上を反時計回りに動く。
　　　Qはt=0のとき(1，0)であり、時計回りにPの2倍の速さで
　　　動くので、時刻tにおける座標は、
　　　　　　　　(cos(-2t)，sin(-2t))=(cos2t，－sin2t)
　　　である。
　　　PとQが一致するのは、
　　　　　　　　t=－2t+2k$\scriptsize\sf{\pi}$ 　（k：整数）
　　　のとき、すなわち、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{2}{3}\ k\pi\end{align*}}$
　　　のときである。0＜t＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\ \frac{2}{3}\ \pi\ ,\ \frac{4}{3}\ \pi\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　
　　　3点(0，0)、(x₁，y₁)、(x₂，y₂)を頂点とする三角形の面積は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1\right|\end{align*}}$
　　　で求められるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}\left|\cos t\cdot\left(-\sin 2t\right)-\sin t\cos 2t\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left|\cos t\ \sin 2t+\sin t\ \cos 2t\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\left|\sin 3t\right|\ }\end{align*}}$ ．　　←加法定理
　　　これが最大になるのは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\sin 3t\right|=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 3t=\pm\frac{\pi}{2}+2k\ \pi\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{2}{3}\ k\pi\end{align*}}$　　（k：整数）
　　　のときであり、0＜t＜$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\ \frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{5}{6}\ \pi\ }\end{align*}}$
　　　である。

　　　Rの座標を(X，Y)とすると、PRの中点が(-1，0)になるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{X+\cos t}{2}\ ,\ \frac{Y+\sin t}{2}\right)=(-1\ ,\ 0)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ R(X\ ,\ Y)=\underline{\ \left(-2-\cos t\ ,\ -\sin t\right)\ }\end{align*}}$ ．
　　　これより、△OPRの面積S₂は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\frac{1}{2}\left|\cos t\left(-\sin t\right)-\sin t\cdot\left(-2-\cos t\right)\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left|\ \sin t\ \right|\ }\end{align*}}$ ．
　　　以上より、S₁=S₂となるのは、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left|\ \sin 3t\ \right|=\left|\ \sin t\ \right|\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\ 3\sin t-4\sin^3 t\ \right|^2=\left|\ 2\sin t\ \right|^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 16\sin^6t-24\sin^4 t+5\sin^2t=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^2t\left(4\sin^2t-1\right)\left(4\sin^2 t-5\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^2t=0\ ,\ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{5}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin t=0\ ,\ \frac{1}{2}\ ,\ \frac{\sqrt5}{2}\end{align*}}$ ．
　　　0＜t＜$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\underline{\ \frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5}{6}\ \pi\ }\end{align*}}$ ．

　　うまく誘導にのっていきましょう。　　

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2011立命館大　理系（2月7日）　数学２

第2問

　　　シ　、　セ　には適当な語句を入れなさい。また、必要なら
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ x\log x=0\end{align*}}$
　　を使いなさい。

　(1) (xlogx)’=　コ　、$\small\sf{\begin{align*} \sf \int \log x\ dx\end{align*}}$ =　サ　 +C である。
　　　（ただし、Cは積分定数とする。）

　(2) x＞0のとき
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf 　f\ (x)=\int_x^{x+\frac{1}{2}}\left|\ \log t\ \right|\ dt\end{align*}}$
　　　とする。
　　　 0＜x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、f(x)は単調に　シ　し、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)\end{align*}}$ =　ス　
　　　である。x≧1のとき、f(x)は単調に　セ　し、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow \infty}\ \frac{f\ (x)}{\log x}\end{align*}}$ =　ソ　
　　　であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ＜x＜1のときは、f’(x)=　タ　である。
　　　 x＞0でf(x)が最小になるのは、x=　チ　のときである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　コ logx+1　　　　サ xlogx－x　　　　シ減少　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\log 2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　セ増加　　　　　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x\left(x+\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$　　　　チ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-1+\sqrt{17}}{4}\end{align*}}$　　　　

