第2問
四面体ＯABCにおいて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf OA=OB=OC=1\ \ ,\ \ \angle AOB=\angle BOC=\angle COA=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
とする。三角形ＯACの重心をG、辺BCを2：1に内分する点をP、
辺ＯCの中点をQとし、2直線ＯP、BQの交点をRとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) ＯCの長さをxとする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ をxを用いて
表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BG}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}\end{align*}}$ が垂直であるとする。このとき、xの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
まず、Gは△ＯACの重心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OO}+\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}}{3}=\underline{\ \frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
また、PおよびQの位置ベクトルはそれぞれ、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf c}}{3} \ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ．
3点Ｏ、P、Rは一直線上にあるので、実数ｋを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=k\overrightarrow{\sf OP}=\frac{k}{3}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2k}{3}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ････①
さらに、BR：QR=s：1－sとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=(1-s)\overrightarrow{\sf OB}+s\overrightarrow{\sf OQ}=(1-s)\overrightarrow{\sf b}+\frac{s}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、①、②の係数を比較すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{3}=1-s\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2k}{3}=\frac{s}{2}\end{align*}}$
となり、これらを同時に満たすｋおよびsの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{3}{5}\ \ ,\ \ s=\frac{4}{5}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}=\underline{\ \frac{1}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2=\underline{\ x^2\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=1\cdot x\cdot\cos 60^{\circ}=\underline{\ \frac{x}{2}\ \ }\end{align*}}$
(3)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|^2=|\overrightarrow{\sf b}|^2=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．････③
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BG}=\overrightarrow{\sf OG}-\overrightarrow{\sf OB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}=\overrightarrow{\sf OR}-\overrightarrow{\sf OA}=-\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
であり、これらの内積が0であればよいので、
(2)および③を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BG}\cdot\overrightarrow{\sf AR}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{3}|\overrightarrow{\sf a}|^2-\frac{1}{5}|\overrightarrow{\sf b}|^2+\frac{2}{15}|\overrightarrow{\sf c}|^2+\frac{16}{15}\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{2}{15}x^2+\frac{8}{15}-\frac{1}{6}x-\frac{1}{10}x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{15}x^2-\frac{4}{15}x=0\end{align*}}$ ．
x＞0なので、x=2 ．
図は省略していますが、大丈夫ですか？
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第3問
次の問いに答えよ。
(1) 条件1≦a≦b≦2、1≦a＜c≦2を満たす正の整数の組(a，b，c)
をすべて求めよ。
(2) 条件1≦a≦b≦3、1≦a＜c≦4を満たす正の整数の組(a，b，c)
のうち、a=1のもの、a=2のもの、a=3のものの個数をそれぞれ
求めよ。
(3) ｍを正の整数とする。条件1≦a≦b≦ｍ+1、1≦a＜c≦2ｍを満た
す正の整数の組(a，b，c)の個数Ｍ(ｍ)を求めよ。また、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ \frac{M(m)}{m^3}\end{align*}}$
を求めよ。
(4) Ｍ(ｍ)が67の倍数になるような最小の正の整数ｍを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(a，b，c)=(1，1，2) 、(1，2，2)
(2)
a=1のとき
b=1，2，3
c=2，3，4 より、(b，c)の組は3×3=9個
a=2のとき
b=2，3
c=3，4 より、(b，c)の組は2×2=4個
a=3のとき
b=3
c=4 より、(b，c)の組は1個
(3)
a=ｋ（ｋ=1，2，･･･，ｍ+1）のとき、
bの値は、
b=ｋ，ｋ+1，･･･，ｍ+1 の (ｍ－ｋ+2)通り
cの値は、
c=ｋ+1，ｋ+2，･･･，2ｍ の (2ｍ－ｋ)通り
なので、(b，c)の組の個数は、
(ｍ－ｋ+2)(2ｍ－ｋ)
=ｋ2－(3ｍ+2)ｋ+2ｍ(ｍ+2) 通り．
よって、(a，b，c)の組の総数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(m)=\sum_{k=1}^{m+1}\left\{k^2-(3m+2)k+2m(m+2)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}(m+1)(m+2)(2m+3)-\frac{1}{2}(3m+2)(m+1)(m+2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +2m(m+1)(m+2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}(m+1)(m+2)\left\{(2m+3)-3(3m+2)+12m\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}(m+1)(m+2)(5m-3)\ \ }\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\frac{M(m)}{m^3}=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{(m+1)(m+2)(5m-3)}{6m^3} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\lim_{m\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{m}\right)\left(1+\frac{2}{m}\right)\left(5-\frac{3}{m}\right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 1\cdot 5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{6}\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
