第3問
ｎ=1，2，3，･･･について、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f_{\ n}(x)=\sqrt{(1-\sin x)^n\ \cos x}\end{align*}}$
とする。また、ｆn(x)の導関数をｆ’n(x)と表す。
(1) ｆ’n(0)の値をｎを用いて表せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}< x<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で、ｆ’n(x)=0となるxに対して、sinxの
値を求めよ。
(3) 曲線y=ｆn(x)とx軸および2つの直線x=0とx=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ によって
囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を
Vnとする。Vnの値および $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^N\frac{V_n}{n} \end{align*}}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆn(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{n(1-\sin x)^{n-1}\cdot (-\cos x)\cdot\cos x+(1-\sin x)^n\cdot(-\sin x)}{\sqrt{(1-\sin x)^n\ \cos x}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-(1-\sin x)^{n-1}\left\{n\ \cos^2 x+(1-\sin x)\sin x\right\}}{2\sqrt{(1-\sin x)^n\ \cos x}}\end{align*}}$ ．
これに cos2x=1－sin2xを代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{-(1-\sin x)^{n}\left\{(n+1)\sin x+n\right\}}{2\sqrt{(1-\sin x)^n\ \cos x}}\end{align*}}$ ････①
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ '(0)=-\frac{1}{n}\ \ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}< x<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ より、－1＜sinx＜1 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ (n+1)\sin x+n=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \sin x=-\frac{n}{n+1}\ \ }\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0< x<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でつねに ｆn(x)＞0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_n=\pi\int_0^{\pi/2}\ \left\{f\ _n(x)\right\}^2\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{\pi/2}\ (1-\sin x)^n\cos x\ dx\end{align*}}$ ．
ここで、ｔ=1－sinxとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-\cos x\end{align*}}$
であり、x：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ /2のとき、ｔ：1→0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_n=\pi\int_1^0\ t^n\ cos x\cdot\frac{dt}{-\cos x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^1\ t^n\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{n+1}\ x^{n+1}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{n+1}\ \ }\end{align*}}$
計算ミスに気をつけましょう。
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- 2018/11/27(火) 01:03:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2012（全学部）
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第4問
次の をうめよ。
(1) xの多項式2x3+ax+bを2x2－5x－3で割った余りが
$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{31}{2}\ x-\frac{15}{2}\end{align*}}$
となるとき、定数a、bの値はa= ① 、b= ② である。
(2) 50！が3nで割り切れるような自然数ｎの最大値は ③ である。
(3) 次のように数列{an}が定められている。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=2\ \ ,\ \ a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+5}\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
この数列{an}の一般項はan= ④ である。
(4) 連立方程式
logxy+4logyx=4 、 4x－y－3=0
を解くと、(x，y)= ⑤ である。
(5) 極限値 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^n\frac{kn^2}{(k^2+n^2)^2}\end{align*}}$ を求めると ⑥ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① －31 ② －15 ③ 22 ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3\cdot 5^{n-1}-1}\end{align*}}$
⑤ (3，9) ⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$
【解説】
(1)
2x2－5x－3=(2x+1)(x－3)と因数分解できるので、
ｆ(x)=2x3+ax+bとし、ｆ(x)を2x2－5x－3で割ったときの
商をｇ(x)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=2x^3+ax+b=(2x+1)(x-3)\ g\ (x)-\frac{31}{2}\ x-\frac{15}{2}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (3)=54+3a+b=-54\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a+b=\frac{1}{4}\end{align*}}$
となり、これらを連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=-31\ \ ,\ \ b=-15\ \ }\end{align*}}$
(2)
33＜50＜34であり、1～50の中に
3の倍数は16個
32の倍数は5個
33の倍数は1個
あるので、ｎの最大値は、16+5+1=22
(3)
a1≠0よりa2≠0、a2≠0よりa3≠0となり、
以下、帰納的にan≠0なので、与式の逆数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+5}{a_n}=1+\frac{5}{a_n}\end{align*}}$ ．････(ア)
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{1}{a_n}\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、(ア)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=5b_n+1\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}+\frac{1}{4}=5\left(b_n+\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
と変形できる。
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{b_n+\frac{1}{4}\right\}\end{align*}}$ は公比5の等比数列になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n+\frac{1}{4}=\left(b_1+\frac{1}{4}\right)\cdot5^{n-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\frac{3\cdot 5^{n-1}-1}{4}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{b_n}=\underline{\ \frac{4}{3\cdot 5^{n-1}-1}\ \ }\end{align*}}$
(4)
真数および底の条件より、x、y＞0 かつ x、y≠1．････(イ)
これより、logxy≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_xy+4\log_yx=4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_xy\frac{4}{\log_xy}+4=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\log_xy)^2-4\log_xy+4=(\log_xy-2)^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_xy=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=x^2\end{align*}}$ ．
これを4x－y－3=0に代入すると、
4x－x2－3=0
⇔ (x－1)(x－3)=0
⇔ x=1，3
(イ)より、x=3となり、このときy=32=9となるので、
(x，y)=(3，9)
(5)
求める極限をＬとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^n\frac{kn^2}{(k^2+n^2)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \sum_{k=1}^n\frac{\frac{k}{n^2}}{\left\{\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right\}^2}\end{align*}}$ ←分子・分母÷ｎ4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{\frac{k}{n}}{\left\{\left(\frac{k}{n}\right)^2+1\right\}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\frac{x}{(x^2+1)^2}\ dx\end{align*}}$ ．
ここで、ｔ=x2+1とおくと、
x：0→1のときｔ：1→2 であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=2x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\int_1^2\frac{x}{t^2}\cdot\frac{dt}{2x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_1^2\frac{1}{t^2}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{t}\right]_1^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$
(2)は非常に有名な問題なんですが、知らないと難しいかもしれません。
似たような問題が2009年の京大（文系）でも出題されていますので、
詳しい解説はそちらを参考にしてください。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-449.html
一番下に書いてあるような数え方で求めています。
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- 2018/11/27(火) 01:04:00|
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