青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.京都薬科大　2011

2011京都薬科大　数学１

第1問

　　次の　　　にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。
　　ただし、分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

　(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\frac{5}{6}}}}}\end{align*}}$ を簡単にすると、となる。

　(2) 整式x²⁰¹¹をx²+1で割った余りは、　ウ　となる。

　(3) 対数方程式
　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \log_{x-1}(x^3-3x^2-x+3)=2\end{align*}}$
　　　を解くと、x=　エ　となる。

　(4) －90°＜x＜0°において、
　　　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=8\end{align*}}$
　　　のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \tan\frac{x}{2}=\end{align*}}$ 　オ　となる。

　(5) 第1項から第ｎ項（ｎ=1，2，3，･･･）までの和が3ｎ²－ｎ
　　　である数列の第100項の数は　カ　である。

　　　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア 34　　　　イ 69　　　　ウ－x

　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3+\sqrt{17}}{2}\end{align*}}$　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{8}\end{align*}}$　　　　カ 596

【解説】

　(1)
　　　与えられた分数をAとおくと、　
　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4\times 6}{\left(1+\frac{5}{6}\right)\times 6}}}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3\times 11}{\left(1+\frac{24}{11}\right)\times 11}}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{33}{35}}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+\frac{2\times 35}{\left(1+\frac{33}{35}\right)\times 35}}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1\times 34}{\left(1+\frac{70}{68}\right)\times 34}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{34}{69}\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　x²⁰¹¹をx²+1で割った商をP(x)とおく。
　　　また、二次式で割ったときの余りは、一次式なので、
　　　　　　x²⁰¹¹=(x²+1)P(x)+ax+b
　　　と表すことができる。（ただし、a、bは実数）
　　　これにx=ｉ（ｉは虚数単位）を代入すると、
　　　　　　ｉ²⁰¹¹=(ｉ²+1)P(ｉ)+aｉ+b　････①
　　　ｉ²=－1、ｉ⁴=1なので、
　　　　　　ｉ²⁰¹¹=(ｉ⁴)⁵⁰²･ｉ²･ｉ=－ｉ
　　　となり、①は、
　　　　　　－ｉ=0+aｉ+b．
　　　a、bは実数なので、成分を比較すると、
　　　　　　　a=－1、b=0．
　　　よって、求める余りは、－x となる。

　(3)
　　　まず、底および真数の条件より、
　　　　　　x－1＞0 かつ x－1≠1　････②
　　　　　　x³－3x²－x+3=(x－3)(x－1)(x+1)＞0
　　　　　⇔　x＜－1、1＜x＜3　････③
　　　与えたれた方程式より、
　　　　　　　　x³－3x²－x+3=(x－1)²
　　　　　　⇔　x³－4x²+x+2=0
　　　　　　⇔　(x－1)(x²－3x－2)=0 ．
　　　これを解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=1\ ,\ \frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\end{align*}}$
　　　となり、このうちで②、③を満たすものは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\underline{\ \frac{3+\sqrt{17}}{2}\ \ }\end{align*}}$

　(4)
　　　両辺＞0なので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=8\ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\cos x=64(1-\cos x)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos x=\frac{63}{65}\end{align*}}$　････④
　　　一方、tanの半角公式より、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\end{align*}}$
　　　であり、これに④を代入すると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\frac{63}{65}}{1+\frac{63}{65}}=\frac{1}{64}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -90^{\circ}\lt x<0^{\circ}\ \ \Leftrightarrow\ \ -45^{\circ}<\frac{x}{2}<0^{\circ}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \tan\frac{x}{2}=-\frac{1}{8}\ \ (<0)\ \ }\end{align*}}$

