青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関東の大学　.東京医科歯科大　2011

2011東京医科歯科大　数学１

第１問

　　ある硬貨を投げたとき、表と裏がそれぞれ確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で出るとする。
　　この硬貨を投げる操作を繰り返し行い、3回続けて表が出たとき
　　この操作を終了する。自然数 n に対し、
　　　　　　操作がちょうどn回目で終了となる確率をP_n
　　　　　　操作がn回以上繰り返される確率をQ_n
　　とする。このとき以下の各問いに答えよ。

　(１) P₃、P₄、P₅、P₆、P₇をそれぞれ求めよ。

　(２) Q₆、Q₇をそれぞれ求めよ。

　(３) n≧5のとき、Q_n－Q_n-1をQ_n-4を用いて表せ。

　(４) n≧4のとき、Q_n＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-3}{4}}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。

解答はこちら↓

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【解答】

　(１)
　　　題意より明らかに、P₁＝P₂＝0
　　　・P₃について
　　　　　1回目から表が3回続けて出ればよいので　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_3=\left(\frac{1}{}2\right)^3=\underline{\ \frac{1}{8}\ }\end{align*}}$
　　　・P₄について
　　　　　1回目に裏、2回目から表が3回続けて出ればよいので　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_4=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{}2\right)^3=\underline{\ \frac{1}{16}\ }\end{align*}}$
　　　・P₅について
　　　　　1回目はどちらでもよく、2回目に裏、3回目から表が
　　　　　3回続けて出ればよいので　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_5=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{}2\right)^3=\underline{\ \frac{1}{16}\ }\end{align*}}$
　　　・P₆について
　　　　　1、2回目はどちらでもよく、3回目に裏、4回目から表が
　　　　　3回続けて出ればよいので　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_6=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{}2\right)^3=\underline{\ \frac{1}{16}\ }\end{align*}}$
　　　・P₇について
　　　　　1～3回目に少なくとも1回裏が出て、4回目に裏、5回目
　　　　　から表が3回続けて出ればよいので　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_7=\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^3\right\}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{7}{128}\ }\end{align*}}$

　(２)
　　　Q_nは、n回目の操作より前に終了していない確率なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_4=1-P_3=\frac{7}{8}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_5=1-\left(P_3+P_4\right)=\frac{13}{16}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_6=1-\left(P_3+P_4+P_5\right)=\underline{\ \frac{3}{4}\ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_7=1-\left(P_3+P_4+P_5+P_6\right)=\underline{\ \frac{11}{16}\ }\end{align*}}$

　(３)
　　　(２)と同様に考えると、n≧5のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n=1-\left(P_3+P_4+\ldots P_{n-2}+P_{n-1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_{n-1}=1-\left(P_3+P_4+\ldots P_{n-2}\right)\end{align*}}$
　　　なので、これら2式の差をとると
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n-Q_{n-1}=-P_{n-1}\end{align*}}$　　……(#)
　　　となる。
　　　P_n-1は、n－1回目の操作でちょうど終了する確率であり、
　　　そのためには
　　　　　・n－4回目の操作の前には終了していない
　　　　　・n－4回目の操作で裏が出る
　　　　　・n－3～n－1回目の操作は表が3回続く
　　　の3つの条件を満たせばよいので、　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{n-1}=Q_{n-4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{16}Q_{n-4}\end{align*}}$
　　　これと(#)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q_n-Q_{n-1}=-\frac{1}{16}Q_{n-4}\ }\end{align*}}$

　(４)
　　　(#)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n-Q_{n-1}=-P_{n-1}\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ Q_{n-1}\geqq Q_n\end{align*}}$
　　　となり、これがn≧4である任意の自然数nに対して成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_4\geqq Q_5\geqq \ldots Q_{n-1}\geqq Q_{n}\geqq \ldots\end{align*}}$　　……(*)

　　　n≧4のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n<\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-3}{4}}\end{align*}}$　　……(A)
　　　が成り立つことを数学的帰納法で示す。

　　　(ⅰ) n＝4，5，6，7のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(Q_4\right)^4=\left(\frac{7}{8}\right)^4=\frac{2401}{4096}<\frac{3072}{4096}=\frac{3}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ Q_4<\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{4}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(Q_5\right)^2=\left(\frac{13}{16}\right)^2=\frac{169}{256}<\frac{192}{256}=\frac{3}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ Q_5<\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{2}{4}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_6=\frac{3}{4}<\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{4}}\ \ \ \left(\because\ \frac{3}{4}<1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_7=\frac{11}{16}<\frac{3}{4}=\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{4}{4}}\end{align*}}$
　　　　　より、これらのとき(A)は成り立つ。

