青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2011(2/2)

2011立命館大　理系（2月2日）　数学１

第1問

　　a＞0とする。行列
　　　　　　　　
　　は、A²=Eを満たしている。ただし、Eは2次の単位行列である。
　　　座標平面において、Pを、直線y=ｍx上にある、原点と異なる
　　1点とする。行列Aの表す1次変換により、Pが直線y=ｍx上の
　　点に移されるのは、ｍ=　ウ　またはｍ=　エ　のときである。
　　　直線y=　ウ　 xと直線y=　エ　 xが直交するのは、
　　a=　オ　のときであり、このとき、行列Aの表す1次変換は、
　　直線y=　カ　 xに関する対称移動である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4a^2-1}{a}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2a\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{a}\end{align*}}$　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a+1}{a}\end{align*}}$

　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt5}\end{align*}}$　　　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-\sqrt5\end{align*}}$　

【解説】

　(1)
　　　行列Aの成分を
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 2a&\sf -a\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\sf \end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=\begin{pmatrix}\sf 2a &\sf -a\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 2a&\sf -a\\ \sf c &\sf d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 4a^2-ac &\sf -a(2a+d)\\ \sf c(2a+d)&\sf d^2-ac\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となり、これがEと等しいので、成分を比較すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4a^2-ac=d^2-ac=1\end{align*}}$　････①
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a(2a+d)=c(2a+d)=0\end{align*}}$．　････②
　　　①より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\frac{4a^2-1}{a}\end{align*}}$
　　　であり、a≠0なので、②より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a+d=0\ \ \Leftrightarrow\ \ d=-2a\end{align*}}$ ．
　　　以上より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 2a&\sf -a \\ \sf \frac{4a^2-1}{a} & \sf -2a \end{pmatrix}}\end{align*}}$ ．

　　　直線ｍx上の点P(ｔ，ｍｔ)（ｔ≠0）のAによる像は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 2a&\sf -a \\ \sf \frac{4a^2-1}{a} & \sf -2a \end{pmatrix}\binom{t}{mt}=\binom{(2-m)at}{\left(\frac{4a^2-1}{a}-2ma\right)t}\end{align*}}$
　　　となり、この点もy=ｍx上にあるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (2-m)mat=\left(\frac{4a^2-1}{a}-2ma\right)t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2-m)ma^2=4a^2-1-2ma\ \ \ (\because t\ne 0)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2m^2-4a^2m^2+4a^2-1=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{am-(2a-1)\right\}\left\{am-(2a+1)\right\}=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ m=\frac{2a-1}{a}\ \ ,\ \ \frac{2a+1}{a}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　2直線が直交するためには、傾きの積が－1になればよいので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a-1}{a}\cdot\frac{2a+1}{a}=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a^2-1=-a^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{1}{\sqrt5}\ \ (>0)\ \ }\end{align*}}$　
　　　であり、このとき行列Aは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -2 \\ \sf -1& \sf -2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　
　　　xy平面上の点Q(1，0)がAによって移される点をQ’とすると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt5}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf -2 \\ \sf -1& \sf -2 \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\frac{1}{\sqrt5}\binom{2}{-1}\end{align*}}$
　　　であり、線分QQ’の中点をＭとすると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ \left(\frac{2+\sqrt5}{2\sqrt5}\ ,\ \frac{-1}{2\sqrt5}\right)\end{align*}}$ ．
　　　このとき、直線ＯＭの方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2\sqrt5}\ x=\left(2-\sqrt5\right)\ x\end{align*}}$ ．
　　　ここで、線分QQ’の傾きは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-\frac{1}{\sqrt5}-0}{\frac{2}{\sqrt5}-1}=-\frac{1}{2-\sqrt5}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2-\sqrt5}\cdot\left(2-\sqrt5\right)=-1\end{align*}}$
　　　となるので、ＯＭとQQ’は直交する。
　　　よって、QとQ’は直線
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\left(2-\sqrt5\right)\ x\ \ }\end{align*}}$
　　　について対称となるので、
　　　行列Aはこの直線に関する対称移動を表していることになる。

