第2問
行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{3} &\sf 5 \\ \sf 0 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して、 $\small\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf p_n &\sf q_n\\ \sf r_n &\sf s_n\end{pmatrix}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$ とおく。
次の問いに答えよ。
(1) A2とA3を求めよ。
(2) 数列{pn}、{rn}、{sn}の一般項を推測して、その結果を数学的
帰納法によって証明せよ。
(3) qn+1をqnを用いて表せ。
(4) 数列{qn}の一般項を求めよ。
(5) a≠0、b＞0とする。数列{an}、{bn}をそれぞれan=apn+bqn、
bn=arn+bsnで定める。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf u=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \end{align*}}$ 、および
$\small\sf{\begin{align*} \sf v=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{3} &\sf 5 \\ \sf 0 & \sf 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{3} &\sf 5 \\ \sf 0 & \sf 3 \end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf \frac{1}{9} &\sf \frac{50}{3} \\ \sf 0 & \sf 9 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^3=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{9} &\sf \frac{50}{3} \\ \sf 0 & \sf 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{3} &\sf 5 \\ \sf 0 & \sf 3 \end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix} \sf \frac{1}{27} &\sf \frac{455}{9} \\ \sf 0 & \sf 27 \end{pmatrix} \ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)より、数列{pn}、{rn}、{sn}の一般項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n\ \ ,\ \ r_n=0\ \ ,\ \ s_n=3^n\end{align*}}$ ････(※)
と類推することができるので、これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)ｎ=1のときは自明
(ⅱ)ｎ=ｋのとき(※)が成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_k=\left(\frac{1}{3}\right)^k\ \ ,\ \ r_k=0\ \ ,\ \ s_k=3^k\end{align*}}$ ．
これを用いてAk+1を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{k+1}=\begin{pmatrix} \sf \left(\frac{1}{3}\right)^k&\sf q_k \\ \sf 0 & \sf 3^k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{3} &\sf 5 \\ \sf 0 & \sf 3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \left(\frac{1}{3}\right)^{k+1}&\sf 3q_k+5\left(\frac{1}{3}\right)^{k} \\ \sf 0 & \sf 3^{k+1} \end{pmatrix}\end{align*}}$ ････①
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{k+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{k+1}\ \ ,\ \ r_{k+1}=0\ \ ,\ \ s_{k+1}=3^{k+1}\end{align*}}$ ．
よって、ｎ=ｋ+1のときも成り立つので、
任意の自然数ｎに対して(※)は成立する。
(3)
(2)の①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ q_{n+1}=3q_n+5\left(\frac{1}{3}\right)^n\ \ }\end{align*}}$
(4)
(3)の両辺に3n+1をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^{n+1}\ q_{n+1}=9\cdot 3^{n}\ q_{n}+15\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n=3^n\ q_n\ \ \ \ (Q_1=3\cdot q_1=15)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_{n+1}=9Q_n+15\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Q_{n+1}+\frac{15}{8}=9\left(Q_{n}+\frac{15}{8}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{Q_n+\frac{15}{8}\right\}\end{align*}}$ は、公比9の等比数列となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q_n+\frac{15}{8}=\left(15+\frac{15}{8}\right)\cdot 9^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ Q_n=\frac{15}{8}\left(9^n-1\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=\frac{Q_n}{3^n}=\underline{\ \frac{15}{8}\left\{3^n-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\}\ \ }\end{align*}}$
(5)
(2)、(4)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a\ \left(\frac{1}{3}\right)^n+\frac{15}{8}\ b\left\{3^n-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b\cdot 3^n\ \ (>0)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left[\frac{a}{b}\left(\frac{1}{9}\right)^n+\frac{15}{8}\left\{1-\left(\frac{1}{9}\right)^n\right\}\right]=\frac{15}{8}\end{align*}}$ ．････②
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{a_n}{b_n}}{\sqrt{\left(\frac{a_n}{b_n}\right)^2+1}} \end{align*}}$ ←分子・分母÷bn
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\frac{15}{8}}{\sqrt{\left(\frac{15}{8}\right)^2+1}} \end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{15}{17}\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf v=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{a_n}{b_n}\right)^2+1}} \end{align*}}$ ←分子・分母÷bn
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{15}{8}\right)^2+1}} \end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{8}{17}\ \ }\end{align*}}$
(5)は、②に気づくと楽ですね。
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第3問
a＞0とする。座標平面において2つの曲線C1：y=ｅx－ｅa+1
