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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010関西大 理系数学(2月5日) 1



第1問

  xの関数
         f(x)=ex+8e-x-6
  があり、y=f(x)の表すグラフをCとする。

 (1) f(x)=0を満たすxの値を求めよ。

 (2) f(x)の極値を求め、曲線Cの凹凸、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ f\ (x)\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow-\infty}\ f\ (x)\end{align*}}$ を
    調べて、Cの概形をかけ。

 (3) 曲線Cとx軸で囲まれる図形の面積Sを求めよ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/27(火) 02:05:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2010(2/5)
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2010関西大 理系数学(2月5日) 2



第2問

  O(0,0,0)を原点とする座標空間内に、3点A(4,2,4)、
  B(5,4,2)、C(3,2,5)がある。このとき、    をうめよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ = ①  、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ = ②  、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ = ③  である。

 (2) ∠BAC= ④  であり、三角形ABCの面積は ⑤  である。

 (3) 点Aから直線BCに下ろした垂線と直線BCの交点をDとするとき、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ を用いて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ = ⑥  と表される。

 (4) 四面体OABCの体積は ⑦  である。また、点Aから平面OBCに
    下ろした垂線と平面OBCとの交点をHとしたとき、線分AHの長さは
     ⑧  である。



2010関西大 理系数学(2月5日) 3



第3問

  2次の正方行列Mが、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf M\ \binom{1}{0}=\binom{3}{1}\ \ ,\ \ M\ \binom{0}{1}=\binom{2}{4}\end{align*}}$
  を満たしている。次の    をうめよ。


 (1) M= ①  である。

 (2)
         $\small\sf{\begin{align*} \sf P=\begin{pmatrix}\sf -2 &\sf 1\\ \sf 1&\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    とするとき、行列Pの逆行列P-1はP-1= ②  となり、
    P-1MP= ③  である。
    したがって、nを自然数とするとき、Mn= ④  である。

 (3) 点(2,1)がMの表す1次変換に寄って移る点をQとする。
    さらに、点Qを原点O(0,0)を中心とし、反時計回りに$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$
    だけ回転して得られる点の座標は ⑤  である。

 (4) (2)で求めたMnの表す1次変換によって、2点(1,0)、(0,1)
    が移される点をそれぞれAn、Bnとして、三角形OAnBnの面積
    をSnとするとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ \frac{1}{S_n}\end{align*}}$ = ⑥ 
    である。



2010関西大 理系数学(2月5日) 4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 大中小3つのさいころを同時に投げるとき、出た目の数が
    すべて3以下である確率は ①  であり、出た目の数の
    うち最大のものが3である確率は ②  である。
    また、出た目の数の積が3の倍数となる確率は ③  である。

 (2) 座標平面上に直線L:y=3xがある。直線Lに関して点(0,3)と
    対称な点の座標は ④  である。また、直線Lに関してy軸と
    対称な直線の方程式は ⑤  である。

 (3) $\small\sf{\theta}$ の方程式sin$\small\sf{\theta}$ +acos$\small\sf{\theta}$ +1-a2=0(aは定数)がある。
    a=1のとき、この方程式の0≦$\small\sf{\theta}$ ≦2$\small\sf{\pi}$ を満たす解は小さい方
    から順に ⑥  ⑦  である。また、この方程式が解をもつ
    とき、定数aのとりうる値の範囲は ⑧  である。

 (4) 自然数nに対して、n2を7で割ったときの余りをan、n2以下で
    最大の7の倍数をbnとして、2つの数列{an}、{bn}を定める。
    このとき、a1=1、b1=0、a2=4、b2=0であり、一般に
    an+bn= ⑨  である。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{30}\ (a_k+b_k)\end{align*}}$ = ⑩  である。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n}\sf =\int_0^1\frac{x^{2n}}{x^2+1}\ dx\end{align*}}$ (n=0,1,2,・・・・)とするとき、I0= ⑪ 
    であり、In+1+Inはnを用いて ⑫  と表される。したがって、
    I5= ⑬  である。