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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012関西学院大 理系(全学部日程) 数学1


第1問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ
  記号がついた    の中に記入せよ。途中の式を書く必要はない。

 (1) 実数xが不等式 (log2x)2-log2(4x)<0 を満たすとする。
    このとき、log2xの範囲は、
           ア  <log2x< イ 
    であるから、xの範囲は
           ウ  <x< エ 
    である。

 (2) 数列 2,3,0,9,-18,63,-180,・・・・ を{an}とするとき、
    {an}の階差数列{bn}は初項  オ  、公比  カ  の等差数列
    である。したがって{an}の一般項は an=  キ  である。

 (3) 円C上に頂点をもつ正8角形A1A2・・・A8の頂点から異なる3点
    を選び、それらを結んで三角形を作る。三角形の作り方は全部で
     ク  通りある。これらの三角形のうち一辺が円Cの直径になる
    ものは  ケ  個ある。また二等辺三角形になるものは  コ 
    個ある。



2012関西学院大 理系(全学部日程) 数学2



第2問

  実数x、yが
         $\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2-4y+2=0\end{align*}}$
  を満たすとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{x}{y}\ \ ,\ \ z=\frac{x^2+4xy+9y^2}{xy+2y^2}\end{align*}}$ 
  とおくとき、次の問いに答えよ。
    
 (1) kのとりうる値の範囲を求めよ。

 (2) zをkの式で表せ。

 (3) zの最小値とそのときのkの値を求めよ。

 (4) zの最小値を与えるxの値は2つある。それらを$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ とするとき、
    $\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ を求めよ。


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2012関西学院大 理系(全学部日程) 数学3



第3問

  座標空間の原点をOとし、3点A(1,0,1)、B(2,-1,0)、
  C(1,1,2)を通る平面を$\small\sf{\alpha}$ とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) yz平面上の点P(0,a,b)が $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=t\ \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ を満たすとき、
    tの値およびa、bの値を求めよ。

 (2) 平面$\small\sf{\alpha}$ 上に点Q(2,0,c)がある。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=s\ \overrightarrow{\sf AB}+t\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ を
    みたすs、tの値およびcの値を求めよ。

 (3) 原点Oから平面$\small\sf{\alpha}$ に垂線OHを下ろすとき、点Hの座標を
    求めよ。また、線分OHの長さを求めよ。




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2012関西学院大 理系(全学部日程) 数学4



第4問

  aを定数とし、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos 2x-(a+2)\cos x+a+1}{\sin x}\end{align*}}$
  とするとき、次の問いに答えよ。

 (1) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f\ (x)}{x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ が成り立つように定数aの値を定めよ。

 (3) 上の(2)で求めたaの値に対して定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi /3}^{\pi /2}\frac{1}{f\ (x)}\ dx\end{align*}}$ を
    求めよ。




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