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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011立命館大 理系(2月7日) 数学1



第1問

   座標平面において、原点Oを中心とする半径1の円周上を動く2点
  P、Qがある。時刻tにおけるPの座標は、(cost,sint)である。
  Qはt=0においてPと同じ位置にある。また、QはPの2倍の速さで
  Pと逆向きに動いている。
  時刻tにおけるQの座標は、( ア  イ  )であり、0<t<2$\small\sf{\pi}$
  の範囲でPとQが同じ位置にあるのは、t= ウ  のときである。
  S1を△OPQの面積とする。ただし、O、P、Qが一直線上にあるとき
  はS1=0と定める。S1をtで表すと エ であり 、これが0<t<$\small\sf{\pi}$
  の範囲で最大になるのは、t= オ  のときである。
   点(-1,0)に関してPと対称な点をRとする。時刻tにおけるRの
  座標は、( カ  キ  )である。S2を△OPRの面積とする。
  ここでも、O、P、Rが一直線上にあるときはS2=0と定める。S2
  tで表すと、 ク  であり、0<t<$\small\sf{\pi}$ の範囲で、S1=S2であるの
  は、t= ケ  のときである。




2011立命館大 理系(2月7日) 数学2



第2問

   シ  セ  には適当な語句を入れなさい。また、必要なら
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ x\log x=0\end{align*}}$
  を使いなさい。

 (1) (xlogx)’= コ  、$\small\sf{\begin{align*} \sf \int \log x\ dx\end{align*}}$ = サ  +C である。
    (ただし、Cは積分定数とする。)

 (2) x>0のとき
       $\small\sf{\begin{align*} \sf  f\ (x)=\int_x^{x+\frac{1}{2}}\left|\ \log t\ \right|\ dt\end{align*}}$
    とする。
    0<x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、f(x)は単調に シ  し、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)\end{align*}}$ = ス 
    である。x≧1のとき、f(x)は単調に セ  し、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow \infty}\ \frac{f\ (x)}{\log x}\end{align*}}$ = ソ 
    であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ <x<1のときは、f’(x)= タ  である。
    x>0でf(x)が最小になるのは、x= チ  のときである。



2011立命館大 理系(2月7日) 数学3



第3問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 3&\sf a\\ \sf 1&\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ とし、A3-12Aは単位行列Eの実数倍であるとする。
  (注:    には全て、aを含まない、数値またはnの式を入れなさい。)

 (1)     A2= ツ  A+ テ  E
    であり、a= ト  である。Aは逆行列を持ち、
       A-1= ナ  A+ ニ  E
    である。

 (2) nを自然数とする。An={(A-2E)+2E}nを展開して
       An= ヌ  A+ ネ  E
    を得る。また、
       (An)-1= ノ  A+ ハ  E
    である。




2011立命館大 理系(2月7日) 数学4



第4問

  a>0とする。座標平面において2曲線
       C1:y=x2
       C2:y2=a3x
  を考える。

 (1) 2曲線C1とC2は原点以外に共有点( ヒ  フ  )を持ち、
    2曲線で囲まれた図形の面積は ヘ  である。

 (2) 2曲線C1とC2の両方に接する直線をLとする。Lと曲線C1は、
    点P( ホ  マ  )で接しており、Lと曲線C2
    点Q( ミ  ム  )で接している。

 (3) a>0の範囲でaが変化するとき、線分PQの中点の軌跡は曲線
    y= メ  のx< モ  の部分である。