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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012立命館大 理系(2月7日) 数学1



第1問

  座標平面において点P(p,q)が楕円
       C:x2+4y2=4
  の外部にあるとする。ただし、p≠±2とする。

   点P(p,q)を通る傾きmの直線Lの方程式は、
       y=  ア 
  と表される。直線Lと楕円Cの共有点のx座標は、
  2次方程式
     (1+4m2)x2+ イ  x+ ウ  =0
  の解として与えられる。したがって、直線Lが楕円Cに
  接しているとき、傾きmは2次方程式
     (p2-4)m2+ エ  m+ オ  =0
  を満たす。

   点P(p,q)を通り楕円Cに接する2つの直線が
   直交しているとき、pとqは
        図03
   を満たし、点Pは曲線
       x2+ キ  =0
   の上にある。 



2012立命館大 理系(2月7日) 数学2



第2問

  aを正の実数とする。関数f(x)=x3-3a2xは、x= ク 
  において極小値 ケ  をとる。f(x)=f(x+1)を満たす
  実数xが存在するための必要十分条件は a≧ コ  である。
  a≧ コ  のとき
          f(x)≦f(x+1)
  となるxの範囲は、
          x≧ サ   または x≦ シ 
  である。

   数列{bn}をbn=f(n) (n=1,2,・・・)で定める。
  以下において、bkが最小値であるとは、すべてのnについて、
  bk≦bnが成り立つときをいう。
   b1が最小値となるようなaの値の範囲は、0<a≦ ス  である。
   kを2以上の整数とし、a≧ コ  とする。このとき、k≧ サ 
  であるためのaに関する必要十分条件を、kを用いて表すと、
  a≦ セ  である。

   a≧ ス  のとき、b2が最小値となるための条件を求めると、
  a≦ ソ  になる。
   bkが最小となるaの範囲を、kを用いて表すと
           タ  ≦a≦ チ 




2012立命館大 理系(2月7日) 数学3



第3問

  座標平面上を運動する点Pの時刻tにおける座標(x,y)が、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf x=\sin t\ \ ,\ \ y=\frac{1}{2}\cos 2t\end{align*}}$
  で表されているとする。このとき、点Pは曲線y= ツ  上を動く。
  また、点Pの速度ベクトルは、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}=\left(\frac{dx}{dt}\ ,\ \frac{dy}{dt}\right)=\end{align*}}$ (  テ  ト  )
  であり、加速度ベクトルは
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf \alpha}=\left(\frac{d^2x}{dt^2}\ ,\ \frac{d^2y}{dt^2}\right)=\end{align*}}$ (  ナ  ニ  )
  である。
   速さ $\small\sf{\begin{align*} \sf | \overrightarrow{\sf v} |\end{align*}}$ が0になるとき、点Pは、点Q(  ヌ  ネ  )
  あるいは点R(  ノ  ハ  )の位置にある。
  (ただし、 ヌ  ノ  とする。)
  0≦t≦30において、点Pは定点Qを ヒ  回通る。
   $\small\sf{\begin{align*} \sf | \overrightarrow{\sf v} |\end{align*}}$ の最大値は  フ  であり、加速度の大きさ $\small\sf{\begin{align*} \sf | \overrightarrow{\sf \alpha} |\end{align*}}$ の最小値は
   ヘ  である。



2012立命館大 理系(2月7日) 数学4



第4問

  a>0とする。関数f(x)を
      f(x)=xlog|x|+(a-x)log|a-x| (x≠0かつx≠a)
      f(0)=f(a)=aloga
  で定める。なお、
           $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ x\ \log|x|=0\end{align*}}$
  であるので、x=0、x=aを含む全ての実数xにおいて、f(x)は
  連続である。ただし、logxはxの自然対数を表し、その底をeとする。

 (1) x≠0かつx≠aのとき、f’(x)= ホ  、f”(x)= マ  である。
    また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f\ '(x)=\end{align*}}$  ミ  である。

 (2) f(x)はx= ム  において極値mをとり、aを用いてmを表すと、
    m= メ  である。mは、a= モ  において最小値 ヤ 
    をとる。

 (3) p>aとする。曲線y=f(x)上の点(p,f(p))における接線が
    原点を通るとき、p= ユ  であり、f’(p)= ヨ  である。
    k≠0とするとき、直線y= ヨ  x+kが曲線y=f(x)の接線
    であるならば、接点のx座標は ラ  である。