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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012関西大 理系(全学部) 数学1


第1問

  関数 f(x)=x2-2x に対して、次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の極値を求めよ。

 (2) aを正の定数とする。曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線と、
    点(-a,f(-a))における接線が垂直に交わるとき、aの値を求めよ。

 (3) 定積分
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ x\ e^{-2x}\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。

 (4) 曲線y=f(x)、x軸、および直線x=1で囲まれた図形の面積を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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2012関西大 理系(全学部) 数学2



第2問

  xy平面上の曲線
       $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\end{align*}}$
  に対して、次の    をうめよ。

   2つの定点A(-1,0)、B(1,0)と、曲線C上を動く点P(p,q)
  を考える。△APBの重心をGとするとき、Gの座標はp、qを用いて
   ①  と表すことができる。ただし、P(3,0)とP(-3,0)のとき
  のGの座標はそれぞれG(1,0)とG(-1,0)とする。Pが曲線C
  全体を動くとき、Gの描く曲線C’をxy平面上に図示すると ② 
  である。
   C’上の点Q(a,b)における曲線C’の接線Lの方程式は
   ③  =1である。接点Q(a,b)が第1象限にあるとき、Lとx軸
  とy軸で囲まれた三角形の面積をS1とする。第1象限においてQが
  曲線C’上を動くとき、S1の最小値は ④  であり、このときのQ
  の座標は ⑤  である。
   曲線C’とx軸のx≧0である部分とy軸のy≧0である部分で囲ま
  れた図形の面積S2 ⑥  であり、第1象限においてQ(a,b)が
  曲線C’上を動くとき、S1=2S2となるのは、図10のとき
  である。さらにaの値を、2重根号をはずして求めると 図11
  となる。



2012関西大 理系(全学部) 数学3



第3問
 
  n=1,2,3,・・・について、 
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)=\sqrt{(1-\sin x)^n\ \cos x}\end{align*}}$
  とする。また、fn(x)の導関数をf’n(x)と表す。

 (1) f’n(0)の値をnを用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}< x<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で、f’n(x)=0となるxに対して、sinxの
    値を求めよ。

 (3) 曲線y=fn(x)とx軸および2つの直線x=0とx=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ によって
    囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を
    Vnとする。Vnの値および $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N\frac{V_n}{n} \end{align*}}$ の値を求めよ。




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2012関西大 理系(全学部) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) xの多項式2x3+ax+bを2x2-5x-3で割った余りが
        $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{31}{2}\ x-\frac{15}{2}\end{align*}}$
    となるとき、定数a、bの値はa= ①  、b= ②  である。

 (2) 50!が3nで割り切れるような自然数nの最大値は ③  である。

 (3) 次のように数列{an}が定められている。   
       $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=2\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+5}\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
    この数列{an}の一般項はan= ④  である。

 (4) 連立方程式
       logxy+4logyx=4 、 4x-y-3=0
    を解くと、(x,y)= ⑤  である。

 (5) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^n\frac{kn^2}{(k^2+n^2)^2}\end{align*}}$ を求めると ⑥  である。