第1問
次の文章中の に適する式または数値を、解答用紙の同じ
記号がついた の中に記入せよ。途中の式を書く必要はない。
(1) 正の数xが、2･9x+3x－3-x+2･9-x=10 を満たすとする。
ｔ=3x-3-x とおくと、2次方程式 ア =0の解である。
したがって、ｔ= イ である。また、9x－9-x= ウ である。
(2) 放物線y=x2+1と直線y=axが異なる2点P、Qで交わるような
実数aの値の範囲は、
a＜ エ 、 オ ＜a
である。線分PQの中点Ｍの座標をaで表すと カ となるから、
Ｍはaの値によらず放物線y= キ の上にある。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix}\sf 1&0\\ 0 &1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ A=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$ とするとき、A2= ク である。
また実数a、bに対して、
(E+aA)(E+bA)= ケ
(E+aA)-1= コ
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 2ｔ2+ｔ－6 イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{15}{4}\end{align*}}$
エ －2 オ 2 カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a}{2}\ ,\ \frac{a^2}{2}\right)\end{align*}}$ キ 2x2
ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 0 &0\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf a+b\\ 0 & 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf -a\\ 0 & \ 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
【解説】 (1)
ｔ=3x－3-xの両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=(3^x)^2-2\cdot 3^x\cdot 3^{-x}+(3^{-x})^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 9^x+9^{-x}=t^2+2\end{align*}}$
となるので、与式は、
2･9x+3x－3-x+2･9-x=10
⇔ 2(ｔ2+2)+ｔ－10=0
⇔ 2ｔ2+ｔ－6=(2ｔ－3)(ｔ+2)=0 ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{3}{2}\ ,\ -2\end{align*}}$ ．
ここで、x＞0なので、3x＞1 、3-x＜1 となり、
ｔ=3x－3-x＞0
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{3}{2}\ \ }\end{align*}}$ ････①
また、
(3x+3-x)2=9x+2+9-x
=(3x－3-x)2+4
=ｔ2+4
であり、3x＞0、3-x＞0より、
3x+3-x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{t^2+4}\end{align*}}$ ．
よって、
9x－9-x=(3x－3-x)(3x+3-x)
=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\sqrt{t^2+4}\end{align*}}$．
これに①を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 9^x-9^{-x}=\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+4}=\underline{\ \frac{15}{4}\ \ }\end{align*}}$
(2)
2式を連立させると、
x2+1=ax ⇔ x2－ax+1=0 ････②
となり、これが異なる2つの実数解をもてばよいので、
判別式を考えると、
D=a2－4＞0 ⇔ a＜－2、 2＜a．
②の2解をp、qとすると、2つの交点P、Qの座標はそれぞれ
P(p，ap)、 Q(q，aq)
と表すことができるので、PQの中点Ｍ(X，Y)の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ (X\ ,\ Y)=\left(\frac{p+q}{2}\ ,\ \frac{a(p+q)}{2}\right)\end{align*}}$ ････③
ここで、②の解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p+q=a\end{align*}}$
となるので、③に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ (X\ ,\ Y)=\left(\frac{a}{2}\ ,\ \frac{a^2}{2}\right)\end{align*}}$ ．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=2X\end{align*}}$
なので、aを消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{(2a)^2}{2}=2X^2\end{align*}}$ ．
よって、中点Ｍ(X，Y)は放物線y=2x2上にある。
(3)
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 1\\ \sf 0 &\sf 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 0\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、AとEは可換なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (E+aA)(E+bA)=E^2+(a+b)A+A^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}+(a+b)\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\sf 0 &0\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf a+b\\ 0 & 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E+aA=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}+a\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf a\\ 0 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
より、
det(E+aA)=1－0=1
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (E+aA)^{-1}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf -a\\ 0 & 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
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第2問
自然数ｎに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\ (3k^2+5k)\end{align*}}$
とおく。自然数pが与えられたとき、Snがpの倍数になるような
ｎの値を小さい順にa1、a2、a3、･･･とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) Snをｎの式で表し、因数分解せよ。
(2) p=3のとき、a1、a2、a3、a4を求めよ。また、a100を求めよ。
(3) p=3のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{2^{a_k}}\end{align*}}$ を求めよ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ T_n\end{align*}}$ を求めよ。
(4) p=5のとき、a1、a2、a3、a4を求めよ。また、a100を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{3}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{5}{2}n(n+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ n(n+1)(n+3)\ \ }\end{align*}}$
(2)
ｎとｎ+3は3で割った余りが等しいので、
Snが3の倍数になるためには、ｎまたはｎ+1が3の倍数であればよい。
すなわち、ｎは「3の倍数」または「3で割って2余る数」であればよい。
よって、
a1=2、 a2=3、 a3=5、 a4=6
である。
{an}の奇数番目の項は、初項2、公差3の等差数列をなし、
偶数番目の項は、初項3、公差3の等差数列をなすので、
自然数ｍに対して
a2m-1=2+3(ｍ－1)=3ｍ－1
a2m=3ｍ
と表すことができる。
よって、
a100=a2･50=150．
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^{a_n}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{a_n}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^{2n}\left(\frac{1}{2}\right)^{a_k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^n\ \left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{a_{2m-1}}+\left(\frac{1}{2}\right)^{a_{2m}}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^n\ \left\{\left(\frac{1}{2}\right)^{3m-1}+\left(\frac{1}{2}\right)^{3m}\right\}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{m=1}^n\ \left\{2\left(\frac{1}{8}\right)^{m}+\left(\frac{1}{8}\right)^{m}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\sum_{m=1}^n\ \left(\frac{1}{8}\right)^{m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3\cdot\frac{\frac{1}{8}\left\{1-\left(\frac{1}{8}\right)^n\right\}}{1-\frac{1}{8}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{7}\left\{1-\left(\frac{1}{8}\right)^n\right\}\ \ }\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ T_n=\underline{\ \frac{3}{7}\ \ }\end{align*}}$
(4)
