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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011立命館大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  a>0とする。行列
        図01
  は、A2=Eを満たしている。ただし、Eは2次の単位行列である。
   座標平面において、Pを、直線y=mx上にある、原点と異なる
  1点とする。行列Aの表す1次変換により、Pが直線y=mx上の
  点に移されるのは、m= ウ  またはm= エ  のときである。
   直線y= ウ  xと直線y= エ  xが直交するのは、
  a= オ  のときであり、このとき、行列Aの表す1次変換は、
  直線y= カ  xに関する対称移動である。




2011立命館大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  nを2以上の自然数とし、x>0で定義された関数
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{n-1}\left\{\left(\log x\right)^n-\log x^n\right\}\end{align*}}$
  を考える。

 (1) nの値にかかわらず、x= キ  は方程式f(x)=0の解である。
    方程式f(x)=0のその他の解をnを用いて表すと、nが偶数のと
    きは、x=e ク  であり、nが奇数のときはx=e ク 
    x=e ケ  である。関数f(x)はx=e コ  で最小値 サ 
    とる。また、とくにnが奇数ならば、x= シ  で極大値 ス 
    をとる。

 (2) nを奇数とする。座標平面において、曲線y=f(x)の、
    点(e ク  ,0)における接線と、点(e ケ  ,0)における接線の
    交点は( セ  ソ  )であり、点(e ク  ,0)における法線と
    点(e ケ  ,0)における法線の交点のy座標は タ  である。


2011立命館大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  a>0とする。座標平面において、点P(1,3)から楕円
       $\small\sf{\begin{align*} \sf ax^2+\frac{y^2}{2a}=1\end{align*}}$
  に引いた2本の接線の接点をQ、Rとする。
   Q、Rはともに、直線 チ  x+ ツ  y=1の上にある。
  線分QRの中点をMとすると、Mの座標は( テ  ト  )であり、
  Mは直線y= ナ  x上にある。線分PQの長さと線分PRの長さが
  等しくなるのはa= ニ  のときである。
   Oを原点とする。△PQRの面積S1と△OQRの面積S2の比 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$
  をaを用いて表すと、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$ = ヌ 
  である。a>0の範囲でaを変化させると、比 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$ はa= ネ 
  とき最小値 ノ  をとる。



2011立命館大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  nを2以上の自然数とする。1から9までの番号を1つずつ書いた
  9個の玉が袋の中にある。袋の中から1個の玉を取り出し、その
  数字を記録してから元に戻すという操作をn回繰り返す。

 (1) 記録された数の積Xが偶数である確率は ハ  である。Xが
    2でも5でも割り切れない確率は ヒ  であり、Xが10で割り
    切れる確率は フ  である。

 (2) 記録され得る数字の並び方のうち、和が9n-2になるのは、
     ヘ  通りある。
     n=3のとき、記録され得る数字の並び方和が25以上になる
    のは ホ  通りであり、記録された数字の和が24以下である
    確率は マ  である。