第1問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ
記号のついた の中に記入せよ。
(1) 条件
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=-\frac{5}{6}\ \ ,\ \ 6a_{n+1}-3a_n+4=0\end{align*}}$
によって定められる数列{an}について考える。この漸化式は
an+1+ ア = イ (an+ ア )と変形できる。したがって、
一般項はan= ウ である。
(2) 方程式
(x+1)(x－2)(x+3)(x－4)=－24
について、X=x2－xとおくと、Xの2次方程式 エ =0を得る。
その解はX= オ 、 カ （ただし、 オ ＜ カ ）である。
元の方程式の最大の解はx= キ である。
(3) 箱A、B、C、Dがあり、それぞれに4個のボールが入っている。
各箱のボールには、1から4までの番号がつけられている。
箱A、B、C、Dからボールを1個ずつ取り出し、出た数をそれぞれ
a、b、c、dとする。a、b、c、dの最大の数が3以下である場合は
ク 通りあり、最大の数が4である場合は ケ 通りある。
また、a、b、c、dについて、a+b+c+d=15となる場合は
コ 通りある。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^n-\frac{4}{3}\end{align*}}$ エ X2－14X+48
オ 6 カ 8 キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+\sqrt{33}}{2}\end{align*}}$ ク 81 ケ 175 コ 4
【解説】
(1)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n-\frac{2}{3}\end{align*}}$
と変形でき、これから
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{2}\ t-\frac{2}{3}\end{align*}}$ ････①
を辺々引くと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-t=\frac{1}{2}\left(a_n-t\right)\end{align*}}$ ････②
となる。①を満たすｔの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-\frac{4}{3}\end{align*}}$
なので、②は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_{n+1}+\frac{4}{3}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{4}{3}\right)\ \ }\end{align*}}$
と変形できる。
これより、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_n+\frac{4}{3}\right\}\end{align*}}$ は公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+\frac{4}{3}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(a_1+\frac{4}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(-\frac{5}{6}+\frac{4}{3}\right)-\frac{4}{3}=\underline{\ \left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\frac{4}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
X=x2－xとおくと、
(x+1)(x－2)(x+3)(x－4)=－24
⇔ (x2－x－2)(x2－x－12)+24=0
⇔ (X－2)(X－12)+24=0
⇔ X2－14X+48=(X－6)(X－8)=0
⇔ X=6，8
・X=6のとき
x2－x=6 ⇔ x2－x－6=0
⇔ x=－2，3
・X=8のとき
x2－x=8 ⇔ x2－x－8=0
⇔ x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1\pm\sqrt{33}}{2}\end{align*}}$
この中で最大の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{1+\sqrt{33}}{2}\ \ }\ \ \ (\because\ \sqrt{33}>5)\end{align*}}$
(3)
ボールの取り出し方の総数は、44=256通り
・最大が3以下であるためには、
a、b、c、dがすべて3以下であればよいので、
34=81通り
・「最大値が4」の余事象は、「最大値が3以下」なので、
256－81=175通り
・a+b+c+d=15となるのは、
(a，b，c，d)=(3，4，4，4)、(4，3，4，4)
(4，4，3，4)、(4，4，4，3)
の4通り である。
これは平易ですね。
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第2問
座標空間において、原点をＯとし、点A(1，0，0)をとる。また、
xy平面上にあり、中心が原点、半径が1の円をCとするとき、
以下の問いに答えよ。
(1) Cのy≧0の部分にある点Pについて∠AＯP=ｔ（0≦ｔ≦$\small\sf{\pi}$ ）
とする。このとき、点Pの座標をｔを用いて表せ。
(2) 点Qを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=-\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を満たす点とし、点B($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ，1，1)をとる。
このとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}\cdot\overrightarrow{\sf BQ}\end{align*}}$ を求めよ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BP}|^2=ｍ-ｎ\sin(ｔ+\alpha)\end{align*}}$
となるような定数ｍ、ｎ、$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf\left(0\leqq\alpha \leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$を求めよ。
(3) ∠PBQ=$\small\sf{\theta}$ とおくとき、$\small\sf{\cos\theta}$ の最大値と最小値、およびそれらの
ときのｔの値を求めよ。
(4) $\small\sf{\cos\theta}$ が上で求めた最小値をとるとき、三角形PBQの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Pは、単位円周上の点なので、
P(cosｔ，sinｔ，0)．
(2)
(1)より、Qの座標は、Q(－cosｔ，－sinｔ，0)となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}=\left(\cos t-\sqrt3\ ,\ \sin t-1\ ,\ -1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BQ}=\left(-\cos t-\sqrt3\ ,\ -\sin t-1\ ,\ -1\right)\end{align*}}$
であり、これらの内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}\cdot\overrightarrow{\sf BQ}=\left(\cos t-\sqrt3\right)\left(-\cos t-\sqrt3\right)+\left(\sin t-1\right)\left( -\sin t-1\right)+\left(-1\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(3-\cos^2 t\right)+\left(1-\sin^2 t\right)+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4\ \ }\ \ \ \left(\because\ \sin^2 t+\cos^2 t=1\right)\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf BP}\right|^2=\left(\cos t-\sqrt3\right)^2+ \left(\sin t-1\right)^2+(-1)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\cos^2 t-2\sqrt3\cos t+3\right)+ \left(\sin^2 t-2\sin t+1\right)+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-2\left(\sin t+\sqrt3 \cos t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-4\left(\frac{1}{2}\ \sin t+\frac{\sqrt3}{2}\ \cos t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-4\left(\sin t\ \cos\frac{\pi}{3}+ \cos t\ \sin\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6-4\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ m=6\ \ ,\ \ n=4\ \ ,\ \ \alpha=\frac{\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)と同様に計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf BQ}\right|^2=\left(-\cos t-\sqrt3\right)^2+ \left(-\sin t-1\right)^2+(-1)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6+4\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