　　　(ⅱ) n＝K （k≧4）のとき(A)が成立すると仮定すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_k<\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{k-3}{4}}\end{align*}}$　　……(B)
　　　　　 n＝k＋4のとき
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_{k+4}=Q_{k+3}-\frac{1}{16}Q_k\end{align*}}$　　←(３)より
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(Q_{k+2}-\frac{1}{16}Q_{k-1}\right)-\frac{1}{16}Q_k\end{align*}}$　　←(３)より
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(Q_{k+1}-\frac{1}{16}Q_{k-2}\right)-\frac{1}{16}Q_{k-1}-\frac{1}{16}Q_k\end{align*}}$　　←(３)より
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(Q_{k}-\frac{1}{16}Q_{k-3}\right)-\frac{1}{16}Q_{k-2}-\frac{1}{16}Q_{k-1}-\frac{1}{16}Q_k\end{align*}}$　　←(３)より
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =Q_{k}-\frac{1}{16}\left(Q_{k-3}+Q_{k-2}+Q_{k-1}+Q_k\right)\end{align*}}$　
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq Q_{k}-\frac{1}{16}\left(Q_{k}+Q_{k}+Q_{k}+Q_k\right)\end{align*}}$　　←(*)より
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{4}\ Q_{k}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{k-3}{4}}\end{align*}}$　　←(B)より
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{(k+4)-3}{4}}\end{align*}}$
　　　　　　となるので、このときも(A)は成立する。

　　　以上より、n≧4の任意の自然数nに対して
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n<\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{n-3}{4}}\end{align*}}$
　　　が成り立つ。

　　ボリュームたっぷりです。
　　(３) 帰納法の(ⅰ)では、K＝4、5、6、7の4つを調べる必要があります。　　

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2011東京医科歯科大　数学２

第２問

　　座標平面において、原点をOとし、次のような3点P、Q、Rを
　　考える。
　　　　(a) 点Pはx軸上にあり、そのx座標は正である。
　　　　(b) 点Qは第1象限にあって、OQ＝QP＝1を満たす。
　　　　(c) 点Rは第1象限にあって、OR＋RP＝2を満たし、
　　　　　かつ線分RPがx軸に垂直となる。
　　ただし、座標軸は第1象限に含めないものとする。このとき
　　以下の各問いに答えよ。

　(１) 上の条件を満たす2点Q、Rが存在するような、点Pのx座標
　　　が取りうる値の範囲を求めよ。

　(２) (１)の範囲を点Pが動くとき、線分QRが通過する領域を図示
　　　し、その面積を求めよ。

　(３) 線分OPの中点をMとする。(１)の範囲を点Pが動くとき、
　　　四角形MPRQの面積を最大にする点Pのx座標を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　OQ＝1より、点Qは原点中心、半径1の円（C₁とする）の
　　　周上で、第1象限内の部分にあるので、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(\cos\theta\ ,\ \sin\theta \right)\ \ \ \left(0<\theta< \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
　　　と表すことができ、△OPQは二等辺三角形に
　　　なるので、Pの座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(2\cos\theta\ ,\ 0 \right)\end{align*}}$
　　　と表せる。
　　　また、点Rのy座標をrとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OR+RP=\sqrt{\left(2\cos\theta \right)^2+r^2}+r=2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\cos^2\theta+r^2=\left(2-r \right)^2\ \ ,\ \ 2-r\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\end{align*}}$
　　　となるので、Rの座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R\left(2\cos\theta\ ,\ \sin^2\theta \right)\end{align*}}$
　　　と表すことができる。

　(１)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\theta<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より、点Pのx座標の範囲は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0<2\cos\theta<2\ }\end{align*}}$

　(２)
　　　点R(X，Y)とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos^2\theta+\sin^2\theta=Y+\left(\frac{X}{2} \right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ Y=-\frac{1}{4}X^2+1\end{align*}}$
　　　となるので、点Rは放物線
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{4}x^2+1\end{align*}}$　（これをC₂とする）
　　　上で、第1象限内の部分を動く。
　　　C₁：x²＋y²＝1とC₂の2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{4}\left(1-y^2 \right)+1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y^2-4y+3=\left(y-1 \right)\left(y-3 \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=1\ \ \ \left(\because\ y\leqq 1 \right)\end{align*}}$
　　　となるので、C₁とC₂の位置関係は
　　　右図のようになる。

　　　点QにおけるC₁の接線をLとすると、
　　　Lの方程式は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\cos\theta \right)x+\left(\sin\theta \right)y=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}x+\frac{1}{\sin\theta}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin^2\theta-\left\{-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cdot \cos\theta+\frac{1}{\sin\theta} \right\}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^3\theta+2\left(1-\sin^2\theta \right)-1}{\sin\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin^3\theta-2\sin^2\theta+1}{\sin\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sin\theta}\left(\sin\theta-1 \right)\left(\sin\theta- \frac{1+\sqrt5}{2}\right)\left(\sin\theta-\frac{1-\sqrt5}{2} \right)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >0\ \ \ \left(\because\ 0<\sin\theta<1 \right)\end{align*}}$
　　　より、点Rは領域
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y>-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}x+\frac{1}{\sin\theta}\end{align*}}$
　　　の内部、すなわち、Lより上側にある。
　　　よって、線分QRと円C₁は、
　　　点Q以外に共有点をもたない。

