第2問
実数の組$\small\sf{\sf (p,\ q)}$ に対し、$\small\sf{\sf f(x)=(x-p)^2+q}$ とおく。
(1) 放物線$\small\sf{\sf y=x(x)}$ が点$\small\sf{\sf (0,\ 1)}$ を通り、しかも直線$\small\sf{\sf y=x}$ の$\small\sf{\sf x\gt 0}$ の部分と接する
ような実数の組$\small\sf{\sf (p,\ q)}$ と接点の座標を求めよ。
(2) 実数の組$\small\sf{\sf (p_1,\ q_1)\ ,\ (p_2,\ q_2)}$ に対して、$\small\sf{\sf f_1(x)=(x-p_1)^2+q_1}$ および
$\small\sf{\sf f_2(x)=(x-p_2)^2+q_2}$ とおく。実数$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ （ただし$\small\sf{\alpha\lt \beta}$ ）に対して
$\small\sf{\sf f_1(\alpha)\lt f_2(\alpha)}$ かつ $\small\sf{\sf f_1(\beta)\lt f_2(\beta)}$
であるならば、区間$\small\sf{\alpha\leqq x\leqq\beta}$ において不等式$\small\sf{\sf f_1(x)\lt f_2(x)}$ がつねに成り
立つことを示せ。
(3) 長方形$\small\sf{\sf R:\ 0\leqq x\leqq 1\ , \ 0\leqq y\leqq 2}$ を考える。また、4点
$\small\sf{\sf P_0 (0,\ 1)\ ,\ P_1(0,\ 0)\ ,\ P_2(1,\ 1)\ ,\ P_3(1,\ 0)}$ をこの順に線分で結んで得られる折れ線を
Lとする。
実数の組$\small\sf{\sf (p,\ q)}$ を、放物線$\small\sf{\sf y=f(x)}$ と折れ線Lに共有点がないようなすべての
組にわたって動かすとき、Rの点のうちで放物線$\small\sf{\sf y=f(x)}$ が通過する点全体の
集合をTとする。RからTを除いた領域Sを座標平面上に図示し、その面積を求
めよ。
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- 2011/08/27(土) 01:30:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2011
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第3問
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これまたタイヘンな問題ですね。(1)だけ確実にキープして、
(2)、(3)は部分点ねらいといったところでしょうか。
以下、ベクトルは矢印を省略して $\scriptsize\sf{\sf v_1\ ,\ v_2\ ,\ p}$ などと表すことにする。
(1)
$\scriptsize\sf{\sf v=sv_1+tv_2}$ に成分を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x,y)=s(3,0)+t(1,2\sqrt2)=(3s+t\ ,\ 2\sqrt2t)\end{align*}}$
これをs、tについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{2\sqrt2x-y}{6\sqrt2}\ ,\ t=\frac{y}{2\sqrt2}\end{align*}}$
よって、任意のx、yに対してs、tの値がただ1つに定まるので、
任意のベクトルvは、$\scriptsize\sf{\sf v=sv_1+tv_2}$ の形で表される。
(2)
$\scriptsize\sf{\sf p=v_1}$ が(*)を満たすので、
$\scriptsize\sf{\sf (v_1\cdot v_1)v_1+(v_1\cdot ･v_2)v_2+(v_3\cdot v_1)v_3=cv_1}$ ･････①
同様に$\scriptsize\sf{\sf p=v_"}$ も(*)を満たすので、
$\scriptsize\sf{\sf (v_1\cdot v_2)v_1+(v_2\cdot v_2)v_2+(v_3\cdot v_2)v_3=cv_2}$ ･････②
①×s+②×t （s、tは任意の実数）を計算すると、
$\scriptsize\sf{\sf \left\{s(v_1\cdot v_1)+t(v_1\cdot v_2)\right\} v_1+\left\{s(v_1\cdot v_2)+t(v_2\cdot v_2)\right\}v_2}$
$\scriptsize\sf{\sf +\left\{s(v_3\cdot v_1)+t(v_3\cdot v_2)\right\}v_3=scv_1+cv_2}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{v_1\cdot (sv_1+tv_2)\right\}v_1+\left\{v_2\cdot (sv_1+tv_2)\right\}v_2}$
$\scriptsize\sf{\sf +\left\{v_3\cdot (sv_1+tv_2)\right\}v_3=c(sv_1+tv_2)}$ ････(*)’
