青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2010甲

2010京都大　理系数学（甲）１

第１問

　　１から５までの自然数を１列に並べる。どの並べ方も同様の確からしさ
　　で起こるものとする。このとき１番目と２番目と３番目の数の和と、
　　３番目と４番目と５番目の数の和が等しくなる確率を求めよ。ただし、
　　各並べ方において、それぞれの数字は重複なく１度ずつ用いるものとする。

解答はこちら↓

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2012/08/27(月) 23:42:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2010甲

| トラックバック:0

| コメント:0

2010京都大　理系数学（甲）２

第２問

　　四面体ＡＢＣＤにおいて、 $\rm \overrightarrow{\rm CA}$ と $\rm \overrightarrow{\rm CB}$ 、 $\rm \overrightarrow{\rm DA}$ と $\rm \overrightarrow{\rm DB}$ 、 $\rm \overrightarrow{\rm AB}$ と $\rm \overrightarrow{\rm CD}$ はそれぞれ
　　垂直であるとする。このとき、頂点Ａ、頂点Ｂおよび辺ＣＤの中点Ｍの
　　３点を通る平面は辺ＣＤと垂直であることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　仮定より、
　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm CA}\perp\overrightarrow{\rm CB}\ ,\ \overrightarrow{\rm DA}\perp \overrightarrow{\rm DB}\ ,\ \overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm CD}$
　　　　なので、それぞれの内積を考えると、

　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm CB}=\left( -\overrightarrow{\rm AC}\right)\cdot \left( \overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AC}\right)=-\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}+\left| \overrightarrow{\rm AC}\right|^2=0$
　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=\left| \overrightarrow{\rm AC}\right|^2\ \ \ldots(i)$

　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm DA}\cdot\overrightarrow{\rm DB}=\left( -\overrightarrow{\rm AD}\right)\cdot \left( \overrightarrow{\rm AB}-\overrightarrow{\rm AD}\right)=-\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AD}+\left| \overrightarrow{\rm AD}\right|^2=0$
　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AD}=\left| \overrightarrow{\rm AD}\right|^2\ \ \ldots(ii)$

　　　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{\rm AB}\cdot \left( \overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AC}\right)=\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AD}- \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=0$
　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AD}\ \ \ldots(iii)$

　　　　(i)～(iii)より、
　　　　　　 $\rm \left|\overrightarrow{\rm AC}\right|^2=\left| \overrightarrow{\rm AD}\right|^2\ \ \ldots(iv)$

　　ここまでが条件です。
　　平面ＡＢＭ上の２直線と辺ＣＤが垂直であることが言えれば、
　　平面ＡＢＭ⊥辺ＣＤとなりますね。

　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm AM}\cdot\overrightarrow{\rm CD}=\frac{\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm AD}}{2}\cdot\left(\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AC}\right)=\frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{\rm AD}\right|^2-\left|\overrightarrow{\rm AC}\right|\right)=0\ \ (\because\ (iv))$
　　　　なので、ＡＭ⊥ＣＤ

　　　　 $\rm \overrightarrow{\rm BM}\cdot\overrightarrow{\rm CD}=\left(\frac{\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm AD}}{2}-\overrightarrow{\rm AB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AC}\right)$
　　　　　　　　 $\rm=\frac{1}{2}\left( \left| \overrightarrow{\rm AD}\right|^2-\left|\overrightarrow{\rm AC}\right|\right)+\left( \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AD}\right)=0\ \ (\because\ (iii),(iv))$
　　　　なので、ＢＭ⊥ＣＤ