　　最後がかなりインチキですが・・・・
　　まぁ穴埋めなので、こんなもんでしょう。　　

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2011立命館大　理系（2月2日）　数学２

第2問

　　ｎを2以上の自然数とし、x＞0で定義された関数
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{n-1}\left\{\left(\log x\right)^n-\log x^n\right\}\end{align*}}$
　　を考える。

　(1) ｎの値にかかわらず、x=　キ　は方程式ｆ(x)=0の解である。
　　　方程式ｆ(x)=0のその他の解をｎを用いて表すと、ｎが偶数のと
　　　きは、x=ｅ^{^ク}であり、ｎが奇数のときはx=ｅ^{^ク}と
　　　 x=ｅ^{^ケ}である。関数ｆ(x)はx=ｅ^{^コ}で最小値　サ　を
　　　とる。また、とくにｎが奇数ならば、x=　シ　で極大値　ス　
　　　をとる。

　(2) ｎを奇数とする。座標平面において、曲線y=ｆ(x)の、
　　　点(ｅ^{^ク}，0)における接線と、点(ｅ^{^ケ}，0)における接線の
　　　交点は(　セ　，　ソ　 )であり、点(ｅ^{^ク}，0)における法線と
　　　点(ｅ^{^ケ}，0)における法線の交点のy座標は　タ　である。

解答はこちら↓

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【解答】

　キ 1　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{\sqrt[\sf n-1]{\sf n}}\end{align*}}$　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-\sqrt[\sf n-1]{\sf n}}\end{align*}}$　　　　コｅ　　　　サ－1

　シｅ^-1　　　　ス 1　　　　セ 0　　　　ソ－ｎ　　　　タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{n}\end{align*}}$　

【解説】

　(1)
　　　logxⁿ=ｎ(logx)なので、
　　　　　　　ｆ(x)=0
　　　　　⇔　(logx)ⁿ－ｎ(logx)=0
　　　　　⇔　(logx){(logx)^n-1－ｎ}=0
　　　　　⇔　logx=0 ････①　または　(logx)^n-1=ｎ････②
　　　①より、x=1はｎの値によらずｆ(x)=0の解となる。
　　　(ⅰ) ｎが偶数のとき
　　　　　ｎ－1は奇数となるので、②より両辺のｎ－1乗根をとると、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\sqrt[\sf n-1]{\sf n}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=e^{\sqrt[\sf n-1]{\sf n}}\ \ }\end{align*}}$
　　　(ⅱ) ｎが奇数のとき
　　　　　ｎ－1は偶数となるので、②より両辺のｎ－1乗根をとると、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\pm\sqrt[\sf n-1]{\sf n}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=e^{\sqrt[\sf n-1]{\sf n}}\ \ ,\ \ e^{-\sqrt[\sf n-1]{\sf n}}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　また、ｆ(x)の導関数は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{n-1}\left\{n\ \left(\log x\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{x}-\frac{n}{x}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{n\ \left\{(\log x)^{n-1}-1\right\}}{(n-1)\ x}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　(ⅰ) ｎが偶数のとき、
　　　　　　　ｆ’(x)=0　⇔　logx=1　⇔　x=ｅ
　　　　　　
　　　(ⅱ) ｎが奇数のとき、
　　　　　　　ｆ’(x)=0　⇔　logx=±1　⇔　x=ｅ，ｅ^-1
　　　　　　

　　　以上より、ｎの偶奇によらず、x=ｅで極小値－1をとる。
　　　ｎが奇数のときは、x=ｅ^-1で極大値1をとる。

　(2)
　　　ｎが奇数のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=e^{\sqrt[\sf n-1]{\sf n}}\ \ ,\ \ q=e^{-\sqrt[\sf n-1]{\sf n}}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\log p\right)^{n-1}=\left(\log q\right)^{n-1}=n\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(p)=\frac{n(n-1)}{(n-1)p}=\frac{n}{p}\ \ ,\ \ f\ '(q)=\frac{n}{q}\end{align*}}$ ．
　　　よって、y=ｆ(x)の点(p，0)、(q，0)における接線はそれぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{n}{p}\ (x-p)\ \ ,\ \ y=\frac{n}{q}\ (x-q)\end{align*}}$
　　　となり、これら2式を連立させると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{p}\ (x-p)=\frac{n}{q}\ (x-q)\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{n}{p}-\frac{n}{q}\right)\ x=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\end{align*}}$ ．
　　　このとき、y=－ｎとなるので、
　　　2接線の交点の座標は (0，－ｎ) である。