　　　また、$\scriptsize\sf{\theta}$ が0→ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ と変化するとき、
　　　　　　点Qは(1，0)→(0，1)
　　　　　　点Rは(2，0)→(0，1)
　　　のように動く。
　　　よって、線分QRは、下図のようにC₁、C₂およびx軸で囲まれる
　　　第1象限内の図形の内部を通過する（座標軸上の点を除く）。

　　　　　　　　　

　　　この図形の面積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^2\left( -\frac{1}{4}x^2+1\right)dx-\frac{\pi}{4}\cdot 1^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{1}{12}x^3+x \right]_0^2-\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3}-\frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$

　(３)
　　　四角形MPRQの面積をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cos\theta\left(\sin\theta+\sin^2\theta \right)\end{align*}}$
　　　であり、$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '=-\frac{1}{2}\sin\theta\left(\sin\theta+\sin^2\theta \right)+\frac{1}{2}\cos\theta\left(\cos\theta+2\sin\theta \cos\theta\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left\{\sin^3\theta+\sin^2\theta-\left(1+2\sin\theta \right)\cos^2\theta \right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left\{\sin^3\theta+\sin^2\theta-\left(1+2\sin\theta \right)\left(1-\sin^2\theta\right) \right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(3\sin^3\theta+2\sin^2\theta-2\sin\theta +1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(\sin\theta+1\right)\left(3\sin^2\theta-\sin\theta-1 \right)\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=\frac{1+\sqrt{13}}{6}\ \ \ \left(\because\ 0<\sin\theta<1 \right)\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\frac{1+\sqrt{13}}{6}\ \, \ \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2} \right)\end{align*}}$
　　　となる$\scriptsize\sf{\alpha}$ を考えると、Sの増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　よって、x＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ のときSは最大となり、
　　　このときの点Pのx座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\cos\theta=2\sqrt{1-\left(\frac{1+\sqrt{13}}{6}\right)^2}=\underline{\ \frac{\sqrt{22-2\sqrt{13}}}{3}\ }\end{align*}}$
　

　　(２)が大変ですね。
　　線分QRがC₁とQ以外の共有点を持ってしまうと、
　　通過する図形が変わってきます。
　　　
　　　
　　

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2011東京医科歯科大　数学３

第３問

　　自然数nに対し
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\int_0^1\frac{1-\left(-x\right)^n}{1+x}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k\left(k+1\right)}\end{align*}}$
　　とおく。このとき以下の各問いに答えよ。

　(１) 次の不等式を示せ。
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|S_n-\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\right|\leqq\frac{1}{n+1}\end{align*}}$

　(２) T_n－2S_nをｎを用いて表せ。

　(３) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ T_n\end{align*}}$ を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|S_n-\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\right|=\left|\int_0^1\frac{-\left(-x\right)^n}{1+x}\ dx\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\left(-1\right)^{n-1}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\right|\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\right|\end{align*}}$
　　　 0≦x≦1の範囲において不等式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\frac{x^n}{1+x}\leqq x^n\end{align*}}$
　　　が成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\leqq\int_0^1 x^n\ dx\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\right|=\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq \int_0^1 x^n\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{n+1}\ x^{n+1}\right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
　　　となるので、不等式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|S_n-\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\right|\leqq\frac{1}{n+1}\end{align*}}$
　　　が成り立つ。

　(２)　　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Sn=\int_0^1\frac{1-\left(-x\right)^n}{1-\left(-x\right)}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\left\{1+\left(-x\right)+\left(-x\right)^2+\left(-x\right)^3+\ldots +\left(-x\right)^{n-1}\right\}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x-\frac{1}{2}\left(-x\right)^2-\frac{1}{3}\left(-x\right)^3-\frac{1}{4}\left(-x\right)^4-\ldots -\frac{1}{n}\left( -x\right)^n\right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{1}{2}\left(-1\right)^2-\frac{1}{3}\left(-1\right)^3-\frac{1}{4}\left(-1\right)^4-\ldots -\frac{1}{n}\left( -1\right)^n\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\sum_{k=1}^n\frac{\left( -1\right)^k}{k}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\frac{\left( -1\right)^{k-1}}{k}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n-2S_n=\sum_{k=1}^n\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{k\left(k+1\right)}-2\sum_{k=1}^n\frac{\left( -1\right)^{k-1}}{k}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left( -1\right)^{k-1}\left\{\frac{1}{k\left( k+1\right)}-\frac{2}{k}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left( -1\right)^{k-1}\left\{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}-\frac{2}{k}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^n\left( -1\right)^{k}\left\{\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left( \frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)+\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)-\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\ldots +\left( -1\right)^n\left( \frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\left( -1\right)^n}{n+1}-1\ }\end{align*}}$

　(３)
　　　(１)の不等式において
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=0\end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left|S_n-\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx\right|=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\int_0^1\frac{1}{1+x}\ dx=\bigg[\log\left|1+x \right|\bigg]_0^1=\log 2\end{align*}}$
　　　これと(２)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}T_n=2\lim_{n\rightarrow\infty}S_n+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left( -1\right)^n}{n+1}-1 \end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\log 2-1\ }\end{align*}}$

　　(２)の1行目から2行目の変形が肝です！！　　

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