　(5)
　　　第1項から第ｎ項までの和をS_n=3ｎ²－ｎとおくと、
　　　ｎ≧2のｎに対して、
　　　　　　　　a_n=S_n－S_n-1
　　　　　　　　　 =(3ｎ²－ｎ)－{3(ｎ－1)²－(ｎ－1)}
　　　　　　　　　 =6ｎ－4．
　　　（ｎ=1のときも a₁=S₁=2となり、これを満たす。）
　　　よって、
　　　　　　　a₁₀₀=6･100－4= 596

　　ここは確実に！　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/24(土) 01:01:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.京都薬科大　2011

| トラックバック:0

| コメント:0

2011京都薬科大　数学２

第2問

　　あるジュースにはおまけとして1本につき1つのキャラクターグッズ
　が付いている。キャラクターグッズは全部で6種類あり、現在2種類
　持っているとする。各キャラクターグッズは、同じ割合で封入されている
　とし、以下の　　　にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。
　ただし、分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

　(1) 今からカウントして、3種類目のキャラクターグッズを得るまでに
　　　購入するジュースの本数をXとする。
　　　(a) X=1となる確率は　ア　である。
　　　(b) X=2となる確率は　イ　である。
　　　(c) X=ｋとなる確率をP(ｋ)とおくと、
　　　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ k\ P\ (k)=\end{align*}}$ 　ウ　
　　　　　となる。

　(2) ジュースを5本まとめ買いしたとする。
　　　(a) この5本のおまけの中に、少なくとも1つは、現在持っていない
　　　　　キャラクターグッズが含まれる確率は　エ　である。

　　　(b) 現在持っていないキャラクターグッズを、ちょうど1つだけ得る
　　　　　確率は　オ　である。

　　　(c) 現在持っていないキャラクターグッズ4種類をA、B、C、Dとする。
　　　　　 5つのおまけの中で、Aが2つBが1つ、残り2つはすでに持って
　　　　　いるキャラクターグッズが出る確率は　カ　である。

　　　(d) 現在持っていないキャラクターグッズ2種類をちょうど1つずつだけ
　　　　　（残り3つはすでに持っているキャラクターグッズを）得る確率は
　　　　　　キ　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{9}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left\{3-\left(2n+3\right)\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\}\end{align*}}$　　

　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{242}{243}\end{align*}}$　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{243}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{324}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{81}\end{align*}}$　　　　

【解説】

　　　　6種類のうち、まだ持っていない4種類をA、B、C、D、
　　　　すでに持っている2種類をE、Fとする。

　(1)
　　　(a)　E、Fのいずれかであればよいので、確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{6}=\underline{\ \frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
　　　(b)　1本目はE、Fのいずれかで、2本目がA～Dのどれか
　　　　　　であればよいので、確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{6}\cdot\frac{4}{6}=\underline{\ \frac{2}{9}\ \ }\end{align*}}$

　　　(c) 1～(k-1)本目はE、Fのいずれかで、ｋ本目がA～Dの
　　　　　いずれかであればよいので、確率は、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ (k)=\left(\frac{2}{6}\right)^{k-1}\cdot\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\end{align*}}$ ．
　　　　　　求める和を
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\ k\ P\ (k)=\frac{2}{3}\sum_{k=1}^n\ k\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\end{align*}}$
　　　　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{2}{3}\left\{1\cdot 1+2\cdot\frac{1}{3}+3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+\ldots+n\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}S_n=\frac{2}{3}\left\{1\cdot\frac{1}{3} +2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2+3\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3+\ldots+(n-1)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}+n\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right\}\end{align*}}$ ．
　　　　　　これらの差をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}S_n=\frac{2}{3}\left\{1+\frac{1}{3} +\left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^3+\ldots+\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}-n\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left\{\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}-n\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right\}\end{align*}}$
　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S_n=\underline{\ \frac{1}{2}\left\{3-\left(2n+3\right)\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\}\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　(a) 5つともA～Dになる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\right)^5\end{align*}}$ なので、
　　　　　余事象を考えると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\left(\frac{4}{6}\right)^5=\underline{\ \frac{242}{243}\ \ }\end{align*}}$