となる。
また、∠PBQ=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、内積の定義より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\sf BP}\cdot\overrightarrow{\sf BP}}{\left|\overrightarrow{\sf BP}\right|\ \left|\overrightarrow{\sf BQ}\right|}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{\sqrt{6-4\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)}\sqrt{6+4\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{\sqrt{9-4\sin^2\left(t+\frac{\pi}{3}\right)}}\end{align*}}$ ････①
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq t\leqq \pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{3}\leqq t+\frac{\pi}{3}\leqq \frac{4\pi}{3}\end{align*}}$
であり、この範囲において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt3}{2}\leqq \sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq \sin^2\left(t+\frac{\pi}{3}\right)\leqq 1\end{align*}}$ ．
よって、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ が最小になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t+\frac{\pi}{3}=\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{2\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$
のときであり、①よりその値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta_{min}=\frac{2}{\sqrt{9-0}}=\underline{\ \frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
一方、cos$\scriptsize\sf{\theta}$ が最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ t+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$
のときであり、①よりその値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta_{max}=\frac{2}{\sqrt{9-4}}=\underline{\ \frac{2}{\sqrt5}\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ t=\frac{2}{3}\pi\end{align*}}$
のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BP}|=\sqrt{6-4\sin\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BQ}|=\sqrt{6+4\sin\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{2}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt5}{3}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle BPQ=\frac{1}{2}\cdot \sqrt6\cdot\sqrt6\cdot\frac{\sqrt5}{3}=\underline{\ \sqrt5\ }\end{align*}}$
流れに乗っていけば、最後までたどり着くはずです。
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第3問
実数xに対して、x以下の最大の整数を[x]と表す。例えば、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left[1\right]=1\ \ ,\ \ \left[\frac{5}{2}\right]=2\end{align*}}$
である。正の整数ｎに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\left[\frac{2}{3}\ n\right]\end{align*}}$
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) a1からa6までの6つの項を求めよ。
(2) 正の整数ｍに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=3m-2}^{3m}a_k\end{align*}}$ を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{3n}a_k\end{align*}}$ を求めよ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{3n}ka_k\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
順に計算していくと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\left[\frac{2}{3}\right]=0\ \ ,\ \ a_1=\left[\frac{4}{3}\right]=1\ \ ,\ \ a_3=\left[2\right]=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\left[\frac{8}{3}\right]=2\ \ ,\ \ a_5=\left[\frac{10}{3}\right]=3\ \ ,\ \ a_6=\left[4\right]=4\end{align*}}$
(2)
求める和をSmとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_m=\sum_{k=3m-2}^{3m}a_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a_{3m-2}+a_{3m-1}+a_{3m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{2(3m-2)}{3}\right]+\left[\frac{2(3m-1)}{3}\right]+\left[\frac{2\cdot3m}{3}\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[2m-\frac{4}{3}\right]+\left[2m-\frac{2}{3}\right]+\left[2m\right]\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(2m-2)+(2m-1)+2m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 6m-3\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{3n}a_k=(a_1+a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6)+\ldots +(a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n})\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =S_1+S_2+\ldots S_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^nS_m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^n(6m-3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\cdot\frac{1}{2}n(n+1)-3n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 3n^2\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
