テ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n+1}\ (\beta-\alpha)^{n+1}\end{align*}}$ ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{n+1}\ (\alpha-\beta)^{n+1}\end{align*}}$ ナ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{k}{n-k+1}\end{align*}}$
ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (-1)^k\cdot\frac{k\ !(n-k)!}{n\ !}\end{align*}}$ ヌ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{n-k+1}\end{align*}}$ ネ ｍ+2
ノ ｍ ハ ｍ ヒ ｍ+1 フ ｍ
【解説】
まず、Ｉn,0、Ｉn,nは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,0}\sf =\left[\frac{1}{n+1}\ (x-\alpha)^{n+1}\right]_{\alpha}^{\beta}=\frac{1}{n+1}\ (\beta-\alpha)^{n+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,n}\sf =\left[\frac{1}{n+1}\ (x-\beta)^{n+1}\right]_{\alpha}^{\beta}=-\frac{1}{n+1}\ (\alpha-\beta)^{n+1}\end{align*}}$ ．
Ｉn,kを部分積分を用いて計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,k}\sf =\left[\frac{1}{n-k+1}\ (x-\alpha)^{n-k+1}(x-\beta)^k\right]_{\alpha}^{\beta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\int_{\alpha}^{\beta}\ \frac{1}{n-k+1}(x-\alpha)^{n-k+1}\cdot k(x-\beta)^{k-1}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{k}{n-k+1}\int_{\alpha}^{\beta}\ (x-\alpha)^{n-k+1}\ (x-\beta)^{k-1}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{k}{n-k+1}\ I_{n,k-1}\ \ }\end{align*}}$
同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,k-1}\sf =-\frac{k-1}{n-k+2}\ \rm I_{\sf n,k-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,k-2}\sf =-\frac{k-2}{n-k+3}\ \rm I_{\sf n,k-3}\sf \end{align*}}$
･･･
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,2}\sf =-\frac{2}{n-1}\ \rm I_{\sf n,1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,1}\sf =-\frac{1}{n}\ \rm I_{\sf n,0}\end{align*}}$
これらを辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,k}\sf =(-1)^k\cdot\frac{k}{n-k+1}\cdot\frac{k-1}{n-k+2}\cdot\frac{k-2}{n-k+3}\ldots\frac{2}{n-1}\cdot\frac{1}{n}\ \rm I_{\sf n,0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ (-1)^k\cdot\frac{k\ !(n-k)!}{n\ !}\ \rm I_{\sf n,0}\ \ }\end{align*}}$
を得る。
これを用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_{n,k}=\left|\frac{I_{n,k}}{I_{n,0}}\right|=\frac{k\ !(n-k)!}{n\ !}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{H_{n,k}}{H_{n,k-1}}=\frac{k\ !(n-k)!}{n\ !}\cdot\frac{n\ !}{(k-1)\ !(n-k+1)!}=\frac{k}{n-k+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ H_{n,k}=\underline{\ \frac{k}{n-k+1}\ H_{n,k-1}\ \ }\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_{2m+1,k-1}\lt H_{2m+1,k}=\frac{k}{2m-k+2}\ H_{2m+1,k-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1<\frac{k}{2m-k+2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k>m+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k\geqq m+2\ \ }\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_{2m+1,k-1}>H_{2m+1,k}\ \ \Leftrightarrow\ \ k\lt m+1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ k\leqq m\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_{2m+1,k-1}=H_{2m+1,k}\ \ \Leftrightarrow\ \ k=m+1\end{align*}}$ ．
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_{2m+1,1}>H_{2m+1,2}>H_{2m+1,3}>\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots>H_{2m+1,m-1}>H_{2m+1,m}=H_{2m+1,m+1}\lt H_{2m+1,m+2}<\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots \lt H_{2m+1,2m-1}\lt H_{2m+1,2m}\lt H_{2m+1,2m+1}\end{align*}}$
となるので、H2m+1,Lが最小になるようなLの値は、
L=ｍ、ｍ+1
同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_{2m,k-1}\lt H_{2m,k}=\frac{k}{2m-k+1}\ H_{2m,k-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ k> m+\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_{2m,k-1}>H_{2m,k}\ \ \Leftrightarrow\ \ k\lt m+\frac{1}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf H_{2m,1}>H_{2m,2}>H_{2m,3}>\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots>H_{2m,m-1}>H_{2m,m}\lt H_{2m,m+1}<\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots \lt H_{2m,2m-1}\lt H_{2m,2m}\end{align*}}$
となるので、H2m,Lが最小になるようなLの値は、
L=ｍ
後半が少し煩雑ですが大丈夫でしょうか？
隣り合う2項の大小を比べることによって、最小の項を求めています。
よくある問題といえばよくある問題ですが・・・
