第2問
実数x、yが
$\small\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2-4y+2=0\end{align*}}$
を満たすとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{x}{y}\ \ ,\ \ z=\frac{x^2+4xy+9y^2}{xy+2y^2}\end{align*}}$
とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) ｋのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) zをｋの式で表せ。
(3) zの最小値とそのときのｋの値を求めよ。
(4) zの最小値を与えるxの値は2つある。それらを$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ とするとき、
$\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2-4y+2=0\end{align*}}$ ････①
(1)
①に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{x}{y}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=ky\end{align*}}$ ････②
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ky)^2+y^2-4y+2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (k^2+1)y^2-4y+2=0\end{align*}}$ ････③
③において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^2+1\ne 0\end{align*}}$
なので、③はyについての二次方程式とみなすことができる。
yは実数なので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=2^2-2(k^2+1)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+1\leqq 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -1\leqq k\leqq 1\ \ }\end{align*}}$
(2)
zの式に②を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\frac{(ky)^2+4ky^2+9y^2}{ky^2+2y^2}\end{align*}}$
となり、分子・分母をy2（≠0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ z=\frac{k^2+4k+9}{k+2}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)で得られた式の分子を分母で割ると、
商がｋ+2、余りが5となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=k+2+\frac{5}{k+2}\end{align*}}$
と変形でき、(1)より ｋ+2＞0なので、
相加・相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k+2+\frac{5}{k+2}\geqq 2\sqrt{(k+2)\cdot\frac{5}{k+2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ z\geqq 2\sqrt 5\end{align*}}$ ． ････④
よって、zの最小値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\sqrt5\ \ }\end{align*}}$ ．
また、④の等号が成立するのは、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k+2=\frac{5}{k+2}\ \ \Leftrightarrow\ \ (k+2)^2=5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k=-2+\sqrt5\ \ }\end{align*}}$
のときである。
(4)
(3)で求めたｋと②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=(-2+\sqrt5)y\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{x}{-2+\sqrt5}=(2+\sqrt5)\ x\end{align*}}$
となり、これを①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+(2+\sqrt5)^2\ x^2-4(2+\sqrt5)x+2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (5+2\sqrt5)\ x^2-2(2+\sqrt5)\ x+1=0\end{align*}}$ ．
これの2解が$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ なので、解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha+\beta=\frac{2(2+\sqrt5)}{5+2\sqrt5}=\underline{\ \frac{2}{\sqrt5}\ \ }\end{align*}}$
(3)で、分数式の変形→相加・相乗 の流れに気づきますか？
まぁ、最悪の場合はｋで微分しても構いませんが・・・
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第3問
座標空間の原点をＯとし、3点A(1，0，1)、B(2，-1，0)、
C(1，1，2)を通る平面を$\small\sf{\alpha}$ とするとき、次の問いに答えよ。
(1) yz平面上の点P(0，a，b)が $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=t\ \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ を満たすとき、
ｔの値およびa、bの値を求めよ。
(2) 平面$\small\sf{\alpha}$ 上に点Q(2，0，c)がある。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=s\ \overrightarrow{\sf AB}+t\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ を
みたすs、ｔの値およびcの値を求めよ。
(3) 原点Ｏから平面$\small\sf{\alpha}$ に垂線ＯHを下ろすとき、点Hの座標を
求めよ。また、線分ＯHの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=(-1\ ,\ a\ ,\ b-1)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=(1\ ,\ -1\ ,\ -1)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=t\ \overrightarrow{\sf AB}\ \ \Leftrightarrow\ \ (-1\ ,\ a\ ,\ b-1)=(t\ ,\ -t\ ,\ -t)\end{align*}}$ ．
両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=-1\ \ ,\ \ a=1\ \ ,\ \ b=2\ \ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=(1\ ,\ 0\ ,\ c-1)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=(1\ ,\ -1\ ,\ -1)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=(0\ ,\ 1\ ,\ 1)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AQ}=s\ \overrightarrow{\sf AB}+t\ \overrightarrow{\sf AC}\ \ \Leftrightarrow\ \ (1\ ,\ 0\ ,\ c-1)=(s\ ,\ -s+t\ ,\ -s+t)\end{align*}}$ ．
両辺の成分を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=1\ \ ,\ \ t=1\ \ ,\ \ c=1\ \ }\end{align*}}$
(3)
H(X，Y，Z)とおくと、Hは平面$\scriptsize\sf{\alpha}$ 上にあるので、
一次独立な2つのベクトル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ と実数p、qによって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=p\ \overrightarrow{\sf AB}+q\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ ････①
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=(X-1\ ,\ Y\ ,\ Z-1)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=(1\ ,\ -1\ ,\ -1)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=(0\ ,\ 1\ ,\ 1)\end{align*}}$