　　　(b) 5つのうち、A～Dが1個、F～Eを4個となればよいので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{6}\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^4\cdot_5C_1=\underline{\ \frac{10}{243}\ \ }\end{align*}}$

　　　(c) 5つのうち、Aが2個、Bが1個、F～Eが2個となればよいので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^2\cdot\frac{5\ !}{2\ !\ 2\ !}=\underline{\ \frac{5}{324}\ \ }\end{align*}}$

　　　(d) 5つのうち、A～Dの中から異なる2種類を1個ずつ、
　　　　　 F～Eが3個となればよいので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{_4C_2\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\right\}\cdot\left(\frac{2}{6}\right)^3\cdot\frac{5\ !}{3\ !}=\underline{\ \frac{10}{81}\ \ }\end{align*}}$

　　(2)も順序も考慮に入れること！　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/24(土) 01:02:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.京都薬科大　2011

| トラックバック:0

| コメント:0

2011京都薬科大　数学３

第3問

　　次の　　　にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。
　　ただし、分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

　　ｔ＞0とする。放物線y=x²上の点P(ｔ，ｔ²)における接線L₁と
　　x軸との交点Aのx座標は　ア　である。原点Ｏおよび2点P、
　　Aを通る放物線の方程式は
　　　　　　　　　　　y=　イ　 x²－　ウ　 x
　　であり、
　　この放物線の原点における接線L₂の方程式は、
　　　　　　　　　　　y=－　エ　 x
　　である。2直線L₁とL₂の交点の座標は(　オ　，－　カ　 )で
　　あり、放物線y=x²と2直線L₁、L₂で囲まれた図形の面積は
　　　キ　である。
　　点Pを通り、L₁に垂直な直線L₃の方程式は、
　　　　　　　　　　　y=－　ク　 x+　ケ　
　　であり、L₃とy軸および曲線y=x²（x≧0）で囲まれた図形の
　　面積は　コ　である。そして、　コ　：　キ　 =6：1となる
　　のは、ｔ=　サ　のときである。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{2}\end{align*}}$　　　　イ 2　　　　ウｔ　　　　エｔ　　　

　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{3}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t^2}{3}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t^3}{6}\end{align*}}$　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2t}\end{align*}}$

　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2t^3}{3}+\frac{t}{4}\end{align*}}$　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$

【解説】

　　放物線C₁：y=x²の導関数は、y’=2x なので、
　　点P(ｔ，ｔ²)における接線L₁の方程式は、
　　　　L₁：y－ｔ²=2ｔ(x－ｔ)　⇔　y=2ｔx－ｔ²　
　　となり、これとx軸の交点Aのx座標は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{t}{2}\ \ }\end{align*}}$
　　である。

　　3点Ｏ、A、Pを通る放物線を
　　　　　　　C₂：y=ax²+bx+c
　　とおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=a\left(\frac{t}{2}\right)^2+b\cdot\frac{t}{2}+c\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=at^2+bt+c\end{align*}}$
　　となり、これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=2\ \ ,\ \ b=-t\ \ ,\ \ c=0\end{align*}}$ ．
　　よって、C₂の方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=2x^2-tx\ \ }\end{align*}}$ ．
　　この放物線の導関数は、y’=4x－ｔとなるので、
　　原点における接線L₂の方程式は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ L_2:\ y=-t\ x\ \ }\end{align*}}$
　　となる。

　　L₁とL₂の交点をQとすると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2tx-t^2=-tx\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{t}{3}\end{align*}}$
　　より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q\ \left(\frac{t}{3}\ ,\ -\frac{t^2}{3}\right)\ \ }\end{align*}}$
　　となる。

