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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011関西学院大 理系(全学部日程) 数学1



第1問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ
  記号のついた    の中に記入せよ。

 (1) 条件
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=-\frac{5}{6}\ \ ,\ \ 6a_{n+1}-3a_n+4=0\end{align*}}$
    によって定められる数列{an}について考える。この漸化式は
    an+1+ ア  = イ  (an+ ア  )と変形できる。したがって、
    一般項はan= ウ  である。

 (2) 方程式
         (x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=-24
    について、X=x2-xとおくと、Xの2次方程式 エ  =0を得る。
    その解はX= オ  カ  (ただし、 オ  カ  )である。
    元の方程式の最大の解はx= キ  である。

 (3) 箱A、B、C、Dがあり、それぞれに4個のボールが入っている。
    各箱のボールには、1から4までの番号がつけられている。
    箱A、B、C、Dからボールを1個ずつ取り出し、出た数をそれぞれ
    a、b、c、dとする。a、b、c、dの最大の数が3以下である場合は
     ク  通りあり、最大の数が4である場合は ケ  通りある。
    また、a、b、c、dについて、a+b+c+d=15となる場合は
     コ  通りある。



2011関西学院大 理系(全学部日程) 数学2



第2問

  座標空間において、原点をOとし、点A(1,0,0)をとる。また、
  xy平面上にあり、中心が原点、半径が1の円をCとするとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) Cのy≧0の部分にある点Pについて∠AOP=t(0≦t≦$\small\sf{\pi}$ )
    とする。このとき、点Pの座標をtを用いて表せ。

 (2) 点Qを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=-\overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を満たす点とし、点B($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ,1,1)をとる。
    このとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}\cdot\overrightarrow{\sf BQ}\end{align*}}$ を求めよ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BP}|^2=m-n\sin(t+\alpha)\end{align*}}$
    となるような定数m、n、$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\begin{align*} \sf\left(0\leqq\alpha \leqq\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$を求めよ。

 (3) ∠PBQ=$\small\sf{\theta}$ とおくとき、$\small\sf{\cos\theta}$ の最大値と最小値、およびそれらの
    ときのtの値を求めよ。

 (4) $\small\sf{\cos\theta}$ が上で求めた最小値をとるとき、三角形PBQの面積を求めよ。



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2011関西学院大 理系(全学部日程) 数学3



第3問

  実数xに対して、x以下の最大の整数を[x]と表す。例えば、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[1\right]=1\ \ ,\ \ \left[\frac{5}{2}\right]=2\end{align*}}$
  である。正の整数nに対して、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\left[\frac{2}{3}\ n\right]\end{align*}}$
  とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) a1からa6までの6つの項を求めよ。

 (2) 正の整数mに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=3m-2}^{3m}a_k\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{3n}a_k\end{align*}}$ を求めよ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{3n}ka_k\end{align*}}$ を求めよ。




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2011関西学院大 理系(全学部日程) 数学4



第4問

  関数f(x)=x-2logx(x>0)について次の問いに答えよ。

 (1) f’(x)を求めよ。

 (2) f(x)の極値を求めよ。

 (3) 曲線y=f(x)上の点(p,f(p))における接線の方程式を求めよ。
    また、原点を通る接線Lの方程式を求めよ。

 (4) m≠-1に対して、不定積分$\small\sf{\begin{align*} \sf \int x^m\log x\ dx\end{align*}}$ を求めよ。また、
    曲線y=f(x)、直線L、およびx軸で囲まれる部分の面積Sを求めよ。



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