なので、①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (X-1\ ,\ Y\ ,\ Z-1)=(p\ ,\ -p+q\ ,\ -p+q)\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (X\ ,\ Y\ ,\ Z)=(p+1\ ,\ -p+q\ ,\ -p+q+1)\end{align*}}$ ････②
ＯH⊥$\scriptsize\sf{\alpha}$ なので、ＯH⊥AB かつ ＯH⊥AC．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf OH}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=0\end{align*}}$
なので、それぞれ計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (p+1)-(-p+q)-(-p+q+1)=(-p+q)+(-p+q+1)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3p-2q=-2p+2q+1=0\end{align*}}$ ．
これをp、qについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=-1\ \ ,\ \ q=-\frac{3}{2}\end{align*}}$
となるので、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\ \left(0\ ,\ -\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OH=\sqrt{0+\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\underline{\ \frac{1}{\sqrt2}\ \ }\end{align*}}$ ．
これくらいだと図がなくても大丈夫ですよね？
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第4問
aを定数とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos 2x-(a+2)\cos x+a+1}{\sin x}\end{align*}}$
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}\end{align*}}$ を求めよ。
(2) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f\ (x)}{x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ が成り立つように定数aの値を定めよ。
(3) 上の(2)で求めたaの値に対して定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi /3}^{\pi /2}\frac{1}{f\ (x)}\ dx\end{align*}}$ を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos 2x-(a+2)\cos x+a+1}{\sin x}\end{align*}}$ ････①
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos ^2x-1}{x^2\ (\cos x+1)}\end{align*}}$ ←分子・分母×(cosx+1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin ^2x}{x^2\ (\cos x+1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\times\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\cos x+1}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\end{align*}}$ ････②
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=-1\cdot\frac{1}{1+1}=\underline{\ -\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos 2x-(a+2)\cos x+a+1}{x\ \sin x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\sin^2x-(a+2)\cos x+a+2}{x\ \sin x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←cosの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(a+2)(1-\cos x)}{x\ \sin x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2-(a+2)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2}\cdot\frac{x}{\sin x}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -2+\frac{1}{2}(a+2)=\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←(1)と②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=3\ \ }\end{align*}}$
(3)
求める定積分をＩとすると、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_{\pi /3}^{\pi /2}\frac{\sin x}{\cos 2x-5\cos x+4}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi /3}^{\pi /2}\frac{\sin x}{2\cos^2x-5\cos x+3}\ dx\end{align*}}$ ←cosの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi /3}^{\pi /2}\frac{\sin x}{(2\cos x-3)(\cos x-1)}\ dx\end{align*}}$ ．
この式において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\cos x\ \ \ \ \left(t\ :\frac{1}{2}\rightarrow 0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-\sin x\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_{\frac{1}{2}}^0\frac{\sin x}{(2t-3)(t-1)}\cdot\frac{dt}{-\sin x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{(2t-3)(t-1)}\ dt\end{align*}}$ ････③
ここで、実数A、Bを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(2t-3)(t-1)}=\frac{A}{2t-3}+\frac{B}{t-1}\end{align*}}$
と変形できるとする。右辺を通分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{(2t-3)(t-1)}=\frac{A(t-1)+B(2t-3)}{(2t-3)(t-1)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(A+2B)t-A-3B}{(2t-3)(t-1)}\end{align*}}$ ．
分子の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+2B=0\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -A-3B=1\end{align*}}$ ．
であり、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=2\ \ ,\ \ B=-1\end{align*}}$ ．
よって、③は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^{\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{2t-3}-\frac{1}{t-1}\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[2\cdot\frac{1}{2}\log|2t-3|-\log|t-1|\right]_0^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 2-\log\frac{1}{2}-(\log 3-\log 1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\log 2-\log3\ \ }\end{align*}}$
(3)で、③は部分分数の形に変形できればOKですね。
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