fc2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2012立命館大　理系（2月7日）　数学１



第1問

　　座標平面において点P(p，q)が楕円
　　　　　　　C：x2+4y2=4
　　の外部にあるとする。ただし、p≠±2とする。

　　　点P(p，q)を通る傾きｍの直線Lの方程式は、
　　　　　　　y= 　ア　
　　と表される。直線Lと楕円Cの共有点のx座標は、
　　2次方程式
　　　　　(1+4ｍ2)x2+　イ　 x+　ウ　 =0
　　の解として与えられる。したがって、直線Lが楕円Cに
　　接しているとき、傾きｍは2次方程式
　　　　　(p2－4)ｍ2+　エ　 ｍ+　オ　 =0
　　を満たす。

　　　点P(p，q)を通り楕円Cに接する2つの直線が
　　　直交しているとき、pとqは
　　　　　　　　図03
　　　を満たし、点Pは曲線
　　　　　　　x2+　キ　 =0
　　　の上にある。　



2012立命館大　理系（2月7日）　数学２



第2問

　　aを正の実数とする。関数ｆ(x)=x3－3a2xは、x=　ク　
　　において極小値　ケ　 をとる。ｆ(x)=ｆ(x+1)を満たす
　　実数xが存在するための必要十分条件は a≧　コ　 である。
　　a≧　コ　 のとき
　　　　　　　　　　ｆ(x)≦ｆ(x+1)
　　となるxの範囲は、
　　　　　　　　　　x≧　サ　 　または　x≦　シ　
　　である。

　　　数列{bn}をbn=ｆ(ｎ) （ｎ=1，2，･･･）で定める。
　　以下において、bkが最小値であるとは、すべてのｎについて、
　　bk≦bnが成り立つときをいう。
　　　b1が最小値となるようなaの値の範囲は、0＜a≦　ス　 である。
　　　ｋを2以上の整数とし、a≧　コ　 とする。このとき、ｋ≧　サ　
　　であるためのaに関する必要十分条件を、ｋを用いて表すと、
　　a≦　セ　 である。

　　　a≧　ス　 のとき、b2が最小値となるための条件を求めると、
　　a≦　ソ　 になる。
　　　bkが最小となるaの範囲を、ｋを用いて表すと
　　　　　　　　　　　タ　 ≦a≦　チ　




2012立命館大　理系（2月7日）　数学３



第3問

　　座標平面上を運動する点Pの時刻ｔにおける座標(x，y)が、
　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf x=\sin t\ \ ,\ \ y=\frac{1}{2}\cos 2t\end{align*}}$
　　で表されているとする。このとき、点Pは曲線y=　ツ　 上を動く。
　　また、点Pの速度ベクトルは、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf v}=\left(\frac{dx}{dt}\ ,\ \frac{dy}{dt}\right)=\end{align*}}$ ( 　テ　 ，　ト　 )
　　であり、加速度ベクトルは
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf \alpha}=\left(\frac{d^2x}{dt^2}\ ,\ \frac{d^2y}{dt^2}\right)=\end{align*}}$ ( 　ナ　 ，　ニ　 )
　　である。
　　　速さ $\small\sf{\begin{align*} \sf | \overrightarrow{\sf v} |\end{align*}}$ が0になるとき、点Pは、点Q( 　ヌ　 ，　ネ　 )
　　あるいは点R( 　ノ　 ，　ハ　 )の位置にある。
　　（ただし、　ヌ　 ＜　ノ　 とする。)
　　0≦ｔ≦30において、点Pは定点Qを　ヒ　 回通る。
　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf | \overrightarrow{\sf v} |\end{align*}}$ の最大値は 　フ　 であり、加速度の大きさ $\small\sf{\begin{align*} \sf | \overrightarrow{\sf \alpha} |\end{align*}}$ の最小値は
　　　ヘ　 である。



2012立命館大　理系（2月7日）　数学４



第4問

　　a＞0とする。関数ｆ(x)を
　　　　　　ｆ(x)=xlog|x|+(a－x)log|a－x|　（x≠0かつx≠a）
　　　　　　ｆ(0)=ｆ(a)=aloga
　　で定める。なお、
　　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ x\ \log|x|=0\end{align*}}$
　　であるので、x=0、x=aを含む全ての実数xにおいて、ｆ(x)は
　　連続である。ただし、logxはxの自然対数を表し、その底をｅとする。

　(1) x≠0かつx≠aのとき、ｆ’(x)=　ホ　 、ｆ”(x)=　マ　 である。
　　　 また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f\ '(x)=\end{align*}}$ 　ミ　 である。

　(2) ｆ(x)はx=　ム　 において極値ｍをとり、aを用いてｍを表すと、
　　　 ｍ=　メ　 である。ｍは、a=　モ　 において最小値　ヤ　
　　　 をとる。

　(3) p＞aとする。曲線y=ｆ(x)上の点(p，ｆ(p))における接線が
　　　 原点を通るとき、p=　ユ　 であり、ｆ’(p)=　ヨ　 である。
　　　 ｋ≠0とするとき、直線y=　ヨ　 x+ｋが曲線y=ｆ(x)の接線
　　　 であるならば、接点のx座標は　ラ　 である。