第2問
△ＯABの重心をGとし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 線分ＯA上に点Xをとり、直線XGと直線ＯBが点Yで交わる
とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OX}=x\ \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OY}=y\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
とおくとき、実数yを実数xを用いて表せ。また、交点Yが
線分ＯB上にあるための、xの範囲を求めよ。
(3) xの範囲は(2)で求めたものとする。△ＯABと△ＯXYの面積を
それぞれS、Tとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}\end{align*}}$ をxを用いて表せ。
(4) xの範囲は(2)で求めたものとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}\end{align*}}$ の最小値とそのときの
xの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、線分は両端の点を含まないものとして考えることにする。
(1)
Gは△ＯABの重心なので、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OO}+\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{3}=\underline{\ \frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
まず、点Xは線分ＯA上にあるので、
0＜x＜1． ････①
また、XG//ＯBとなるとき、実数sを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf XG}=s\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}-x\ \overrightarrow{\sf a}=s\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(1-3x\right)\ \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}=3s\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ．
よって、交点Yが存在するためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\ne\frac{1}{3}\end{align*}}$ ････②
である必要がある。
一方、
3点X、G、Yが一直線上にあるので、実数ｋを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf XY}=k\ \overrightarrow{\sf XG}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y\ \overrightarrow{\sf b}-x\ \overrightarrow{\sf a}=k\left(\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}}{3}-x\ \overrightarrow{\sf a}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -3x\ \overrightarrow{\sf a}+3y\ \overrightarrow{\sf b}=k(1-3x)\ \overrightarrow{\sf a}+k\ \overrightarrow{\sf b}\ \ \end{align*}}$
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -3x=k(1-3x)\ \ ,\ \ 3y=k \end{align*}}$
となり、ｋを消去すると、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -3x=3y(1-3x)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{x}{3x-1}\ \ }\end{align*}}$ ．
この式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3}+\frac{1}{3(3x-1)}\end{align*}}$
と変形できるので、①、②の範囲でxy平面に
図示すると、右図1のようになる。
Yが線分ＯB上にあるためには、
0＜y＜1
であればよいので、これを満たすxの範囲は、
右図2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2}< x< 1\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
∠AＯB=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}=\frac{\frac{1}{2}\cdot OX \cdot OY\ \sin\theta }{\frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB\ \sin\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{ |\overrightarrow{\sf OX}| \ |\overrightarrow{\sf OY}|}{ |\overrightarrow{\sf OA}| \ |\overrightarrow{\sf OB}|}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =xy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{x^2}{3x-1}\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
(3)で求めた $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}\end{align*}}$ をxの関数とみなして
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x^2}{3x-1}\ \ \ \ \ \left(\frac{1}{2}< x< 1\right)\end{align*}}$
とおくと、導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{2x(3x-1)-3x^2}{(3x-1)^2}=\frac{x(3x-2)}{(3x-1)^2}\end{align*}}$
となるので、定義域におけるｆ(x)の増減は下の通り。
よって、求める最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{T}{S}_{min}=\frac{4}{9}\ \ \ \ \left(x=\frac{2}{3}\right)\ \ }"\end{align*}}$
線分の両端の点を含むことにすると、
x=0 のとき T/S=0
となって面白くないので、含まないことにしましたが、
そういう意味では少し不親切な問題ですね・・＾＾；；
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第3問
次の問いに答えよ。
(1) ｋ=1，2，3，･･･に対し
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos kx\ dx\end{align*}}$
を計算せよ。
(2) ｋ=1，2，3，･･･に対し
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos^2 kx\ dx\end{align*}}$
を計算せよ。
(3) 互いに異なるｊ=1，2，3，･･･と ｋ=1，2，3，･･･に対し
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos jx\ \cos kx\ dx\end{align*}}$