　　　　以上より、平面ＡＢＭ⊥辺ＣＤがいえる。

　　
解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2012/08/27(月) 23:45:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2010甲

| トラックバック:0

| コメント:0

2010京都大　理系数学（甲）３

第３問

　　ｘを正の実数とする。座標平面上の３点Ａ(０，１)、Ｂ(０，２)、Ｐ(ｘ，ｘ)をとり、
　　△ＡＰＢを考える。ｘの値が変化するとき、∠ＡＰＢの最大値を求めよ。

　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ｘｙ平面上で２直線のなす角を求めるには、
　　　　① 直線の傾きからtanの加法定理にもちこむ
　　　　　　　（２直線の位置関係によって場合分けが生じる場合がある）
　　　　② 直線の方向ベクトル(または法線ベクトル)の内積を用いる
　　　　　　　（計算が複雑になりやすい）
　　の２つの方法が一般的ですが、どちらの方法も一長一短があるので、
　　ここでは、まったく違った方向から解いてみることにします。

　　　　∠ＡＰＢ＝θとおく。
　　　　点Ｐは線分ＡＢを直径とする円の外部にあるので
　　　　(図１)、θは鋭角である。

　　　　△ＡＢＰの外接円の半径をＲとすると、
　　　　正弦定理より
　　　　　　　　 $\rm \frac{AB}{\sin \theta}=2R\ \Leftrightarrow\ \sin\theta=\frac{AB}{2R}=\frac{1}{2R}$ ･････①
　　　　θは鋭角なので、θが最大となるためには
　　　　sinθが最大であればよい。
　　　　すなわち、Ｒが最小のときθは最大となる。

　　　　△ＡＢＰの外接円の半径Ｒが最小になるのは、
　　　　外接円が直線ｙ＝ｘに接するときである(図２)。

　　　　この円の中心Ｃは弦ＡＢの垂直二等分線上に
　　　　あるので、その座標は、実数ｃを用いて
　　　　　　　　 $\rm C\left( c\ ,\ \frac{3}{2}\right)$
　　　　と表せる。
　　　　円と直線ｙ＝ｘが接するので、
　　　　　　Ｃから直線ｘ－ｙ＝０までの距離＝ＡＣ
　　　　となればよい。
　　　　　　　　 $\rm \frac{|c-\frac{3}{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{c^2+\left(\frac{3}{2}-1\right)^2}$
　　　　両辺を２乗して、方程式を解くと、
　　　　　　　　 $\rm c=\frac{1}{2}\ ,\ -\frac{7}{2}$
　　　　∠ＡＰＢは鋭角なので、中心Ｃと点Ｐは弦ＡＢに関して
　　　　同じ側になければならない。
　　　　よって、
　　　　　　　　 $\rm c=\frac{1}{2}\ \ (>0)$
　　　　このとき、円の半径Ｒは
　　　　　　　　 $\rm R=\frac{|\frac{1}{2}-\frac{3}{2}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt2}$
　　　　①より、
　　　　　　　　 $\rm \sin \theta=\frac{1}{2\times \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt2}$
　　　　θは鋭角なので、θ＝45°

　　　　以上より、∠ＡＰＢの最大値は45°となる。

　
　　　　
解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2012/08/27(月) 23:48:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2010甲

| トラックバック:0

| コメント:0

2010京都大　理系数学（甲）４

第４問

　　数列{ａ_n}は、すべての正の整数ｎに対して、
　　　　　　　　 $\rm 0\leq 3a_n\leq \sum_{k=1}^n\ a_k$ 　　　　
　　を満たしているとする。このとき、すべてのｎに対して
　　ａ_n＝０であることを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　すべてのｎに対してａ_n＝０となることを、数学的帰納法で示す。　

　(ⅰ) ｎ＝１のとき
　　　　条件式より、０≦３ａ₁≦ａ₁となり、
　　　　これを解くと、０≦ａ₁≦０なので、ａ₁＝０．

　(ⅱ) ｎ≦ｍ（ｍ：自然数）で常に成り立つと仮定する。
　　　　すなわち、
　　　　　　ａ₁＝ａ₂＝････＝ａ_m＝０　････①
　　　　ｎ＝ｍ＋１のとき
　　　　条件式より
　　　　　　　　　　 $\rm 0\leq 3a_{m+1}\leq \sum_{k=1}^{m+1} a_k$
　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leq 3a_{m+1}\leq 0+0+\ldots +0+a_{m+1}$ 　　←①より
　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leq a_{m+1}\leq 0$
　　　　　　　　 $\rm \ \ \Leftrightarrow\ \ a_{m+1}=0$
　　　　となるので、ｎ＝ｍ＋１のときも成り立つ。