および曲線C2：x=a－logyについて、次の問いに答えよ。
(1) 曲線C1とC2の共有点の座標を求めよ。
(2) 曲線C1とC2の概形を描け。
(3) 曲線C1、C2およびy軸で囲まれる図形Dの面積Sを求めよ。
(4) 図形Dと領域y≦0の共通部分の面積が1となるときのaの値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C2の式は、
x=a－logy ⇔ logy=a－x
⇔ y=ｅa-x
と変形できるので、これとC1の式を連立させると、
ｅx －ｅa+1=ｅa-x
⇔ (ｅx)2－(ｅa－1)ｅx－ｅa=0
⇔ (ｅx+1)(ｅx－ｅa)=0．
これより、
ｅx=ｅa （＞0） ⇔ x=a
となるので、
y=ｅa－ｅa+1=1．
よって、C1とC2の交点の座標は、(a，1)
(2)
C1は、曲線y=ｅxのグラフをy軸方向に－ｅa+1だけ
平行移動したものである。
そのy切片は、
ｅ0－ｅa+1=2－ｅa
であり、
(ⅰ) 0＜a＜log2のときは、2－ｅa＞0
(ⅱ) log2≦aのときは、2－ｅa≦0
となる。
一方、C2は、曲線y=ｅ-xのグラフをx軸方向にaだけ平行移動
したものである。
これらを図示すると、下図のようになる。
(3)
(2)の(ⅰ)、(ⅱ)いずれの場合も図形Dの面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^a\ \left\{e^{a-x}-\left(e^x-e^a+1\right)\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-e^{a-x}-e^x+\left(e^a-1\right)x\right]_0^a\end{align*}}$
で求めることができるので、これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S=(e^a-1)\ a\ \ }\end{align*}}$
(4)
図形Dが領域y≦0と共通部分をもつためには、
(2)の(ⅱ)のようになればよい。
C1とx軸の交点のx座標は、
ｅx－ｅa+1=0 ⇔ x=log(ｅ2－1)．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\log (e^a-1)}\left\{-\left(e^x-e^a+1\right)\right\}\ dx=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left[-e^x+(e^a-1)\ x\right]_0^{\log (e^a-1)}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -(e^a-1)+(e^a-1)\log (e^a-1)+e^0=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (e^a-1)\left\{\log (e^a-1)-1\right\}=0\end{align*}}$ ．
a＞0より、ｅa≠1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log (e^a-1)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ e^a=e+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\log(e+1)\ \ }\end{align*}}$
特に難しい計算もなく、そのまま誘導に乗っていくだけです。
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第4問
Ｏを原点とする座標平面上に2点A(a，0)、B(0，1)をとる。
ただしa＞0とする。線分ＯA上に点P(p，0)（0≦p＜a）を
とり、点Pから線分ABに下ろした垂線の足をQとする。
次の問いに答えよ。
(1) 線分PQの長さを求めよ。
(2) △BPQを線分ABのまわりに1回転してできる円錐の体積
をVとする。Vをpを用いて表せ。
(3) 0≦p＜aのとき、Vの最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
直線ABの式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x}{a}+\frac{y}{1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x+ay-a=0\end{align*}}$
であり、P(p，0)からの距離は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PQ=\frac{\left|p+0-a\right|}{\sqrt{1^2+a^2}}=\underline{\ \frac{a-p}{\sqrt{1+a^2}}\ \ \ \ (\because p\lt a)\ \ }\end{align*}}$
(2)
△BPQと△BPＯに三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BQ=\sqrt{BP^2-PQ^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{(OB^2+OP^2)-PQ^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{1+p^2+\left(\frac{a-p}{\sqrt{1+a^2}}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{a^2p^2+2ap+1}{1+a^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{ap+1}{\sqrt{1+a^2}}\ \ \ \ \ (\because ap+1>0)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\ \pi\cdot PQ^2 \cdot BQ\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi\ (a-p)^2(ap+1)}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\ \ }\end{align*}}$
(3)
pの関数ｆ(p)を
ｆ(p)=(a－p)2(ap+1) （0≦p＜a）
と定めると、
ｆ’(p)=－2(a－p)(ap+1)+(a－p)2･a
=(p－a)(3ap－a2+2)
となるので、ｆ’(p)=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=a\ \ ,\ \ \frac{a^2-2}{3a}\end{align*}}$
のときである。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{a^2-2}{3a}\end{align*}}$
とおくと、a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a-b=a-\frac{a^2-2}{3a}=\frac{2a^2+2}{3a}>0\end{align*}}$
となるので、常に b＜a である。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{\left(a-\sqrt2\right)\left(a+\sqrt2\right)}{3a}\end{align*}}$
なので、
(ⅰ) 0＜a≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ のとき、b≦0
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ＜a のとき、0＜b
となる。
(ⅰ)のとき
ｆ(p)の増減表は、次のようになる。
よって、p=0でｆ(p)は最大となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{\pi\ f\ (0)}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}=\underline{\ \frac{\pi\ a^2}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\ \ }\end{align*}}$ ．
(ⅱ)のとき
ｆ(p)の増減表は、次のようになる。
よって、p=bでｆ(p)は最大となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{\pi\ f\ (b)}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\cdot\left(a-\frac{a^2-2}{3a}\right)^2\left(a\cdot \frac{a^2-2}{3a}+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}\cdot\frac{(2a^2+2)^2}{9a^2} \cdot \frac{a^2+1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4\pi(1+a^2)\sqrt{1+a^2}}{81}\ \ }\end{align*}}$
最後に場合分けが必要です。
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