　　　一方、y=ｆ(x)の点(p，0)、(q，0)における法線はそれぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{p}{n}\ (x-p)\ \ ,\ \ \ y=-\frac{q}{n}\ (x-q)\end{align*}}$
　　　となり、これら2式を連立させると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{p}{n}\ (x-p)=-\frac{q}{n}\ (x-q)\ \ \Leftrightarrow\ \ -\left(p-q\right)\ x=-p^2+q^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=p+q\end{align*}}$ ．
　　　このときのyは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{pq}{n}=-\frac{e^{\sqrt[\sf n-1]{\sf n}}\cdot e^{-\sqrt[\sf n-1]{\sf n}}}{n}=\underline{\ -\frac{1}{n}\ \ }\end{align*}}$
　　　となる。

　　正数の奇数乗根は1つしかありませんが、偶数乗根は2つあることに注意。
　　まぁ、本問は穴埋めなので大丈夫でしょうが。　　

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2018/12/02(日) 02:02:00|

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2011立命館大　理系（2月2日）　数学３

第3問

　　a＞0とする。座標平面において、点P(1，3)から楕円
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf ax^2+\frac{y^2}{2a}=1\end{align*}}$
　　に引いた2本の接線の接点をQ、Rとする。
　　　Q、Rはともに、直線　チ　 x+　ツ　 y=1の上にある。
　　線分QRの中点をＭとすると、Ｍの座標は(　テ　，　ト　 )であり、
　　Ｍは直線y=　ナ　 x上にある。線分PQの長さと線分PRの長さが
　　等しくなるのはa=　ニ　のときである。
　　　Ｏを原点とする。△PQRの面積S₁と△ＯQRの面積S₂の比 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$
　　をaを用いて表すと、
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$ =　ヌ　
　　である。a＞0の範囲でaを変化させると、比 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$ はa=　ネ　の
　　とき最小値　ノ　をとる。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　チ a　　　　ツ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2a}\end{align*}}$　　　　テ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a}{2a^2+9}\end{align*}}$　　　　ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6a}{2a^2+9}\end{align*}}$　　　　ナ 3

　ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$　　　　ヌ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2a^2-2a+9}{2a}\end{align*}}$　　　　ネ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sqrt2-1\end{align*}}$　　　　ノ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{\sqrt2}\end{align*}}$　

【解説】

　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax^2+\frac{y^2}{2a}=1\end{align*}}$　････①
　(1)
　　　Q(x₁，y₁)、R(x₂，y₂)とおくと、Q、Rにおける接線はそれぞれ、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　ax_1\ x+\frac{y_1\ y}{2a}=1\ \ ,\ \ ax_2\ x+\frac{y_2\ y}{2a}=1\end{align*}}$
　　　となり、これらがP(1，3)を通るので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 　ax_1+\frac{3y_1}{2a}=1\ \ ,\ \ ax_2+\frac{3y_2}{2a}=1\end{align*}}$ ．
　　　これら2式は、
　　　2点Q(x₁，y₁)、R(x₂，y₂)が直線
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ ax+\frac{3y}{2a}=1\ \ }\end{align*}}$　････②
　　　上にあることを表している。
　　　②より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2a}{3}\left(-ax+1\right)\end{align*}}$　････②’
　　　これと①を連立させると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ax^2+\frac{1}{2a}\left(\frac{2a}{3}\right)^2\left(-ax+1\right)^2=1\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2a^3+9a)\ x^2-4a^2+2a-9=0\end{align*}}$
　　　となり、これの2解がx₁、x₂なので、
　　　解と係数の関係より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1+x_2=\frac{4a^2}{2a^3+9a}=\frac{4a}{2a^2+9}\end{align*}}$　････③
　　　また、これと②’より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1+y_2=\frac{2a}{3}\left(-ax_1+1\right)+\frac{2a}{3}\left(-ax_2+1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2a}{3}\left\{-a(x_1+x_2)+2\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2a}{3}\left\{-a\cdot\frac{4a}{2a^2+9}+2\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{12a}{2a^2+9}\end{align*}}$ ．････④
　　　線分QRの中点をＭ(X，Y)とおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ (X\ ,\ Y)=\left(\frac{x_1+x_2}{2}\ ,\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(\frac{2a}{2a^2+9}\ ,\ \frac{6a}{2a^2+9}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　これからaを消去すると、Y=3Xとなるので、
　　　Ｍは直線 y=3x 上にある。