和Tmを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_m=\sum_{k=3m-2}^{3m}k\ a_k\end{align*}}$
と定義すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_m=(3m-2)\ a_{3m-2}+(3m-1)\ a_{3m-1}+3m\ a_{3m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(3m-2)(2m-2)+(3m-1)(2m-1)+3m\cdot 2m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =18m^2-15m+5\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{3n}k\ a_k=(a_1+2a_2+3a_3)+(4a_4+5a_5+6a_6)+\ldots \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\left\{(3n-2)a_{3n-2}+(3n-1)a_{3n-1}+3n\ a_{3n}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =T_1+T_2+\ldots +T_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^nT_m\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^n(18m^2-15m+5)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =18\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-15\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+5n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}n(12n^2+3n+1)\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)も(2)→(3)の流れと同じようにすれば大丈夫でしょう。
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第4問
関数ｆ(x)=x-2logx（x＞0）について次の問いに答えよ。
(1) ｆ’(x)を求めよ。
(2) ｆ(x)の極値を求めよ。
(3) 曲線y=ｆ(x)上の点(p，ｆ(p))における接線の方程式を求めよ。
また、原点を通る接線Lの方程式を求めよ。
(4) ｍ≠－1に対して、不定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int x^m\log x\ dx\end{align*}}$ を求めよ。また、
曲線y=ｆ(x)、直線L、およびx軸で囲まれる部分の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
積の微分の公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-2x^{-3}\log x+x^{-2}\cdot\frac{1}{x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1-2\log x}{x^3}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)より、ｆ’(x)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-2\log x=2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt e\end{align*}}$
のときなので、x＞0の範囲で増減表を書くと下の通り。
これより、x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt e\end{align*}}$ で極大値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\sqrt e)=e^{-1}\cdot\log \sqrt e=\underline{\ \frac{1}{2e}\ \ }\end{align*}}$
をとる。
(3)
曲線y=ｆ(x)上の点(p，ｆ(p))における接線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-p^{-2}\log p=\frac{1-2\log p}{p^3}(x-p)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{1-2\log p}{p^3}\ x+\frac{3\log p-1}{p^2}\ \ }\end{align*}}$ ．
これが原点を通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\frac{3\log p}{p^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \log p=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=\sqrt[3]{\sf e}\end{align*}}$
となるので、接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1-\frac{2}{3}}{e}\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{x}{3e}\ \ }\end{align*}}$
である。
(4)
まず、部分積分法を用いると、ｍ≠－1より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x^m\log x\ dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}\ log x-\int \frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^{m+1}}{m+1}\ log x-\frac{1}{m+1}\int x^m\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{x^{m+1}}{m+1}\ log x-\frac{x^{m+1}}{(m+1)^2} +C\end{align*}}$ ←Cは積分定数
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{x^{m+1}}{(m+1)^2}\left\{(m+1)log x-1\right\} +C\ \ }\end{align*}}$ ････①
ｆ(x)=0となるのは、x=1のときなので、
曲線y=ｆ(x)の直線Lおよびx軸との位置関係は
右図のようになる。
よって、求める部分の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\sqrt[3]{\sf e}}\frac{x}{3e}\ dx-\int_1^{\sqrt[3]{\sf e}}x^{-2}\log x\ dx\end{align*}}$
で求めることができる。
ここで、①にｍ=－2を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int x^{-2}\log x\ dx=x^{-1}\left(-\log x-1\right)+C\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\left[\frac{x^2}{6e}\right]_0^{\sqrt[3]{\sf e}}-\left[x^{-1}\left(-\log x-1\right)\right]_1^{\sqrt[3]{\sf e}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6\sqrt[3]{\sf e}}-\frac{1}{\sqrt[3]{\sf e}}\left(-\frac{1}{3}-1\right)+1\cdot (0-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2\sqrt[3]{\sf e}}-1\ \ }\end{align*}}$ ．
しっかりした誘導がついているので、そのまま解いてゆくだけです！
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