【解説】

　(1)
　　　積の微分法を用いると、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x\log x\right)'=1\cdot\log x+x\cdot\frac{1}{x}=\underline{\ \log x+1\ }\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\left(x\log x\right)'-1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x\log x\right)'-(x)'\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x\log x-x\right)'\end{align*}}$ ．
　　　両辺をxで積分すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\log x\ dx=\underline{\ x\log x-x+C\ \ }\end{align*}}$ ．　　（C：積分定数）

　(2)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ 0\lt x\leqq \frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt x\leqq t\leqq x+\frac{1}{2}\leqq 1\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　f\ (x)=\int_x^{x+\frac{1}{2}}\left(- \log t\ \right)\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[t\log t-t\right]_x^{x+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(x+\frac{1}{2}\right)+x\log x+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　となり、xでこれを微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\log\left(x+\frac{1}{2}\right)-\left(x+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{2}}+\log x+x\cdot\frac{1}{x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log x-\log\left(x+\frac{1}{2}\right)<0\end{align*}}$ ．
　　　　よって、f(x)は単調に減少する。
　　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow +0}\left\{-\left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(x+\frac{1}{2}\right)+x\log x+\frac{1}{2}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\log \frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\log 2+\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ 1\leqq x\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq x\leqq t\leqq x+\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　f\ (x)=\int_x^{x+\frac{1}{2}} \log t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(x+\frac{1}{2}\right)-x\log x-\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　となり、xでこれを微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\log\left(x+\frac{1}{2}\right)-\log x>0\end{align*}}$ ．
　　　　よって、f(x)は単調に増加する。
　　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow \infty}\ \frac{f\ (x)}{\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left\{\left(x+\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{\log \left(x+\frac{1}{2}\right)}{\log x}-x-\frac{1}{2\log x}\right\}\end{align*}}$
　　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log \left(x+\frac{1}{2}\right)}{\log x}=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log x\left(1+\frac{1}{2x}\right)}{\log x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log x+\log\left(1+\frac{1}{2x}\right)}{\log x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\log\left(1+\frac{1}{2x}\right)}{\log x}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow \infty}\ \frac{f\ (x)}{\log x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left\{\left(x+\frac{1}{2}\right)\cdot 1-x-\frac{1}{2\log x}\right\}=\underline{\ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ \frac{1}{2}\lt x<1\ \ \Leftrightarrow\ \ x<1\lt x+\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　f\ (x)=\int_x^1\left(-\log x\right)\ dt+\int_1^{x+\frac{1}{2}} \log t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left[t\log t-t\right]_x^1+\left[t\log t-t\right]_1^{x+\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(x+\frac{1}{2}\right)+x\log x-2x+\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　　となり、xでこれを微分すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\log\left(x+\frac{1}{2}\right)+1+\log x+1-2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \log x\left(x+\frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　　これが0になるとき、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\left(x+\frac{1}{2}\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2x^2+x-2=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\ \ (>0)\end{align*}}$

　　　以上より、f(x)の増減は次のようになる。
　　　　

　　　よって、f(x)が最小になるときのxの値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\ \ }\end{align*}}$
　　　である。

　　上から順に丁寧に計算していきましょう。　　

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2018/12/02(日) 02:06:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2011(2/7)

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2011立命館大　理系（2月7日）　数学３

第3問

　　$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 3&\sf a\\ \sf 1&\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ とし、A³－12Aは単位行列Eの実数倍であるとする。
　　（注：　　　には全て、aを含まない、数値またはnの式を入れなさい。）

　(1) 　　　　A²=　ツ　 A+　テ　 E
　　　であり、a=　ト　である。Aは逆行列を持ち、
　　　　　　　A^-1=　ナ　 A+　ニ　 E
　　　である。

　(2) nを自然数とする。Aⁿ={(A－2E)+2E}ⁿを展開して
　　　　　　　Aⁿ=　ヌ　 A+　ネ　 E
　　　を得る。また、
　　　　　　　(Aⁿ)^-1=　ノ　 A+　ハ　 E
　　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ツ 4　　　　テ－4　　　　ト－1　　　　ナ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}\end{align*}}$　　　　ニ 1　　　　