を計算せよ。
(4) ｎ=1，2，3，･･･に対し
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\left(1+\sum_{k=1}^n\ k\cos kx\right)^2 dx\end{align*}}$
の値を推測し、それを数学的帰納法で証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】 (1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos kx\ dx=\left[\frac{1}{k}\ \sin kx\right]_0^{\pi}=\underline{\ 0\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
半角公式を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos^2 kx\ dx=\int_0^{\pi}\ \frac{1+\cos 2kx}{2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{2k}\ \sin 2kx\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
(3)
積→和の公式を用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos jx\ \cos kx\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\ \left\{\cos (j+k)x\ +\cos (j-k)x\right\} dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\frac{1}{j+k}\ \sin (j+k)x\ +\ \frac{1}{j-k}\ \sin (j-k)x\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 0\ \ }\end{align*}}$ ．
(4)
ｎ=1，2，3，･･･に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\int_0^{\pi}\left(1+\sum_{k=1}^n\ k\cos kx\right)^2 dx\end{align*}}$
とおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_1=\int_0^{\pi}\left(1+\cos x\right)^2 dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\cos^2 x+2\cos x\right) dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\cos^2 x\right) dx\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi+\frac{\pi}{2}+0\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_2=\int_0^{\pi}\left(1+\cos x+2\cos 2x\right)^2 dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left\{1+\cos^2 x+4\cos^2 2x+2\left(\cos x+2\cos 2x+2\cos x\cos 2x\right)\right\} dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\cos^2 x+4\cos^2 2x\right) dx\end{align*}}$ ←(1)、(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi+(1+4)\cdot \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_3=\int_0^{\pi}\left(1+\cos x+2\cos 2x+3\cos 3x\right)^2 dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\cos^2 x+4\cos^2 2x+9\cos^2 3x\right) dx\end{align*}}$ ←(1)、(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi+(1+4+9)\cdot\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =8\pi\end{align*}}$
これらより、Jnの一般項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf JI_n=\pi+(1+2^2+3^2+\ldots+ n^2)\cdot\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{1+\frac{1}{12}\ n(n+1)(2n+1)\right\}\ \pi\end{align*}}$
と類推することができる。
このことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ) ｎ=1のときは自明
(ⅱ) ｎ=ｍのとき成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_m=\left\{1+\frac{1}{12}\ m(m+1)(2m+1)\right\}\ \pi\end{align*}}$ ･･･①
ｎ=ｍ+1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{m+1}=\int_0^{\pi}\left(1+\sum_{k=1}^{m+1}\ k\cos kx\right)^2 dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left\{\left(1+\sum_{k=1}^{m}\ k\cos kx\right)+(m+1)\cos(m+1)x\right\}^2 dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(1+\sum_{k=1}^{m}\ k\cos kx\right)^2dx+\int_0^{\pi}(m+1)^2\cos^2(m+1)x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +2(m+1)^2\int_0^{\pi}\cos(m+1)x\ \left(1+\sum_{k=1}^{m}\ k\cos kx\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =J_m+(m+1)^2\cdot\frac{\pi}{2}+0\end{align*}}$ ←(1)、(2)、(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{1+\frac{1}{12}\ m(m+1)(2m+1)+\frac{(m+1)^2}{2}\right\}\ \pi\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{1+\frac{1}{12}\ \left(m(m+1)(2m+1)+6(m+1)^2\right)\right\}\ \pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{1+\frac{1}{12}\ (m+1)(m+2)(2m+3)\right\}\ \pi\end{align*}}$
となるので、ｎ=ｍ+1のときも成り立つ。
以上より、任意のｎに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\left\{1+\frac{1}{12}\ n(n+1)(2n+1)\right\}\ \pi\end{align*}}$
である。
(1)、(2)、(3)を有効に使いましょう。
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第4問