67は素数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(m)=\frac{1}{6}(m+1)(m+2)(5m-3)\end{align*}}$
が67の倍数になるためには、
ｍ+1=67ｋ
ｍ+2=67ｋ
5ｍ－3=67ｋ （ｋは自然数）
のいずれかが成り立つ必要がある。
このような自然数ｍのうちで最小のものは、
5ｍ－3=67 ⇔ ｍ=14．
であり、逆にこのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(14)=\frac{1}{6}\cdot 15\cdot 16\cdot67=40\cdot 67\end{align*}}$
となるので、Ｍ(ｍ)は67の倍数である。
よって、求めるｍの値は、ｍ=14 である。
(3)が勝負の分かれ目ですが、まぁ(2)と同じように考えれば
大丈夫じゃないでしょうか。
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第4問
次の問いに答えよ。
(1) 方程式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos x=\cos\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$ の解を $\small\sf{\begin{align*} \sf \pi\leqq x\leqq\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ の範囲で求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\leqq\theta\lt\pi\end{align*}}$ を満たす定数$\small\sf{\theta}$ に対して、方程式$\small\sf{\cos x=\cos\theta}$ の
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ における2つの解を$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(3) 上の(2)で求めた解のうち大きい方を$\small\sf{\alpha}$ とするとき、定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\alpha}\left|\cos x-\cos\theta\right|\ dx\end{align*}}$
を$\small\sf{\theta}$ の式で表せ。
(4) $\small\sf{\theta}$ が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\leqq\theta\lt\pi\end{align*}}$ の範囲で変化するときのSの最小値および
そのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
一般角で考えると、方程式の解は、
x=±$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\pi}$ +2ｎ$\scriptsize\sf{\pi}$ （ｎ：整数）
となり、このうちで $\scriptsize\sf{\pi}$ ≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\pi}$ を満たすものは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{5}{4}\ \pi\ \ }\end{align*}}$
(2)
一般角で考えると、方程式の解は、
x=±$\scriptsize\sf{\theta}$ +2ｎ$\scriptsize\sf{\pi}$ （ｎ：整数）
となり、このうちで 0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\pi}$ を満たすものは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ であることを考慮に入れると、
x=$\scriptsize\sf{\theta}$ 、2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
(3)
(2)において、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ より、$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$
となるので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ =2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ ････① であり、
0≦x≦$\scriptsize\sf{\theta}$ のとき、cosx≧cos$\scriptsize\sf{\theta}$
$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦x≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ のとき、cosx≦cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\theta}\left(\cos x-\cos\theta\right)\ dx+\int_{\theta}^{\alpha}\left(\cos\theta-\cos x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\sin x-x\cos\theta\right]_0^{\theta}+\left[x\cos\theta-\sin x\right]_{\theta}^{\alpha}\end{align*}}$
これを計算すると、
S=2(sin$\scriptsize\sf{\theta}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )+$\scriptsize\sf{\alpha}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －sin$\scriptsize\sf{\alpha}$
となり、①より
sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ =sin(2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ )=－sin$\scriptsize\sf{\theta}$
なので、
S=2(sin$\scriptsize\sf{\theta}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )+(2$\scriptsize\sf{\pi}$ －$\scriptsize\sf{\theta}$ )cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +sin$\scriptsize\sf{\theta}$
=3sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +(2$\scriptsize\sf{\pi}$ －3$\scriptsize\sf{\theta}$ )cos$\scriptsize\sf{\theta}$
(3)
Sを$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
S’=3cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －3cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +(2$\scriptsize\sf{\pi}$ －3$\scriptsize\sf{\theta}$ )･(－sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )
=(3$\scriptsize\sf{\theta}$ －2$\scriptsize\sf{\pi}$ )sin$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
これより、Sの増減を調べると、下のようになる。
よって、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ $\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、Sは最小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\sin\frac{2}{3}\pi=\underline{\ \frac{3\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$
をとる。
(1)、(2)は、定義通り単位円で考えると分かりやすいと思います。
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