　　以上より、全ての自然数ｎに対してａ_n＝０となる。

　　普通に帰納法ですね。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2012/08/27(月) 23:51:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2010甲

| トラックバック:0

| コメント:0

2010京都大　理系数学（甲）５

第５問

　　ａを正の実数とする。座標平面において曲線ｙ＝sinｘ（０≦ｘ≦π）と
　　ｘ軸とで囲まれた図形の面積をＳとし、曲線ｙ＝sinｘ（０≦ｘ≦π/2）、
　　曲線ｙ＝ａcosｘ（０≦ｘ≦π/2）およびｘ軸で囲まれた図形の面積を
　　Ｔとする。このときＳ：Ｔ＝３：１となるようなａの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　まず、Ｓを求める。(右図の青色部分)
　　　　 $\rm S=\int_0^{\pi}\sin x\ dx=[-\cos x]_0^{\pi}=2$ ･････①

　　次に、ｙ＝sinｘとｙ＝ａcosｘの交点を求める。
　　　　sinｘ＝ａcosｘ
　　この式はｘ＝π/2では成り立たないので、
　　両辺をcosｘ（≠０）で割る。
　　　　　tanｘ＝ａ
　　これを満たすｘの値をｐとおく。
　　すなわち、tanｐ＝ａ　(０＜ｐ＜π/2)

　　一方、Ｔは右図の赤色部分の面積なので、
　　　　　 $\rm T=\int_0^{p}\sin x\ dx+\int_p^{\frac{\pi}{2}}a\cos x\ dx$
　　　　　　 $\rm =[-\cos x]_0^{p}+a[\sin x]_p^{\frac{\pi}{2}}$
　　　　　　 $\rm =-\cos p+1+a-a\sin p$ ･････②

　　Ｓ：Ｔ＝３：１なので、①、②より
　　　　　 $\rm T=-\cos p+1+a-a\sin p=\frac{2}{3}$
　　これにａ＝tanｐを代入すると、
　　　　　 $\rm -\cos p+1+\tan p-\tan p\sin p=\frac{2}{3}$
　　両辺にcosｐをかけて整理すると、
　　　　　cosｐ＝３－３sinｐ
　　これと、sin²ｐ＋cos²ｐ＝１より、
　　　　　sin²ｐ＋(３－３sinｐ)²＝１
　　０＜ｐ＜π/2より、０＜sinｐ＜１の範囲でこれを解くと、
　　　　　 $\rm \sin p=\frac{4}{5}\ ,\ \cos p=\frac{3}{5}$

　　よって、 $\rm a=\tan p=\frac{\sin p}{\cos p}=\frac{4}{3}$
　　　　　

　　最後の計算が雑ですが、まぁ問題ないでしょ。

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2012/08/27(月) 23:54:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2010甲

| トラックバック:0

| コメント:0

2010京都大　理系数学（甲）６

第６問

　　座標空間内で、Ｏ(０，０，０)、Ａ(１，０，０)、Ｂ(１，１，０)、
　　Ｃ(０，１，０)、Ｄ(０，０，１)、Ｅ(１，０，１)、Ｆ(１，１，１)、
　　Ｇ(０，１，１)を頂点にもつ立方体を考える。この立方体を
　　対角線ＯＦを軸にして回転させて得られる回転体の体積を
　　求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　求める回転体を３つの部分に分けて考える。
　　　　　(ア) 辺ＯＡを回転させてできる円錐Ｓ
　　　　　　　　(辺ＯＣ、ＯＤを回転させても同じ円錐ができる)
　　　　　(イ) 辺ＦＢを回転させてできる円錐Ｔ
　　　　　　　　(辺ＦＥ、ＦＧを回転させても同じ円錐ができる)
　　　　　(ウ) 辺ＡＥを回転させてできる立体Ｕ
　　　　　　　　(辺ＡＢ、ＣＢ、ＣＧ、ＤＥ、ＤＧを回転させても同じ立体ができる)