が得られる。
この式は、ベクトル$\scriptsize\sf{\sf p=sv_1+tv_2}$ が(*)を満たしていることを表している。
(1)より、s、tの値を変化させることによって、ベクトル$\scriptsize\sf{\sf sv_1+tv_2}$ は
平面上のすべてのベクトルを表すことができるので、任意のベクトルvに対して
$\scriptsize\sf{\sf p=v}$ が(*)を満たす。
(3)
任意のベクトルvに対して$\scriptsize\sf{\sf p=v}$ が条件(*)を満たすので、
$\scriptsize\sf{\sf v=sv_1+tv_2}$ とおくと、(2)の(*)’式が成り立つ。
これに
$\scriptsize\sf{\sf |v_1|^2=|v_2|^2=9\ ,\ \ v_1\cdot v_2=3}$ ･････(#)
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\sf (9s+3t)v_1+(3s+9t)v_2+\left\{v_3\cdot (sv_1+tv_2)\right\}v_3=c(sv_1+tv_2)}$
となり、s、tについて整理すると、
$\scriptsize\sf{\sf \left\{9v_1+3v_2+(v_3\cdot v_1)v_3-cv_1\right\}s+\left\{3v_1+9v_2+(v_3\cdot v_2)v_3-cv_2\right\}t=0}$
これが任意の実数s、tに対して成立するので、
$\scriptsize\sf{\sf 9v_1+3v_2+(v_3\cdot v_1)v_3-cv_1=0}$ ･････③ かつ
$\scriptsize\sf{\sf 3v_1+9v_2+(v_3\cdot v_2)v_3-cv_2=0}$ ･････④
これらに $\scriptsize\sf{\sf v_3=av_1+bv_2}$ を代入する。
③ $\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 9v_1+3v_2+\left\{(av_1+bv_2)\cdot v_1\right\}(av_1+bv_2)-cv_1=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (9+9a^2+3ab-c)v_1+(3+3b^2+9ab)v_2=0}$
（∵(#)より）
④ $\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3v_1+9v_2+\left\{(av_1+bv_2)\cdot v_2\right\}(av_1+bv_2)-cv_1=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (3+3a^2+9ab)v_1+(9+9b^2+3ab-c)v_2=0}$
（∵(#)より）
ここで、2つのベクトル$\scriptsize\sf{\sf v_1\ ,\ v_2}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\sf 9+9a^2+3ab-c=0}$ ････⑤
$\scriptsize\sf{\sf 3+3b^2+9ab=0}$ ････⑥
$\scriptsize\sf{\sf 3+3a^2+9ab=0}$ ････⑦
$\scriptsize\sf{\sf 9+9b^2+3ab-c=0}$ ････⑧
⑥、⑦より $\scriptsize\sf{\sf a^2=b^2}$
$\scriptsize\sf{\sf a=b}$ のときは、
⑦は $\scriptsize\sf{\sf 12a^2+3=0}$ となり、
これを満たす実数aは存在しないので不適。
$\scriptsize\sf{\sf a=-b}$ のとき、
⑦は $\scriptsize\sf{\sf -6a^2+3=0}$ となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\pm \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\mp \frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
(複号同順)となり、これらを⑤または⑧に代入すると$\scriptsize\sf{\sf c=12}$ が得られる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a,b,c)=\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2},12\right)\ ,\ \left(-\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2},12\right)\end{align*}}$
今年の阪大は、理系・文系ともスゴイことになっていますね････
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- 2011/08/28(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2011
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