第1問（理学部）
座標空間内に3点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)
をとる。次の問いに答えよ。
(1) 線分BCを2：1に内分する点Dの座標を求めよ。
(2) ベクトル $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ を成分で表せ。
(3) 原点Ｏから直線ADに垂線を引き、交点をEとする。点Eの
座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left(\frac{0+0}{2+1}\ ,\ \frac{2+0}{2+1}\ ,\ \frac{0+6}{2+1}\right)=\underline{\ \left(0\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ 2\right)\ \ }\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=\overrightarrow{\sf OD}-\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(0\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ 2\right)-(1\ ,\ 0\ ,\ 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(-1\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ 2\right)\ \ }\end{align*}}$
(3)
A、E、Dは一直線上にあるので、実数ｔを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}=t\ \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
と表せ、これを変形すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}-\overrightarrow{\sf OA}=t\ \left(-1\ ,\ \frac{2}{3}\ ,\ 2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OE}=\left(-t\ ,\ \frac{2}{3}t\ ,\ 2t\right)+(1\ ,\ 0\ ,\ 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-t+1\ ,\ \frac{2}{3}t\ ,\ 2t\right)\end{align*}}$
となる。
ＯE⊥ADなので、内積を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\cdot\overrightarrow{\sf AD}=-(-t+1)+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}t+2\cdot 2t=0\end{align*}}$
となり、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{9}{49}\end{align*}}$ ．
よって、Eの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E\left(-\frac{9}{49}+1\ ,\ \frac{2}{3}\cdot\frac{9}{49}\ ,\ 2\cdot\frac{9}{49}\right)=\underline{\ \left(\frac{40}{49}\ ,\ \frac{6}{49}\ ,\ \frac{18}{49}\right)\ \ }\end{align*}}$
まぁそのまま計算するだけですね。
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第2問（理学部）
ｎを自然数とする。2次方程式
x2－13x+2ｎ－1=0
は異なる実数解$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ をもつとする。p、qをそれぞれ$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を
超えない最大の整数とする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\alpha}$ ＞0、$\small\sf{\beta}$ ＞0を示せ。
(2) p+q=12を示せ。
(3) p、qが素数のとき、p、qおよびｎを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
x2－13x+2ｎ－1=0 ･････①
①は異なる2つの実数解をもつので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=13^2-4(2n-1)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ n<\frac{173}{8}=21.\ldots\end{align*}}$ ････②
(1)
解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =13＞0 ････③
$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =2ｎ－1＞0 （∵ｎ≧1）････④
よって、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＞0 かつ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＞0である。
(2)
p、qはそれぞれ$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ を超えない最大の整数なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ －1＜p≦$\scriptsize\sf{\alpha}$
$\scriptsize\sf{\beta}$ －1＜q≦$\scriptsize\sf{\beta}$
であり、これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ －2＜p+q≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ ．
これに③を代入すると、
11＜p+q≦13
となり、p、qは整数なので、
p+q=12 または p+q=13
である。
ここで、p+q=13となるのは、
p=$\scriptsize\sf{\alpha}$ かつ q=$\scriptsize\sf{\beta}$
のときであり、③、④より
p+q=13 （奇数）
pq=2ｎ－1 （奇数）
となるが、
和、積ともに奇数となるような2整数p、qは存在しないので不適。
（積が奇数になるのは、奇数×奇数のときであり、
このときの和は、奇数+奇数=偶数 になってしまう）
よって、p+q=12である。
(3)
12以下の素数は、2，3，5，7，11であり、
和が12になるようなp、qの組み合わせは
(p、q)=(5，7) または (p，q)=(7，5)
のいずれかである。
(ⅰ) (p、q)=(5，7)のとき
5≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜6 かつ 7≦$\scriptsize\sf{\beta}$ ＜8
になればよい。
①の左辺をｆ(x)とおくと、
y=ｆ(x)のグラフが右図のようになればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (5)=25-65+2n-1\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ n\geqq \frac{41}{2}=20.5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (6)=36-78+2n-1<0\ \ \Leftrightarrow\ \ n<\frac{43}{2}=21.5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (7)=49-91+2n-1\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ n\leqq \frac{43}{2}=21.5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (8)=64-104+2n-1>0\ \ \Leftrightarrow\ \ n>\frac{41}{2}=20.5\end{align*}}$
これらと②を満たすような整数ｎは、
ｎ=21
のみである。
(ⅱ)(p，q)=(7，5)のとき
(ⅰ)と同様に考えると、ｎ=21
以上より、
(p，q，ｎ)=(5，7，21)、(7，5，21)
整数部分に関する問題は、不等式で処理するということを知らないと、
(2)以降は手も足も出ないでしょうね・・・・
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第4問（生活環境学部）
ｍを実数とする。xについての2次方程式
$\small{\sf x^2+(ｍ-1)x+ｍ^2+ｍ-2=0}$
が異なる実数解$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ をもつとする。次の問いに答えよ。
(1) ｍの値の範囲を求めよ。
(2) $\small\sf{\alpha^2+\beta^2}$ をｍを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\alpha^2+\beta^2}$ がとり得る値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
判別式＞0であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=(m-1)^2-4(m^2+m-2)>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ m^2+2m-3=(m+3)(m-1)<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -3\lt m<1\ \ }\end{align*}}$
(2)
解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\alpha+\beta=-m+1}$
$\scriptsize\sf{\alpha\beta=ｍ^2+ｍ-2}$ ････①
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \alpha^2+\beta^2&=\sf\left(\alpha+\beta\right)^2-2\alpha\beta \\ &=\sf (-m+1)^2-2(m^2+m-2)\\ &=\sf \underline{-m^2-4m+5}\end{align*}}$
(3)
(2)で得られた式は、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+$\scriptsize\sf{\beta}$ 2=－(ｍ+2)2+9
と変形でき、
(1)で得られたｍの変域で考えると、
$\scriptsize\sf{\underline{0\lt \alpha^2+\beta^2\leqq 9}}$
となる（右図参照）。
これは簡単でしょ！
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- 2012/07/29(日) 23:57:00|
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第5問（生活環境学部）
箱の中に白玉2個、赤玉2個、黒玉2個の合計6個の玉が入っている。
まず、この箱から2個の玉を同時に取り出し、袋Aに入れる。次に、箱に
残っている4個の玉から2個の玉を同時に取り出し、袋Bに入れる。
最後に、箱に残っている2個の玉を袋Cに入れる。次の問いに答えよ。
(1) 袋Aに入れた玉の色が2つとも黒である確率を求めよ。
(2) 袋Aに入れた2つの玉が異なる色である確率を求めよ。
(3) どの袋においても、中の2つの玉が異なる色である確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
最初に取り出した2個が、両方とも黒であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_2}{_6C_2}=\underline{\ \frac{1}{15}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)と同様に考えると、
Aの玉が2つとも白である確率、2つとも赤である確率は
ともに $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{15}\end{align*}}$ なので、
Aに入れた2つの玉の色が同じになる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{15}\times 3=\frac{1}{5}\end{align*}}$ ．
余事象を考えると、Aに入れた2つの玉の色が異なる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{1}{5}=\underline{\ \frac{4}{5}\ \ }\end{align*}}$
(3)
まず、最初に色の異なる2個の玉を取り出す必要がある。
この段階で箱の中に残っている4個の玉の色は、
ある1色は玉が2個、残りの2色は玉が1個ずつになっている。
すなわち、
○ ○ △ □
のように表すことができる。
B、Cに入れる2個の玉の色が異なるためには、
「B･･･○と△ C･･･○と□」 または
「B･･･○と□ C･･･○と△」
のように入れればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_1\times _1C_1}{_4C_2}\times 2=\frac{2}{3}\end{align*}}$
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{5}\times\frac{2}{3}=\underline{\ \frac{8}{15}\ \ }\end{align*}}$
まぁこれも問題ないでしょ。
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- 2012/07/30(月) 23:54:00|
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