　　ヌ 2^n-1n　　　　ネ 2ⁿ(1－n)　　　　ノ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{n}{2^{n+1}}\end{align*}}$　　　　ハ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n+1}{2^n}\end{align*}}$　　　　

【解説】

　(1)
　　　ハミルトン・ケーリーの定理より、
　　　　　　　　　　　A²－4A+(3－a)E=O　
　　　　　　　　　⇔　A²=4A+(a－3)E　････①
　　　なので、
　　　　　　　　　　　A³－12A
　　　　　　　　　　=A{4A+(a－3)E}－12A
　　　　　　　　　　=4A²+(a－15)A
　　　　　　　　　　=4{4A+(a－3)E}+(a－15)A
　　　　　　　　　　=(a+1)A+4(a－3)E ．
　　　これが単位行列の実数倍となるので、実数kを用いて、
　　　　　　　　　　　(a+1)A+4(a－3)E=kE　
　　　と表せ、両辺の(2，1)成分を比較すると、
　　　　　　　　　　　(a+1)+0=0　⇔　 a=－1 ．
　　　これと①より、
　　　　　　　　　　　A²=4A－4E 　････②
　　　となり、両辺から逆行列A^－1をかけると、
　　　　　　　　　　　A=4E－4A^－1
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A^{-1}=\underline{\ -\frac{1}{4}\ A+E\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　であり、二項定理を用いると、　　　　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\left\{(A-2E)+2E\right\}^n=\sum_{k=0}^n\ _nC_k\ \left(A-2E\right)^k\left(2E\right)^{n-k}\end{align*}}$　･･･③
　　　となるが、②より
　　　　　　　　　　A²－4A+4E=(A－2E)²=O
　　　なので、k≧2のkに対して
　　　　　　　　　　_nC_k(A－2E)^k(2E)^n-k=O ．
　　　よって、③より、
　　　　　　　　Aⁿ=_nC₀(2E)ⁿ+_nC₁(A－2E)(2E)^n-1
　　　　　　　　　 =2ⁿE+2^n-1n(A－2E)
　　　　　　　　　 =2^n-1nA+2ⁿ(1－n)E
　　　　　　　　　 =2^n-1{nA+2(1－n)E}　････④
　　　両辺にA をかけると、
　　　　　　　　Aⁿ⁺¹=2^n-1{nA²+2(1－n)A}
　　　　　　　　　　　=2^n-1{n(4A－4E)+2(1－n)A}　←②より
　　　　　　　　　　　=2^n-1{2(n+1)A－4nE}　････⑤
　　　④×2(n+2)－⑤×nを計算してAの項を消去すると、
　　　　　　　　2(n+1)Aⁿ－nAⁿ⁺¹=2^n-1{4(1－n)(n+1)+4n²}E
　　　　　　⇔　Aⁿ{2(n+1)－nA}=2ⁿ⁺¹E
　　　　　　⇔　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n\left\{-\frac{n}{2^{n+1}}\ A+\frac{n+1}{2^n}\ E\right\}=E\end{align*}}$
　　　となるので、Aⁿの逆行列は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A^n\right)^{-1}=\underline{\ -\frac{n}{2^{n+1}}\ A+\frac{n+1}{2^n}\ E\ \ }\end{align*}}$ ．

　　最後の(Aⁿ)^-1が少し難しいかもしれません。
　　逆行列の定義に持ちこみましょう。　　

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2018/12/02(日) 02:07:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2011(2/7)

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2011立命館大　理系（2月7日）　数学４

第4問

　　a＞0とする。座標平面において2曲線
　　　　　　　C₁：y=x²
　　　　　　　C₂：y²=a³x
　　を考える。

　(1) 2曲線C₁とC₂は原点以外に共有点(　ヒ　，　フ　 )を持ち、
　　　 2曲線で囲まれた図形の面積は　ヘ　である。

　(2) 2曲線C₁とC₂の両方に接する直線をLとする。Lと曲線C₁は、
　　　点P(　ホ　，　マ　 )で接しており、Lと曲線C₂は
　　　点Q(　ミ　，　ム　 )で接している。