　　C₁と2直線L₁、L₂で囲まれた図形の面積をS₁とすると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_0^{\frac{t}{3}}\left\{x^2-(-tx)\right\}\ dx+\int_{\frac{t}{3}}^t\left\{x^2-(2tx-t^2)\right\}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{x^3}{3}+\frac{tx^2}{2}\right]_0^{\frac{t}{3}}+\left[\frac{x^3}{3}-tx^2+t^2x\right]_{\frac{t}{3}}^t\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{t^3}{6}\ \ }\end{align*}}$

　　点P(ｔ，ｔ²)を通り、L₁：y=2ｔx－ｔ²に垂直な直線L₃の
　　方程式は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_3:\ y-t^2=-\frac{1}{2t}(x-t)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{1}{2t}\ x+t^2+\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
　　であり、L₃とy軸および曲線y=x²（x≧0）で囲まれた
　　図形の面積をS₂とすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_0^t\left\{\left(-\frac{1}{2t}\ x+t^2+\frac{1}{2}\right)-x^2\right\}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{x^2}{4t}+t^2x+\frac{x}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^t\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2t^3}{3}+\frac{t}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　S₂：S₁=6：1より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2t^3}{3}+\frac{t}{4}\ :\ \frac{t^3}{6}=6:1\ \ \Leftrightarrow\ \ t^3=\frac{2t^3}{3}+\frac{t}{4}\end{align*}}$
　　となり、これを解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=0\ ,\ \pm\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ．
　　ｔ＞0なので、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$

　　計算ミスに気をつけて！　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/24(土) 01:03:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.京都薬科大　2011

| トラックバック:0

| コメント:0

2011京都薬科大　数学４

第4問

　　四面体ＯABCについて、次の　　　にあてはまる数または式を
　　解答欄に記入せよ。ただし、　キ　：　ク　、　ケ　：　コ　
　　および　サ　：　シ　については、最も簡単な整数比で表すこと。
　　また、分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

　(1) 三角形ABCの重心をG、線分ＯGを3：2に内分する点をD、
　　　直線BDと平面AＯCの交点をE、直線ＯEと直線ACとの交点をF
　　　とする。このとき、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ =　ア　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ +　イ　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ +　ウ　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$ =　エ　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ －　オ　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ +　カ　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　また、ＯE：EF=　キ　：　ク　、BD：DE=　ケ　：　コ　
　　　であり、
　　　　二つの四面体ABFＯとCEFBの体積比は　サ　：　シ　
　　　である。

　(2) ∠CＯB=30°、∠AＯC=45°、∠CAＯ=60°、ＯA=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3+1\end{align*}}$ 、
　　　 BC=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ とすると、ＯC=　ス　、CA=　セ　であり、ＯBは
　　　　ソ　または　タ　である。ただし、　ソ　＞　タ　とする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　　エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$　　　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{5}\end{align*}}$　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$

　　キ 1　　　　ク 1　　　　ケ 4　　　　コ 1　　　　サ 2　　　　シ 1

　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$　　　　セ 2　　　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt2\end{align*}}$　　　　タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　

【解説】

　(1)
　　　Gは△ABCの重心なので、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\underline{\ \frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf OC}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　また、Dは線分ＯGを3：2に内分する点なので、　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf OG}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}=\overrightarrow{\sf OD}-\overrightarrow{\sf OB}=\underline{\ \frac{1}{5}\overrightarrow{\sf OA}-\frac{4}{5}\overrightarrow{\sf OB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{\sf OC}\ \ }\end{align*}}$ ．
　
　　　3直線ＯG、ＯF、BEは同一平面上にあるので、
　　　6点Ｏ、E、F、D、G、Bはすべて平面ＯFB上にある。
　　　また、3点B、G、Fは平面上ABC上にあるので、
　　　3点B、G、Fは同一直線上にあることになる。
　　　△ABCにおいて、BFは重心Gを通るので、
　　　Fは辺ACの中点であり、B：GF=2：1．
　　　△ＯBFにおいて、メネラウスの定理より、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{OE}{EF}\cdot\frac{FB}{BG}\cdot\frac{GD}{DO}=\frac{OE}{EF}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{OE}{EF}=1\end{align*}}$
　　　となるので、ＯE：EF= 1：1 ．
　　　さらに、メネラウスの定理より、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{BG}{GF}\cdot\frac{FO}{OE}\cdot\frac{ED}{DB}=\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{ED}{DB}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{ED}{DB}=\frac{1}{4}\end{align*}}$
　　　となるので、BD：DE= 4：1 ．

