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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011同志社大 生命医科学部 数学1



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
      の中に記入せよ。

 (1) 1から5までの異なる整数の書かれた5枚のカードから2枚を
    同時に引く。このとき、引いた2枚のカードに書かれた数の和が
    6である確率は、 ア  であり、引いた2枚のカードに書かれた
    数の積が6である確率は、 イ  である。また、引いた2枚の
    カードに書かれた数の和の期待値は、 ウ  であり、引いた2枚
    のカードに書かれた数の積の期待値は、 エ  である。

 (2) f(x)=(x2-x+1)e-xの第2次までの導関数は、f’(x)= オ 
    f”(x)= カ  である。したがって、f(x)は キ  で極大値 ク 
    をとり、x= ケ  で極小値 コ  をとる。



2011同志社大 生命医科学部 数学2



第2問

  △OABの重心をGとし、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) 線分OA上に点Xをとり、直線XGと直線OBが点Yで交わる
    とする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OX}=x\ \overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OY}=y\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
    とおくとき、実数yを実数xを用いて表せ。また、交点Yが
    線分OB上にあるための、xの範囲を求めよ。

 (3) xの範囲は(2)で求めたものとする。△OABと△OXYの面積を
    それぞれS、Tとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}\end{align*}}$ をxを用いて表せ。

 (4) xの範囲は(2)で求めたものとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{T}{S}\end{align*}}$ の最小値とそのときの
    xの値を求めよ。



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  1. 2012/11/06(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2011(生命医科)
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2011同志社大 生命医科学部 数学3



第3問

  次の問いに答えよ。

 (1) k=1,2,3,・・・に対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos kx\ dx\end{align*}}$
    を計算せよ。

 (2) k=1,2,3,・・・に対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos^2 kx\ dx\end{align*}}$
    を計算せよ。

 (3) 互いに異なるj=1,2,3,・・・と k=1,2,3,・・・に対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\ \cos jx\ \cos kx\ dx\end{align*}}$
    を計算せよ。

 (4) n=1,2,3,・・・に対し
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi}\left(1+\sum_{k=1}^n\ k\cos kx\right)^2 dx\end{align*}}$
    の値を推測し、それを数学的帰納法で証明せよ。




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  1. 2012/11/07(水) 23:57:00|
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2011同志社大 生命医科学部 数学4



第4問

  数列{In}を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =\int_1^e\left(\log x\right)^ndx\ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
  で定める。次の問いに答えよ。

 (1) I1の値を求めよ。

 (2) 部分積分法により
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n+1}\sf =-(n+1)\ \rm I_{\sf n}\sf +e\ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
    を示せ。また、I2、I3の値を求めよ。

 (3) logx の1≦x≦eにおける最大値と最小値を求め、
    {In}について
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt \rm I_{\sf n}\sf \lt e-1\ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
    を示せ。

 (4) 整数値をとる数列{an}、{bn}を
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =a_n\ e+b_n\ \ \ (n=1\ ,\ 2\ ,\ 3\ ,\ \ldots)\end{align*}}$
    で定める。b1、b2、b3の値を求めよ。
    さらに{bn}の一般項を求めよ。

 (5) 上の(4)で定めた{an}、{bn}について、次の極限値を求めよ。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{a_n}{b_n}\end{align*}}$




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  1. 2012/11/08(木) 23:57:00|
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