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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011関西学院大 理系(個別日程) 数学1



第1問

  次の文中の    に適する数値を、解答用紙の同じ記号がついた   
  の中に記入せよ。途中の計算は書く必要はない。

 (1) 関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\log_2\left(\frac{x}{2}+3\right)\end{align*}}$ のグラフは、関数y=log2xのグラフをx軸方向に
     ア  、y軸方向に イ  だけ平行移動したものである。これら2つの
    グラフについて、共有点のx座標は ウ  である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf a=\sqrt7+\sqrt3\ ,\ b=\sqrt7-\sqrt3\end{align*}}$ のとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf c=\frac{a}{b}\end{align*}}$
    とおくと、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf c+\frac{1}{c}=\end{align*}}$  エ  、$\small\sf{\begin{align*} \sf c-\frac{1}{c}=\end{align*}}$  オ 
         $\small\sf{\begin{align*} \sf c^2+\frac{1}{c^2}=\end{align*}}$  カ  、$\small\sf{\begin{align*} \sf c^3+\frac{1}{c^3}=\end{align*}}$  キ 
    である。

 (3) A、A、B、B、B、C、C、C、Cの9個の文字全部を使って作ることが
    できる順列の総数は、 ク  通りである。そのうち、B3個が連続して
    いる順列は ケ  通りであり、A2個が隣り合わない順列は コ 
    りである。



2011関西学院大 理系(個別日程) 数学2



第2問

  四面体OABCにおいて、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf OA=OB=OC=1\ \ ,\ \ \angle AOB=\angle BOC=\angle COA=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
  とする。三角形OACの重心をG、辺BCを2:1に内分する点をP、
  辺OCの中点をQとし、2直線OP、BQの交点をRとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
  とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) OCの長さをxとする。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ をxを用いて
    表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BG}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}\end{align*}}$ が垂直であるとする。このとき、xの値を求めよ。



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2011関西学院大 理系(個別日程) 数学3



第3問

  次の問いに答えよ。

 (1) 条件1≦a≦b≦2、1≦a<c≦2を満たす正の整数の組(a,b,c)
    をすべて求めよ。

 (2) 条件1≦a≦b≦3、1≦a<c≦4を満たす正の整数の組(a,b,c)
    のうち、a=1のもの、a=2のもの、a=3のものの個数をそれぞれ
    求めよ。

 (3) mを正の整数とする。条件1≦a≦b≦m+1、1≦a<c≦2mを満た
    す正の整数の組(a,b,c)の個数M(m)を求めよ。また、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{m\rightarrow\infty}\ \frac{M(m)}{m^3}\end{align*}}$
    を求めよ。

 (4) M(m)が67の倍数になるような最小の正の整数mを求めよ。




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2011関西学院大 理系(個別日程) 数学4



第4問

  次の問いに答えよ。

 (1) 方程式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos x=\cos\frac{3}{4}\pi\end{align*}}$ の解を $\small\sf{\begin{align*} \sf \pi\leqq x\leqq\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ の範囲で求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\leqq\theta\lt\pi\end{align*}}$ を満たす定数$\small\sf{\theta}$ に対して、方程式$\small\sf{\cos x=\cos\theta}$ の
    $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x\leqq\frac{3}{2}\pi\end{align*}}$ における2つの解を$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (3) 上の(2)で求めた解のうち大きい方を$\small\sf{\alpha}$ とするとき、定積分
         $\small\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\alpha}\left|\cos x-\cos\theta\right|\ dx\end{align*}}$
    を$\small\sf{\theta}$ の式で表せ。

 (4) $\small\sf{\theta}$ が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\leqq\theta\lt\pi\end{align*}}$ の範囲で変化するときのSの最小値および
    そのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。




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