第4問
次の をうめよ。
(1) 大中小3つのさいころを同時に投げるとき、出た目の数が
すべて3以下である確率は ① であり、出た目の数の
うち最大のものが3である確率は ② である。
また、出た目の数の積が3の倍数となる確率は ③ である。
(2) 座標平面上に直線L：y=3xがある。直線Lに関して点(0，3)と
対称な点の座標は ④ である。また、直線Lに関してy軸と
対称な直線の方程式は ⑤ である。
(3) $\small\sf{\theta}$ の方程式sin$\small\sf{\theta}$ +acos$\small\sf{\theta}$ +1－a2=0（aは定数）がある。
a=1のとき、この方程式の0≦$\small\sf{\theta}$ ≦2$\small\sf{\pi}$ を満たす解は小さい方
から順に ⑥ 、 ⑦ である。また、この方程式が解をもつ
とき、定数aのとりうる値の範囲は ⑧ である。
(4) 自然数nに対して、n2を7で割ったときの余りをan、n2以下で
最大の7の倍数をbnとして、2つの数列{an}、{bn}を定める。
このとき、a1=1、b1=0、a2=4、b2=0であり、一般に
an+bn= ⑨ である。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{30}\ (a_k+b_k)\end{align*}}$ = ⑩ である。
(5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^1\frac{x^{2n}}{x^2+1}\ dx\end{align*}}$ （n=0，1，2，････）とするとき、I0= ⑪
であり、In+1+Inはnを用いて ⑫ と表される。したがって、
I5= ⑬ である。
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【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\end{align*}}$ ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{19}{216}\end{align*}}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{19}{27}\end{align*}}$ ④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{9}{5}\ ,\ \frac{12}{5}\right)\end{align*}}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{4}{3}\ x\end{align*}}$
⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\ \pi\end{align*}}$ ⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{4}\ \pi\end{align*}}$ ⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt 3\leqq a\leqq \sqrt3\end{align*}}$ ⑨ n2
⑩ 9455 ⑪ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ⑫ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2n+1}\end{align*}}$ ⑬ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{263}{315}-\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
【解説】
(1)
3つとも3以下の目が出る確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{6}\right)^3=\frac{1}{8}\end{align*}}$ ． ････①
また、3つとも2以下の目が出る確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2}{6}\right)^3=\frac{1}{27}\end{align*}}$
なので、最大の目が3になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}-\frac{1}{27}=\frac{19}{216}\end{align*}}$ ． ････②
一方、3つとも3の倍数でない確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{6}\right)^3=\frac{8}{27}\end{align*}}$
なので、3数の積が3の倍数になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}\end{align*}}$ ････③
となる。
(2)
点A(0，3)を通り直線y=3xと垂直な直線は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{3}\ x+3\end{align*}}$
であり、これとy=3xの交点Mは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3x=-\frac{1}{3}\ x+3\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{9}{10}\ ,\ y=\frac{27}{10}\end{align*}}$ ．
y=3xに関してAと対称な点をB(X，Y)とすると、
MがABの中点となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{0+X}{2}\ ,\ \frac{3+Y}{2}\right)=\left(\frac{9}{10}\ ,\ \frac{27}{10}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X\ ,\ Y\right)=\underline{\ \left(\frac{9}{5}\ ,\ \frac{12}{5}\right)\ }\end{align*}}$ ．････④
点O(0，0)は直線y=3x上にあるので、y軸（直線OA）を
y=3xに関して対称に移動させた直線はOBとなる。
よって、求める直線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OB:\ y=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{9}{5}}\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{4}{3}\ x\ \ }\end{align*}}$ ････⑤
(3)
a=1のとき与式は、
sin$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0
となり、この等式はcos$\scriptsize\sf{\theta}$ =0のときは成立しないので、
両辺をcos$\scriptsize\sf{\theta}$ （≠0）で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin\theta}{\cos\theta}+1=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\theta=-1\end{align*}}$ ．
0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta=\underline{\ \frac{3}{4}\ \pi\ ,\ \frac{5}{4}\ \pi\ }\end{align*}}$ ････⑥、⑦
一方、与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{a^2+1}\left(\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ \sin\theta+\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\ \cos\theta\right)=a^2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(\theta+\alpha\right)=\frac{a^2-1}{\sqrt{a^2+1}}\end{align*}}$ ････ア
と変形できる。ただし、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\ ,\ \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\end{align*}}$
を満たす。
ここで、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ なので、
|sin($\scriptsize\sf{\theta}$ +$\scriptsize\sf{\alpha}$ )|≦1とアより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{a^2-1}{\sqrt{a^2+1}}\right|\leqq 1\end{align*}}$
両辺を2乗して分母を払うと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq (a^2-1)^2\leqq a^2+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^4-3a^2\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq a^2\leqq 3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -\sqrt 3\leqq a\leqq \sqrt3\ }\end{align*}}$ ････⑧
(4)
題意より
an+bn=n2 ････⑨
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{30}\ (a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{30}\ k^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\cdot 30\cdot(30+1)\cdot(2\cdot 30+1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =9455\end{align*}}$ ････⑩
(5)
n=0のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 0}\sf =\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
となり、x=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
であり、x：0→1に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \theta:\ 0\rightarrow\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 0}\sf =\int_0^{\pi /4}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /4}\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\ \theta\ \bigg]_0^{\pi /4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ････⑪
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n+1}\sf +\rm I_{\sf n}\sf =\int_0^1\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}\ dx+\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\frac{x^{2n}\left(1+x^2\right)}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\ x^{2n}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2n+1}\ x^{2n+1}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2n+1}\end{align*}}$ ････⑫
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 1}\sf +\rm I_{\sf 0}\sf =1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 2}\sf +\rm I_{\sf 1}\sf =\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 3}\sf +\rm I_{\sf 2}\sf =\frac{1}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 4}\sf +\rm I_{\sf 3}\sf =\frac{1}{7}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 5}\sf +\rm I_{\sf 4}\sf =\frac{1}{9}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\rm I_{\sf 1}\sf +\rm I_{\sf 0}\sf \right)-\left(\rm I_{\sf 2}\sf +\rm I_{\sf 1}\sf \right)+\left(\rm I_{\sf 3}\sf +\rm I_{\sf 2}\sf \right)-\left(\rm I_{\sf 4}\sf +\rm I_{\sf 3}\sf \right)+\left(\rm I_{\sf 5}\sf +\rm I_{\sf 4}\sf \right)=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf 5}\sf +\rm I_{\sf 0}\sf =\frac{263}{315}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \rm I_{\sf 5}\sf =\underline{\ \frac{263}{315}-\frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$ ････⑬
(5)の最後の処理が少し難しいかもしれません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/27(火) 02:08:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2010（2/5）
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