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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011東京医科歯科大 数学1



第1問

  ある硬貨を投げたとき、表と裏がそれぞれ確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で出るとする。
  この硬貨を投げる操作を繰り返し行い、3回続けて表が出たとき
  この操作を終了する。自然数 n に対し、
      操作がちょうどn回目で終了となる確率をPn
      操作がn回以上繰り返される確率をQn
  とする。このとき以下の各問いに答えよ。

 (1) P3、P4、P5、P6、P7をそれぞれ求めよ。

 (2) Q6、Q7をそれぞれ求めよ。

 (3) n≧5のとき、Qn-Qn-1をQn-4を用いて表せ。

 (4) n≧4のとき、Qn<$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-3}{4}}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。



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  1. 2018/11/16(金) 01:10:00|
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2011東京医科歯科大 数学2



第2問

  座標平面において、原点をOとし、次のような3点P、Q、Rを
  考える。
    (a) 点Pはx軸上にあり、そのx座標は正である。
    (b) 点Qは第1象限にあって、OQ=QP=1を満たす。
    (c) 点Rは第1象限にあって、OR+RP=2を満たし、
      かつ線分RPがx軸に垂直となる。
  ただし、座標軸は第1象限に含めないものとする。このとき
  以下の各問いに答えよ。

 (1) 上の条件を満たす2点Q、Rが存在するような、点Pのx座標
    が取りうる値の範囲を求めよ。

 (2) (1)の範囲を点Pが動くとき、線分QRが通過する領域を図示
    し、その面積を求めよ。

 (3) 線分OPの中点をMとする。(1)の範囲を点Pが動くとき、
    四角形MPRQの面積を最大にする点Pのx座標を求めよ。



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2011東京医科歯科大 数学3



第3問

  自然数nに対し
        $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\int_0^1\frac{1-\left(-x\right)^n}{1+x}\ dx\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k\left(k+1\right)}\end{align*}}$
  とおく。このとき以下の各問いに答えよ。

 (1) 次の不等式を示せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|S_n-\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\right|\leqq\frac{1}{n+1}\end{align*}}$

 (2) Tn-2Snをnを用いて表せ。

 (3) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ T_n\end{align*}}$ を求めよ。




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