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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012立命館大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  mを実数とする。座標平面において、直線y=mx+1と双曲線
  4x2-y2=4が2つの異なる共有点をもつのは
       |m|< ア   ただし |m|≠ イ   ・・・・①
  のときであり、このとき、2つの共有点と原点を頂点とする三角形
  の面積Sは
       S= ウ 
  と表される。また、2つの共有点を結ぶ線分の中点をP($\small\sf{\alpha}$ ,$\small\sf{\beta}$ )
  とすると、
       $\small\sf{\alpha}$ = エ  、 $\small\sf{\beta}$ = オ 
  である。mが①の範囲で変化するとき、点Pの軌跡は、方程式
        カ  x2+ キ  y2+y=0
  で表される曲線の、y≧1の部分とy< ク  の部分である。

   (注: ウ  エ  オ  はmの式、他は数値を入れよ。)
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$




2012立命館大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  a、bは実数で、a2+b2≠0とする。また、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf J=\begin{pmatrix}\sf 0&\sf -1\\ \sf 1&\sf 0\end{pmatrix}\sf \ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ 
  とする。2次の正方行列   
       $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf p&\sf q\\ \sf b&\sf a\end{pmatrix}\end{align*}}$ 
  は、JA=AJを満たしている。このとき、
       p= ケ  、 q= コ 
  となる。また、
       A-1= サ  J+ シ  E
  である。
   (注: サ  シ  には行列を用いず、a、bを用いた式を記せ。)

 (1) A3=8Eとなるのは、
       a= ス  、b= セ 
       a= ス  、b=- セ 
       a= ソ  、b= タ 
    の場合である。(ただし セ  には正の数を記入せよ。)

 (2) Oを原点とする座標平面上において、行列Aの表す一次変換
    による点P(2,1)の像をQで表し、△OPQの面積をSとする。
    ただし、点O、P、Qが一直線上にあるときはS=0とする。
    Sをa、bを用いた式で表すと、
       S= チ 
    であり、a2+b2=aのとき、Sのとりうる値の範囲は、
       0≦S≦ ツ 
    である。



  (注意) 一部問題を変更しています。


2012立命館大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  nを正の整数、kは0≦k≦nを満たす整数とする。実数$\small\sf{\alpha,\ \beta\ \ (\alpha\lt\beta)}$
  に対して、積分In,k
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,0}\sf =\int_\alpha^\beta\ (x-\alpha)^n\ dx\ \ ,\ \ \rm I_{\sf n,n}\sf =\int_\alpha^\beta\ (x-\beta)^n\ dx\end{align*}}$
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,k}\sf =\int_\alpha^\beta\ (x-\alpha)^{n-k} (x-\beta)^k\ dx\ \ \ \ \ (k=1,2,\ldots,n-1)\end{align*}}$
  で定義する。
  In,0とIn,nをn、$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を用いて表すと、
       In,0= テ  、 In,n= ト 
  となる。k=1,2,・・・,nのとき、In,kとIn,k-1の関係を求めると、
       In,k= ナ n,k-1
  を得る。したがって、
       In,k= ニ n,0
  が成り立つ。ここで、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf H_{n,k}=\left|\frac{I_{n,k}}{I_{n,0}}\right|\end{align*}}$
  とする。Hn,kとHn,k-1の関係を求めると、
       Hn,k= ヌ  Hn,k-1
  を得る。
   mを0以上の整数とする。整数kが、1≦k≦2m+1を満たすとき、
  H2m+1,k-1<H2m+1,kとなるmとkの条件はk≧ ネ 
  H2m+1,k-1>H2m+1,kとなる場合の条件はk≦ ノ  である。
   mを定数とみなして整数Lを0≦L≦2m+1の範囲で動かすとき、
  H2m+1,Lは、L= ハ  または L= ヒ  で最小になる。
   また、H2m,Lは、Lを0≦L≦2mの範囲で動かすとき、L= フ 
  で最小になる。
  



2012立命館大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  3つのクラブA、B、Cがあり、各クラブには6人の部員がいる。
     AとBの両方のクラブに所属する人は3人
     BとCの両方のクラブに所属する人は4人
     AとCの両方のクラブに所属する人は4人
     AとBとCのすべてのクラブに所属する人は2人
  である。各クラブは部員の中からくじで代表者を1人決める

 (1) Aのみに入っている人は ヘ  人である。

 (2) A、B、Cのいずれかに入っている人は ホ  人である。

 (3) A、B、Cの代表者を決めた結果、1人がAとBの代表者を
    兼ねる確率は マ  である。

 (4) 1人がA、B、Cすべての代表者を兼ねる確率は ミ  である。

 (5) A、B、Cの代表者がすべて異なる人になる選び方は ム 
    通りある。

 (6) A、B、Cの代表者がすべて異なる人になる確率は メ  である。

 (7) 3つのクラブA、B、Cに所属する会員の中で、代表者に選ばれる
    人数の期待値は モ  である。