　　　また、PQ=PRより
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x_1-1)^2+(y_1-3)^2=(x_2-1)^2+(y_2-3)^2\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x_1-1)^2-(x_2-1)^2=-(y_1-3)^2+(y_2-3)^2\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x_1-x_2)(x_1+x_2-2)=-(y_1-y_2)(y_1+y_2-6)\end{align*}}$
　　　であり、②’より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1-y_2=\frac{2a}{3}\left(-ax_1+1\right)-\frac{2a}{3}\left(-ax_2+1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2a^2}{3}\left(x_1-x_2\right)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x_1-x_2)(x_1+x_2-2)=\frac{2a^2}{3}\left(x_1-x_2\right)(y_1+y_2-6)\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_1+x_2-2=\frac{2a^2}{3}(y_1+y_2-6)\ \ \ (\because x_1 \ne x_2)\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{4a}{2a^2+9}-2=\frac{2a^2}{3}\left(\frac{12a}{2a^2+9}-6\right)\end{align*}}$　←③、④より
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4a^4-4a^3+16a^2+2a-9=0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2a^2-1)(2a^2-2a+9)=0\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{1}{\sqrt2}\ \ (>0)\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　P、Ｏから直線PQに下ろした垂線の足をH₁、H₂とすると、
　　　　　　　②　⇔　2a²x+3y－2a=0
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH_1=\frac{\left|2a^2+3\cdot 3-2a\right|}{\sqrt{(2a^2)^2+3^2}}=\frac{2a^2-2a+9}{\sqrt{4a^4+9}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\because\ \ 2a^2-2a+9=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{17}{2}>0\ \ \right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH_2=\frac{\left|-2a\right|}{\sqrt{(2a^2)^2+3^2}}=\frac{2a}{\sqrt{4a^4+9}}\end{align*}}$ ．
　　　2つの三角形PQRとＯQRの底辺QRは共通なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}=\frac{OH_1}{OH_2}=\underline{\ \frac{2a^2-2a+9}{2a}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　この式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}=a+\frac{9}{2a}-1\end{align*}}$
　　　と変形できる。
　　　a＞0より、相加・相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\frac{9}{2a}-1\geqq 2\sqrt{a\cdot\frac{9}{2a}}-1=3\sqrt2-1\end{align*}}$ 　････⑤
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{S_1}{S_2}_{min}=3\sqrt2-1\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　⑤の等号が成立するのは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{9}{2a}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{3}{\sqrt2}\ \ }\end{align*}}$
　　　のときである。

　　やっていることはそんなに難しくありませんが、計算が面倒ですね＾＾；；
　　　　点Pも直線ＯＭ：y=3x上にあることに気づけば、かなり楽になります。
　　　　　　　　PQ=PR かつ　ＭQ=ＭR
　　　　　　⇔　PＭ⊥QR
　　　　　　⇔　ＯＭ⊥QR
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ 3\cdot\left(-\frac{2a^2}{3}\right)=-1}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{1}{\sqrt2}\ \ (>0)}\end{align*}}$ ．
　　また、△PＭH₁∽△ＯＭH₂となるので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{S_1}{S_2}=\frac{OH_1}{OH_2}=\frac{PM}{OM}\end{align*}}$
　　であり、x座標で考えると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{S_1}{S_2}=\frac{1-\frac{2a}{2a^2+9}}{\frac{2a}{2a^2+9}}=\frac{2a^2-2a+9}{2a}\end{align*}}$
　　