Snが5の倍数になるためには、ｎ、ｎ+1、ｎ+3のいずれかが
5の倍数であればよい。
すなわち、ｎは
・5の倍数
・5で割って2余る数
・5で割って4余る数
のいずれかであればよい。
よって、
a1=2、 a2=4、 a3=5、 a4=7
である。
自然数ｍに対して、
第3m－2番目の項は、5で割って2余る数の列になるので、
a3m-2=2+5(ｍ－1)=5ｍ－3．
この式おいて、ｍ=34とすると、
a100=5･34－3=167
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第3問
鋭角三角形ABCの外接円の中心をＯ、重心をG、線分ABを2：1に
内分する点をPとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \angle AOB=\frac{2}{3}\ \pi\ \ ,\ \ \angle BOC=\frac{5}{6}\ \pi\ \ ,\ \ OA=1\end{align*}}$
であるとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とするとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
の値をそれぞれ求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2\end{align*}}$ の値を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OG}\right|^2\end{align*}}$ の値を求めよ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ の値を求めよ。また、三角形ＯPGの面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
外接円の半径は1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=1\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=1\cdot 1\cdot\cos\frac{2}{3}\pi=\underline{\ -\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=1\cdot 1\cdot\cos\frac{5}{6}\pi=\underline{\ -\frac{\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle COA=2\pi-\frac{2}{3}\pi-\frac{5}{6}\pi=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=\underline{\ 0\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
Pは辺ABを2：1に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{3}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2=\frac{1}{9}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+4\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+4|\overrightarrow{\sf b}|^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(1-2+4\right)\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
(3)
Gは△ABCの重心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OG}|^2=\frac{1}{9}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|+2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+2\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(1+1+1-1-\sqrt3+0\right)\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2-\sqrt3}{9}\ \ }\end{align*}}$
(4)
(2)、(3)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf a}+2\overrightarrow{\sf b}}{3}\cdot\frac{\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(|\overrightarrow{\sf a}|^2+2|\overrightarrow{\sf b}|^2+3\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(1+2-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt3}{2}+0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3-2\sqrt3}{18}\ \ }\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OPG=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf OP}|^2|\overrightarrow{\sf OG}|^2-\left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OG}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{3}\cdot\frac{2-\sqrt3}{9}-\left(\frac{3-2\sqrt3}{18}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt3}{36}\ \ }\end{align*}}$
ただただ計算するだけです。
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第4問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x}{1+4x^2}\end{align*}}$
について次の問いに答えよ。
(1) ｆ(x)の極値を求めよ。
(2) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$ を求めよ。
(3) $\small\sf{\sf f(\alpha)=ｆ(\beta)}$ を満たす数を$\small\sf{\alpha,\ \beta\ \ （0\lt\alpha\lt\beta)}$ とするとき、
$\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\beta}$ の値を求めよ。
(4) 上の(3)の条件を満たす$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ に対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\alpha}^{\beta}\ f\ (x)\ dx=\frac{1}{4}\left(\log \beta+\log 2\right)\end{align*}}$
となることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1\cdot(1+4x^2)-x\cdot 8x}{(1+4x^2)^2}=\frac{1-4x^2}{(1+4x^2)^2}\end{align*}}$
となるので、増減表は次のとおり。
よって、
極大 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{4}\ \ \ \left(x=\frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$ 極小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\frac{1}{4}\ \ \ \left(x=-\frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1+4x2)’=8x なので、積分定数をCとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int\ f\ (x)\ dx=\frac{1}{8}\int\frac{(1+4x^2)'}{1+4x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{8}\log\left(1+4x^2\right)+C\ \ }\end{align*}}$
(3)
ｆ($\scriptsize\sf{\alpha}$ )=ｆ($\scriptsize\sf{\beta}$ )より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha}{1+4\alpha^2}=\frac{\beta}{1+4\beta^2}\end{align*}}$
⇔ $\scriptsize\sf{\alpha}$ (1+4$\scriptsize\sf{\beta}$ 2)=$\scriptsize\sf{\beta}$ (1+4$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2)
⇔ ($\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ )+4$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ($\scriptsize\sf{\beta}$ －$\scriptsize\sf{\alpha}$ )=0
ここで、$\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ ≠0なので、
1－4$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =0 ⇔ $\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{4}\ \ }\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{1}{4\beta}\end{align*}}$
であり、これと(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\alpha}^{\beta}\ f\ (x)\ dx=\frac{1}{8}\left\{\log\left(1+4\beta^2\right)-\log\left(1+4\alpha^2\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\log\frac{1+4\beta^2}{1+\frac{1}{4\beta^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\log 4\beta^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\left(2\log 2+2\log \beta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\left(\log \beta+\log 2\right)\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
これまた、そのまま計算するだけです。
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