　　　四面体ＯABCの体積をVとし、
　　　四面体ABFＯ、CBFＯ、CEFBの体積をそれぞれ
　　　V₁、V₂、V₃とおく。
　　　まず、FはACの中点なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=V_2=\frac{1}{2}\ V\end{align*}}$ ．
　　　一方、EはＯFの中点なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_3=\frac{1}{2}\ V_2=\frac{1}{4}\ V\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1:V_3=\frac{1}{2}\ V:\frac{1}{4}\ V=\underline{\ 2:1\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　まず、∠ＯCA=180－45－60=75°であり、
　　　加法定理より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin75^{\circ}=\sin(30^{\circ}+45^{\circ})=\sin30^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos30^{\circ}\sin45^{\circ}\end{align*}}$
　　　となるので、これを計算すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin75^{\circ}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\end{align*}}$ ．

　　　△ＯACにおいて正弦定理を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{OC}{\sin 60^{\circ}}=\frac{CA}{\sin 45^{\circ}}=\frac{OA}{\sin 75^{\circ}}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{OC}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{CA}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt3+1}{\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}\end{align*}}$ ．
　　　これを計算して、　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ OC=\sqrt6\ \ ,\ \ CA=2\ \ }\end{align*}}$
　　　となる。

　　　一方、△ＯBCにおいて余弦定理を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt2\right)^2=OB^2+\left(\sqrt6\right)^2-2\cdot OB\cdot\sqrt6\cdot\cos30^{\circ}\end{align*}}$
　　　となり、これを計算すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ OB=2\sqrt2\ \ ,\ \ \sqrt2\ \ }\end{align*}}$

　　面倒なので(2)の図を省略してます。スミマセンm(_ _)m　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/24(土) 01:04:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.京都薬科大　2011

| トラックバック:0

| コメント:0

プロフィール

Author:シケタキオア
　
橿原市の個別指導塾
青木ゼミの塾長ブログです。
毎日、大学入試数学を解いて
いきますので、どうぞよろしく
お願いします。

カレンダー

08 | 2023/09 | 10
日月火水木金土

- - - - - 1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30

最新記事

2019大阪大　理系数学3 (06/10)
2019大阪大　理系数学2 (06/09)
2019大阪大　理系数学1 (06/08)
2019東京工業大　数学5 (06/07)
2019東京工業大　数学3 (06/05)
2019東京工業大　数学2 (06/04)
2019東京工業大　数学1 (06/03)
2019大阪大　文系数学3 (06/02)
2019大阪大　文系数学2 (06/01)
2019大阪大　文系数学1 (05/31)
2019大阪教育大　数学4 (05/30)
2019大阪教育大　数学3 (05/29)
2019大阪教育大　数学2 (05/28)
2019大阪教育大　数学1 (05/27)
2019大阪府立大　理系数学4 (05/26)
2019大阪府立大　理系数学3 (05/25)
2019大阪府立大　理系数学2 (05/24)
2019大阪府立大　理系数学1 (05/23)
2019大阪府立大　文系数学4 (05/22)
2019大阪府立大　文系数学3 (05/21)

カテゴリー

△ × カテゴリー内の記事

Now Loading...

Now Loading...

Script by Lc-Factory
(詳細:Lc-Factory/雑記)

カウンター

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

奈良県橿原市木原町165-2
tel 0744-25-6173
url http://www.aozemi.com/
mail aozemi@maia.eonet.ne.jp

Powered By FC2ブログ. Copyright ©青木ゼミ青木 All Rights Reserved