FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012京都府立医大 数学1



第1問

  xを実数とし、3辺の長さが1,xおよび2-xの三角形を考える。

 (1) xの取り得る値の範囲を求めよ。

 (2) 長さ1の辺と長さxの辺のなす角の大きさを$\small{\theta}$ とするとき、
    $\small{\cos\theta}$ をxを用いて表せ。

 (3) 三角形の面積をxを用いて表せ。

 (4) 三角形を長さxの辺のまわりに1回転させてできる立体の体積を
    V(x)とおく。V(x)の最大値とそのときのxの値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/03(水) 04:01:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012京都府立医大 数学2



第2問

  平面上に原点Oを外心とする△ABCがあり
         $\small\sf{\begin{align*}\sf 7\overrightarrow{\sf OA}+x\overrightarrow{\sf OB}+y\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$    
  が成り立っているとする。ただし、x>0、y>0とする。点Aを通り
  直線OAに垂直な直線をLとする。直線Lは直線BCと交わるとし、
  その交点をDとする。このとき点Cは線分BD上にあるとする。
  ∠ADBの2等分線と辺AB、辺ACとの交点をそれぞれP、Qとする。

 (1) AP=AQであることを証明せよ。

 (2) △APQが正三角形となる整数x、yの組をすべて求めよ。

 (3) △ABCと△APQの面積をそれぞれS1、S2とする。(2)で求めた
    x、yのうちx+yが最大になるものについて、$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{S_2}{S_1}\end{align*}}$ を求めよ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/03(水) 04:02:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012京都府立医大 数学3



第3問

  四面体ABCDがあり、辺ACと辺BDは辺ABに垂直であるとし、
  面ABCと面ABDは垂直に交わるとする。辺ABの長さを1とし、
  辺ACの長さをa、辺BDの長さをbとおく。次に、点Cを通り直線
  ABに垂直である平面をKとおく。四面体に内接する球の半径を
  rとおき、球の中心から平面Kに下ろした垂線の長さをcとおく。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{r}{c}\end{align*}}$ をbを用いて表せ。

 (2) rをa、bを用いて表せ。

 (3) a=1とする。線分ABの中点を通り直線ABと垂直に交わる
    平面をHとおく。四面体に内接する球が平面Hと共有点を持た
    ないようなbの範囲を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/03(水) 04:03:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2012京都府立医大 数学4



第4問

  2以上の整数nに対し
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf=\int_{2(n-1)\pi\ }^{2n\pi}\frac{1-\cos x}{x-\log (1+x)}\ dx\end{align*}}$
  とおく。
    
 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf \rm I_{\sf n}\sf\leqq \frac{2\pi}{2(n-1)\pi-\log(1+2(n-1)\pi)}\end{align*}}$ であることを証明せよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n\ \rm I_{\sf n}\sf=1\end{align*}}$ であることを証明せよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\log x}{x}=0\end{align*}}$
    であることは証明なしに用いてもよい。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/03(水) 04:04:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .京都府立医大 2012
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0