数列{Ｉn}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =\int_1^e\left(\log x\right)^ndx\ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
で定める。次の問いに答えよ。
(1) Ｉ1の値を求めよ。
(2) 部分積分法により
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n+1}\sf =-(n+1)\ \rm I_{\sf n}\sf +e\ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
を示せ。また、Ｉ2、Ｉ3の値を求めよ。
(3) logx の1≦x≦ｅにおける最大値と最小値を求め、
{Ｉn}について
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \rm I_{\sf n}\sf \lt e-1\ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
を示せ。
(4) 整数値をとる数列{an}、{bn}を
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =a_n\ e+b_n\ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
で定める。b1、b2、b3の値を求めよ。
さらに{bn}の一般項を求めよ。
(5) 上の(4)で定めた{an}、{bn}について、次の極限値を求めよ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{a_n}{b_n}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
部分積分法により
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 1}\sf =\int_1^e\ 1\cdot\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x\ \log x\right]_1^e-\int_1^ex\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e\log e-\log1-(e-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
部分積分法により
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n+1}\sf =\int_1^e1\cdot\left(\log x\right)^{n+1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x\left(\log x\right)^{n+1}\right]_1^e-\int_1^ex\cdot(n+1)(\log x)^n\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e(\log e)^{n+1}-(\log 1)^{n+1}-(n+1)\int_1^e\left(\log x\right)^n\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-(n+1)\ \rm I_{\sf n}\sf +e\end{align*}}$
となり、題意は示された。
これと(1)より、
Ｉ2=－2Ｉ1+ｅ
=ｅ－2．
さらに、
Ｉ3=－3Ｉ2+ｅ
=－3(ｅ－2)+ｅ
=－2ｅ+6．
(3)
logxをxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\log x\right)'=\frac{1}{x}>0\end{align*}}$
となり、logxは単調に増加する。
よって、1≦x≦ｅの範囲では、
x=ｅで最大値 logｅ=1
x=1で最小値 log1=0
となる。
このことから、1≦x≦ｅの範囲でつねに
0≦logx≦1
⇔ 0≦(logx)n≦1
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\int_1^e\left(\log x\right)^ndx<\int_1^e dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt \rm I_{\sf n}\sf <\left[\ x\ \right]_1^e\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt \rm I_{\sf n}\sf \lt e-1\end{align*}}$ ．
(4)
(1)より、
Ｉ1=a1ｅ+b1=1 ⇔ a1=0、 b1=1．
(2)より、
Ｉ2=a2ｅ+b2=ｅ－2 ⇔ a2=1、 b2=－2
Ｉ3=a3ｅ+b3=－2ｅ+6 ⇔ a3=－2、 b3=6．
また、(2)で示した等式は、
an+1ｅ+bn+1=－(ｎ+1)(anｅ+bn)+ｅ
={－(ｎ+1)an+1}ｅ－(ｎ+1)bn
となるので、係数を比較すると、
an+1=－(ｎ+1)an+1 ････①
bn+1=－(ｎ+1)bn ････②
である。
②は任意のｎに対して成り立つので、
b2=－2b1
b3=－3b2
b4=－4b3
･･･
bn-1=－(ｎ－1)bn-2
bn=－ｎbn-1
となり、これらを辺々かけると、
bn=(－1)n-1ｎ(ｎ－1)・･･･・4・3・2・b1
⇔ bn=(－1)n-1･ｎ！
を得る。
(5)
(4)より、bn≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =a_n\ e+b_n\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a_n}{b_n}=\frac{I_n}{b_n\ e}-\frac{1}{e}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a_n}{b_n}=\frac{I_n}{(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e}-\frac{1}{e}\end{align*}}$ ･･･③
ここで、(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<|\rm I_{\sf n}\sf |\lt e-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\left|\frac{I_n}{(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e}\right|<\frac{e-1}{|(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e|}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0<\left|\frac{I_n}{(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e}\right|<\frac{e-1}{ n\ !\cdot e}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\frac{e-1}{ n\ !\cdot e}\right|=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{e-1}{ n\ !\cdot e}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \left|\frac{\rm I_{\sf n}\sf }{(-1)^{n-1}\cdot n\ !\cdot e}\right|=0\end{align*}}$ ．
これと③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{a_n}{b_n}=\underline{\ -\frac{1}{e}\ \ }\end{align*}}$ ．
(5)は、(4)までの結論をうまく使いましょう。
{an}の一般項を求めようとすると、泥沼にはまります(笑)
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