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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010奈良県立医大 数学1



第1問

  
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \alpha=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\ \ ,\ \ \beta=\frac{3-\sqrt{13}}{2}\end{align*}}$
   とおく。

 (1) 任意の正整数nに対して、$\small\sf{\alpha^n+\beta^n}$は整数であることを証明せよ。

 (2) 実数rに対してrを越えない最大の整数を[r]で表し、rの
    小数部分{r}を{r}=r-[r]と定義する。このとき、2個の
    極限値
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\alpha^{2n}\right\}\ \ ,\ \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left\{\alpha^{2n+1}\right\}\end{align*}}$
    を求めよ。




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2010奈良県立医大 数学2(1)~(3)



第2問

  2行2列行列J、Eを
       $\small\sf{\begin{align*}\sf J=\begin{pmatrix}\sf 0&\sf -1\\ \sf 1&\sf 0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0&\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
  で定める。かつ|x|≦1なる範囲を動く実数xに対して、
  2行2列の行列A(x)を
       $\small\sf{\begin{align*}\sf A\ (x)=xE+\sqrt{1-x^2}\ J\end{align*}}$
  と定義する。更に正整数nに対して、行列A(x)のn乗A(x)n
  の1行1列の成分をfn(x)とおく。

 (1) fn(x)はxに関するn次の整式であり、その係数は全て整数
    からなることを証明せよ。

 (2) n次式fn(x)におけるxnの係数を求めよ。

 (3) n>1のとき、n次式fn(x)におけるx2の係数、及びxn-2
    係数を求めよ。




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2010奈良県立医大 数学2(3)



第2問

  2行2列行列J、Eを
       $\small\sf{\begin{align*}\sf J=\begin{pmatrix}\sf 0&\sf -1\\ \sf 1&\sf 0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 0\\ \sf 0&\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
  で定める。かつ|x|≦1なる範囲を動く実数xに対して、
  2行2列の行列A(x)を
       $\small\sf{\begin{align*}\sf A\ (x)=xE+\sqrt{1-x^2}\ J\end{align*}}$
  と定義する。更に正整数nに対して、行列A(x)のn乗A(x)n
  の1行1列の成分をfn(x)とおく。

 (1) fn(x)はxに関するn次の整式であり、その係数は全て整数
    からなることを証明せよ。

 (2) n次式fn(x)におけるxnの係数を求めよ。

 (3) n>1のとき、n次式fn(x)におけるx2の係数、及びxn-2
    係数を求めよ。




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2010奈良県立医大 数学3



第3問

  a、b、cを実数の定数とする。このとき、以下の4条件を同時に
  満たすような実数の数列{xn}n=1,2,・・が存在する為に、定数
  a、b、cの満たすべき必要十分条件を求めよ。

 条件(1):xn=-aとなる正整数nは存在しない。
 条件(2):ある正整数n>1についてxn≠x1が成り立つ。
 条件(3):任意の正整数nについてxn+2=xnが成り立つ。
 条件(4):任意の正整数nについて
             $\small\sf{\begin{align*}\sf x_{n+1}=\frac{bx_n+c}{x_n+a}\end{align*}}$
      が成り立つ。






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2010奈良県立医大 数学4



第4問

  nは正整数とする。

 (1)
       $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{x(1+x)^n}=\frac{a_0}{x}+\sum_{i=1}^n\frac{a_i}{(1+x)^{i}}\end{align*}}$
    となる定数a0、a1、・・・、anを求めよ。

 (2) 更にn>1とする。1より小さい正の実数aが0に近づくとき、
    極限
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow 0+}\ \int_a^1\frac{\log x}{(1+x)^n}\ dx\end{align*}}$
    は、正負いずれの無限大にも発散せず、有限の値をとること
    を証明せよ。
   (但し、極限値を具体的に求める必要はない。また
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow0+}\ x\log x=0"align="middle\end{align*}}$
    であることは証明なしに用いてもよい。)

 (3) 極限値
         $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{a\rightarrow 0+}\ \int_a^1\frac{x\log x}{(1+x)^3}\ dx\end{align*}}$
    を求めよ。






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