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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012関西学院大 理系(個別日程) 数学1




第1問

  次の文章中の    に適する式または数値を、解答用紙の同じ
  記号がついた    の中に記入せよ。途中の式を書く必要はない。

 (1) 正の数xが、2・9x+3x-3-x+2・9-x=10 を満たすとする。
    t=3x-3-x とおくと、2次方程式  ア  =0の解である。
    したがって、t= イ  である。また、9x-9-x= ウ  である。

 (2) 放物線y=x2+1と直線y=axが異なる2点P、Qで交わるような
    実数aの値の範囲は、
         a< エ  オ  <a
    である。線分PQの中点Mの座標をaで表すと カ  となるから、
    Mはaの値によらず放物線y= キ  の上にある。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix}\sf 1&0\\ 0 &1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ A=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 0 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$ とするとき、A2= ク  である。
    また実数a、bに対して、
         (E+aA)(E+bA)= ケ 
         (E+aA)-1= コ 
    である。




2012関西学院大 理系(個別日程) 数学2



第2問

  自然数nに対して、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\ (3k^2+5k)\end{align*}}$    
  とおく。自然数pが与えられたとき、Snがpの倍数になるような
  nの値を小さい順にa1、a2、a3、・・・とする。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) Snをnの式で表し、因数分解せよ。

 (2) p=3のとき、a1、a2、a3、a4を求めよ。また、a100を求めよ。

 (3) p=3のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf T_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{1}{2^{a_k}}\end{align*}}$ を求めよ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ T_n\end{align*}}$ を求めよ。

 (4) p=5のとき、a1、a2、a3、a4を求めよ。また、a100を求めよ。



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2012関西学院大 理系(個別日程) 数学3



第3問

  鋭角三角形ABCの外接円の中心をO、重心をG、線分ABを2:1に
  内分する点をPとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \angle AOB=\frac{2}{3}\ \pi\ \ ,\ \ \angle BOC=\frac{5}{6}\ \pi\ \ ,\ \ OA=1\end{align*}}$
  であるとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とするとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
    の値をそれぞれ求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OP}\right|^2\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OG}\right|^2\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ の値を求めよ。また、三角形OPGの面積を求めよ。



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2012関西学院大 理系(個別日程) 数学4



第4問

  関数
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x}{1+4x^2}\end{align*}}$
  について次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の極値を求めよ。

 (2) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) $\small\sf{\sf f(\alpha)=f(\beta)}$ を満たす数を$\small\sf{\alpha,\ \beta\ \ (0\lt\alpha\lt\beta)}$ とするとき、
    $\small\sf{\alpha}$ $\small\sf{\beta}$ の値を求めよ。

 (4) 上の(3)の条件を満たす$\small\sf{\alpha,\ \beta}$ に対して、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\alpha}^{\beta}\ f\ (x)\ dx=\frac{1}{4}\left(\log \beta+\log 2\right)\end{align*}}$
    となることを示せ。



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