　　　　(ア)について
　　　　　平面ＯＡＦＧで考えると、
　　　　　　　 $\rm AF=\sqrt2\ \ ,\ \ OF=\sqrt3$
　　　　　ＡからＯＦに下ろした垂線の足をＡ’とすると、
　　　　　△ＯＡＦ∽△ＯＡ’Ａなので、
　　　　　　　 $\rm AA'=OA\times \frac{AF}{OF}=\frac{\sqrt6}{3}$ ．
　　　　　　△ＯＡ’Ａで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　 $\rm OA'=\sqrt{1^2-\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt3}{3}$
　　　　　　この円錐は、底面の半径はＡＡ’と一致し、
　　　　　　高さがＯＡ’となるので、その体積Ｖ_Sは、
　　　　　　　 $\rm V_S=\pi\times\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^2\times \frac{\sqrt3}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt3}{27}\ \pi$

　　　　(イ)について
　　　　　　ＢからＯＦに下ろした垂線の足をＢ’とすると、
　　　　　　(ア)と同様に、
　　　　　　　　 $\rm BB'=\frac{\sqrt6}{3}\ \ ,\ \ FB'\ =\frac{\sqrt3}{3}$
　　　　　　となるので、その体積Ｖ_Tは、
　　　　　　　　 $\rm V_T=\frac{2\sqrt3}{27}\ \pi$

　　　　(ウ)について
　　　　　　辺ＡＢ上にＡＰ＝ｘ（０≦ｘ≦１）となる点Ｐをとり、
　　　　　　△ＯＡＰ、ＦＢＰでそれぞれ三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　ＯＰ²＝１＋ｘ²
　　　　　　　　ＰＦ²＝１＋(１－ｘ)²＝ｘ²－２ｘ＋２．
　　　　　　次に、ＰからＯＦに垂線ＰＰ’を下ろし、ＯＰ’＝ｔとおくと、
　　　　　　Pが点ＡからＢまで動くとき、Ｐ’はＡ’からＢ’まで動くので、
　　　　　　　　　　　 $\rm \frac{\sqrt3}{3}\leq t \leq \frac{2\sqrt3}{3}$ ････①
　　　　　　一方、△ＯＰＰ’と△ＦＰＰ’でそれぞれ三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　　　Ｐ’Ｐ²＝ＯＰ²－Ｐ’Ｏ²＝ＰＦ²－Ｐ’Ｆ²
　　　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ P\ 'P^2=(x^2+1)-t^2=(x^2-2x+2)-(\sqrt3 -t)^2$
　　　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt3\ t-1$
　　　　　　このとき、
　　　　　　　　 $\rm P\ 'P^2=\left(\sqrt3\ t-1 \right)^2+1-t^2=2t^2-2\sqrt3\ t+2$
　　　　　　立体Ｕを回転軸ＯＦに垂直な平面で切ったときの断面は、
　　　　　　半径がＰ’Ｐの円になるので、Ｕの体積Ｖ_Uは、
　　　　　　①の範囲で断面積を積分することによって求められる。
　　　　　　　　 $\rm V_U=\pi\ \int_{\frac{\sqrt3}{3}}^{\frac{2\sqrt3}{3}} \ \left( 2t^2-2\sqrt3\ t+2 \right)\ dt$
　　　　　　これを計算すると、
　　　　　　　　 $\rm V_U=\frac{5\sqrt3}{27} \ \pi$

　　　　以上より、求める体積は、
　　　　　　　　 $\rm V_S+V_T+V_U=\frac{2\sqrt3}{27} \ \pi+\frac{2\sqrt3}{27} \ \pi+\frac{5\sqrt3}{27} \ \pi=\underline{\ \frac{\sqrt3}{3} \ \pi\ \ }$

　　これが文系との共通問題というのが信じられない・・・・
　　　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2012/08/27(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2010甲

| トラックバック:0

| コメント:0