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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011京都府立医大 数学1


第1問

  Oを原点とする座標平面において、2次正方行列Aの表す1次変換
  をfとする。点(1,0)をPとし、Q=f(P)、R=f(Q)とおくとき、
         $\small\sf{\begin{align*}\sf\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf OQ}+\overrightarrow{\sf OR}=\overrightarrow{\sf 0} \end{align*}}$
  であるとする。

 (1) f(R)=Pであることを証明せよ。

 (2) A2+A+E=Oであることを証明せよ。ここでEは単位行列、Oは
    零行列である。

 (3) PQの長さが$\small\sf{\begin{align*}\sf \sqrt5\end{align*}}$ であり△PQRの面積が $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ であるとき、行列Aを
    すべて求めよ。
 



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2011京都府立医大 数学2



第2問

  1辺の長さが1の立方体について、以下の問いに答えよ。

 (1) 立方体を1枚の平面で切断したときの切り口が三角形で
    あるとき、その三角形は鋭角三角形であることを示せ。

 (2) どのような鋭角三角形Tに対しても、立方体を1枚の平面で
    切断したときの切り口がTと相似になるような切り方が存在
    することを証明せよ。

 (3) 立方体を3枚の平面で切断し、いくつかの立体に切り分ける
    ことを考える。このような切り方の中で、正五角形の面をもつ
    立体を作る方法を説明せよ。




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2011京都府立医大 数学3



第3問

  aを正の実数とする。座標平面において、曲線$\small\sf{\begin{align*}\sf C_1:\ y=\sqrt{a(x+2)}\ \ (x\geqq -2)\end{align*}}$
  と曲線$\small\sf{\begin{align*}\sf C_2:\ y=\sqrt{x^2+2x}\ \ (x\geqq 0)\end{align*}}$ を考える。曲線C1と曲線C2およびx軸で
  囲まれた部分の面積をS1(a)とし、曲線C1と曲線C2および直線x=2a 
  で囲まれた部分の面積をS2(a)とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_{-2}^{2a}\sqrt{a(x+2)}\ dx"> を求めよ。

 (2) f(a)=S1(a)-S2(a)とおく。関数f(a)が極値をとるようなaの値を
    求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*}\sf \int_0^{2a}\sqrt{x^2+2x}\ dx\gt 2a^2\end{align*}}$ であることを証明せよ。

 (4) S1(a)=S2(a)となるようなaが存在することを証明せよ。



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2011京都府立医大 数学4


第4問

  nを5以上の整数とする。平面上に点Oをとる。Oを通る直線上にOA0=1
  となる点A0を一つとる。点Oを中心として直線OA0を正の向きに $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{2\pi}{n}\end{align*}}$ だけ
  回転した直線上にOA1⊥A01となる点A1をとる。次に、点Oを中心として
  直線OA1を正の向きに $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{2\pi}{n}\end{align*}}$ だけ回転した直線上にOA2⊥A12となる点A2
  をとる。以下同様にしてk=3,4,・・・,nについて、点Oを中心として直線
  OAk-1を正の向きに $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{2\pi}{n}\end{align*}}$ だけ回転した直線上にOAk⊥Ak-1kとなる点Ak
  をとる。特に、点Anは線分OA0上の点となる。

 (1) 不等式 $\small\sf{\begin{align*}\sf 1-\frac{x^2}{2}\leq \cos x\end{align*}}$ を証明せよ。

 (2) 線分OAnの長さをrnとする。極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ r_n\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 線分A01、A12、・・・・、An-1nの長さの和をLnとする。極限値
   $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ L_n\end{align*}}$ を求めよ。


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