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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011京都薬科大 数学1



第1問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。
  ただし、分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\frac{5}{6}}}}}\end{align*}}$ を簡単にすると、図01 となる。

 (2) 整式x2011をx2+1で割った余りは、 ウ  となる。

 (3) 対数方程式
          $\small\sf{\begin{align*} \sf \log_{x-1}(x^3-3x^2-x+3)=2\end{align*}}$
    を解くと、x= エ  となる。

 (4) -90°<x<0°において、
            $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=8\end{align*}}$
    のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \tan\frac{x}{2}=\end{align*}}$  オ  となる。

 (5) 第1項から第n項(n=1,2,3,・・・)までの和が3n2-n
    である数列の第100項の数は カ  である。


          


2011京都薬科大 数学2



第2問

  あるジュースにはおまけとして1本につき1つのキャラクターグッズ
 が付いている。キャラクターグッズは全部で6種類あり、現在2種類
 持っているとする。各キャラクターグッズは、同じ割合で封入されている
 とし、以下の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。
 ただし、分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

 (1) 今からカウントして、3種類目のキャラクターグッズを得るまでに
    購入するジュースの本数をXとする。
   (a) X=1となる確率は ア  である。
   (b) X=2となる確率は イ  である。
   (c) X=kとなる確率をP(k)とおくと、
            $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ k\ P\ (k)=\end{align*}}$  ウ 
      となる。

 (2) ジュースを5本まとめ買いしたとする。
   (a) この5本のおまけの中に、少なくとも1つは、現在持っていない
      キャラクターグッズが含まれる確率は エ  である。

   (b) 現在持っていないキャラクターグッズを、ちょうど1つだけ得る
      確率は オ  である。

   (c) 現在持っていないキャラクターグッズ4種類をA、B、C、Dとする。
      5つのおまけの中で、Aが2つBが1つ、残り2つはすでに持って
      いるキャラクターグッズが出る確率は カ  である。

   (d) 現在持っていないキャラクターグッズ2種類をちょうど1つずつだけ
     (残り3つはすでに持っているキャラクターグッズを)得る確率は
       キ  である。


2011京都薬科大 数学3



第3問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。
  ただし、分数形で解答する場合は、既約分数にすること。

  t>0とする。放物線y=x2上の点P(t,t2)における接線L1
  x軸との交点Aのx座標は ア  である。原点Oおよび2点P、
  Aを通る放物線の方程式は
           y= イ  x2 ウ  x
  であり、
  この放物線の原点における接線L2の方程式は、
           y=- エ  x
  である。2直線L1とL2の交点の座標は( オ ,- カ  )で
  あり、放物線y=x2と2直線L1、L2で囲まれた図形の面積は
   キ  である。
  点Pを通り、L1に垂直な直線L3の方程式は、
           y=- ク  x+ ケ 
  であり、L3とy軸および曲線y=x2(x≧0)で囲まれた図形の
  面積は コ  である。そして、 コ  キ  =6:1となる
  のは、t= サ  のときである。



2011京都薬科大 数学4



第4問

  四面体OABCについて、次の    にあてはまる数または式を
  解答欄に記入せよ。ただし、 キ  ク  ケ  コ 
  および サ  シ  については、最も簡単な整数比で表すこと。
  また、分数形で解答する場合は、既約分数にすること。


 (1) 三角形ABCの重心をG、線分OGを3:2に内分する点をD、
    直線BDと平面AOCの交点をE、直線OEと直線ACとの交点をF
    とする。このとき、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\end{align*}}$ = ア  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + イ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ + ウ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
    となり、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$ = エ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ - オ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ + カ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
    となる。
    また、OE:EF= キ  ク  、BD:DE= ケ  コ 
    であり、
    二つの四面体ABFOとCEFBの体積比は サ  シ 
    である。

 (2) ∠COB=30°、∠AOC=45°、∠CAO=60°、OA=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3+1\end{align*}}$ 、
    BC=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ とすると、OC= ス  、CA= セ  であり、OBは
     ソ  または タ  である。ただし、 ソ  タ  とする。