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2011立命館大　理系（2月2日）　数学４

第4問

　　ｎを2以上の自然数とする。1から9までの番号を1つずつ書いた
　　9個の玉が袋の中にある。袋の中から1個の玉を取り出し、その
　　数字を記録してから元に戻すという操作をｎ回繰り返す。

　(1) 記録された数の積Xが偶数である確率は　ハ　である。Xが
　　　 2でも5でも割り切れない確率は　ヒ　であり、Xが10で割り
　　　切れる確率は　フ　である。

　(2) 記録され得る数字の並び方のうち、和が9ｎ－2になるのは、
　　　　ヘ　通りある。
　　　　ｎ=3のとき、記録され得る数字の並び方和が25以上になる
　　　のは　ホ　通りであり、記録された数字の和が24以下である
　　　確率は　マ　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　ハ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9^n-5^n}{9^n}\end{align*}}$　　　　ヒ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4^n}{9^n}\end{align*}}$　　　　フ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9^n+4^n-5^n-8^n}{9^n}\end{align*}}$　　　　ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n(n+1)}{2}\end{align*}}$

　ホ 10　　　　　　マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{719}{729}\end{align*}}$　

【解説】
　(1)
　　　玉の取り出し方の総数は、9ⁿ通り。
　　　積Xが奇数になるためには、ｎ回すべて奇数（1，3，5，7，9）
　　　であればよいので、5ⁿ通りある。
　　　よって、偶数になる場合の数は、9ⁿ－5ⁿ通りなので、
　　　求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{9^n-5^n}{9^n}\ \ }\end{align*}}$ である。

　　　Xが2でも5でも割り切れないためには、1，3，7，9の玉のみが
　　　ｎ回出ればよいので、4ⁿ通り。････①
　　　これより、求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{4^n}{9^n}\ \ }\end{align*}}$ である。

　　　Xが5の倍数にならないためには、ｎ回とも5以外であればよいので、
　　　8ⁿ通りの場合がある。
　　　よって、Xが5の倍数になる場合の数は9ⁿ－8ⁿ通り。
　　　また、①より、Xが2または5で割り切れるのは、9ⁿ－4ⁿ通り。
　　　Xが10の倍数になるためには、2でも5で割り切れればよいので、
　　　　　　(9ⁿ－5ⁿ)+(9ⁿ－8ⁿ)－(9ⁿ－4ⁿ)
　　　　　=9ⁿ+4ⁿ－5ⁿ－8ⁿ
　　　通りの場合がある。よって、Xが1の倍数になる確率は、
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{9^n+4^n-5^n-8^n}{9^n}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　すべての玉が9のとき、和は9ｎになるので、
　　　和が9ｎ－2となるのは、次の2通りの場合が考えられる。
　　　　　(ⅰ) 9がｎ－1回、7が1回････_nC₁通り
　　　　　(ⅱ) 9がｎ－2回、8が2回････_nC₂通り
　　　よって、全部で　　　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _nC_1+_nC_2=n+\frac{n(n-1)}{2}=\underline{\ \frac{n(n+1)}{2}\ \ }\end{align*}}$ 通り。････②

　　　ｎ=3のとき、和が25になるのは、②より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\times 4}{2}=6\end{align*}}$ 通り。
　　　和が26になるためには、9が2回、8が1回なので、3通り。
　　　和が27になるためには、9が3回出ればよいので、1通り。
　　　以上を合計すると、10通りある。
　　　
　　　ｎ=3の場合、玉の取り出し方の総数は 9³=729通りある
　　　ので、和が24以下になるのは、729－10=719通り。
　　　よって、求める確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{719}{729}\ \ }\end{align*}}$ である。

　　(1)の最後はベン図をかくと分かりやすいと思います。
　　　　　　　ｎ(A∩B)=ｎ(A)+ｎ(B)－ｎ(A∪B)
　　という関係式を使っています。

　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/12/02(日) 02:04:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2011(2/2)

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