　(3) a＞0の範囲でaが変化するとき、線分PQの中点の軌跡は曲線
　　　 y=　メ　のx＜　モ　の部分である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ヒ a　　　　フ a²　　　　ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\ a^3\end{align*}}$　　　　ホ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a}{2}\end{align*}}$　　　　マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{4}\end{align*}}$　　　　

　　ミ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{4}\end{align*}}$　　　　ム $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a^2}{2}\end{align*}}$　　　　メ－8x²　　　　モ 0　　　　

【解説】

　(1)
　　　2式を連立させると、
　　　　　　　　　　(x²)²=a³x
　　　　　　　　⇔　x⁴－a³x=x(x³－a³)=0
　　　x、aは実数なので、
　　　　　　　　　　x=0、a ．
　　　よって、2曲線の原点以外の交点は
　　　　　　　　　　(a，a²)
　　　である。
　　　また、C₂の式は、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt{a^3\ x}\end{align*}}$
　　　と変形でき、
　　　2曲線の位置関係は右図のようになるので、
　　　囲まれる図形の面積Sは、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^a\left(\sqrt{a^3\ x}-x^2\right)\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{2}{3}\sqrt{a^3}\ x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}\ x^3\right]_0^a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\ a^3-\frac{1}{3}\ a^3\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\ a^3\ }\end{align*}}$
　　　となる。

　(2)
　　　共通接線Lは座標軸とは平行にならないので、
　　　y=sx+t （s≠0）と表すことができる。
　　　LとC₁の2式を連立させると、
　　　　　　　　x²=sx+t　⇔　x²－sx－t=0　････①
　　　となり、判別式を考えると、
　　　　　　　　D₁=s²+4t=0　････②

　　　一方、LとC₂の2式を連立させると、
　　　　　　　　(sx+t)²=a³x
　　　　　　⇔　s²x²+(2st－a³)x+t²=0　････③
　　　となり、S≠0より判別式を考えると、
　　　　　　　　D₂=(2st－a³)²－4s²t²=0
　　　　　　⇔　(2st－a³)²=(2st)²
　　　　　　⇔　2st－a³=±2st
　　　ここで、a≠0なので、
　　　　　　　　4st=a³　････④
　　　②を④に代入すると、
　　　　　　－s³=a³　⇔　s=－a　（∵ s、aは実数）
　　　これを②に代入すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$ .

　　　よって、①の方程式は
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+ax+\frac{a^2}{4}=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{a}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、接点Pの座標は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(-\frac{a}{2}\ ,\ \frac{a^2}{4}\right)\ }\end{align*}}$ ．

　　　また、③の方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2x^2+\left(\frac{a^3}{2}-a^3\right)x+\frac{a^4}{16}=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-\frac{a}{2}x+\frac{a^2}{16}=\left(x-\frac{a}{4}\right)^2=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a}{4}\end{align*}}$
　　　となり、これを
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:y=-ax-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
　　　に代入すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{a^2}{2}\end{align*}}$ ．
　　　よって、接点Qの座標は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{a}{4}\ ,\ -\frac{a^2}{2}\right)\ }\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　PQの中点をM(X，Y)とおくと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(X\ ,\ Y\right)=\left(\frac{-\frac{a}{2}+\frac{a}{4}}{2}\ ,\ \frac{\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{2}}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X=-\frac{a}{8}\ \ ,\ \ Y=-\frac{a^2}{8}\end{align*}}$ ．
　　　これらより　aを消去すると、
　　　　　　　　　　Y=－8X²
　　　となり、a＞0より、X＜0である。
　　　よって、点M(X，Y)は、曲線y=－8x²のx＞0の
　　　部分を動くことになる。

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2018/12/02(日) 02:08:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2011(2/7)

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プロフィール

Author:シケタキオア
　
橿原市の個別指導塾
青木ゼミの塾長ブログです。
毎日、大学入試数学を解いて
いきますので、どうぞよろしく
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