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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010関西大 理系数学(2月1日) 1



第1問

  関数f(x)=log(sinx+2) (0<x<2$\small\sf{\pi}$ )について、次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の第1次導関数f’(x)と第2次導関数f”(x)を求めよ。

 (2) f(x)の極値を求めよ。

 (3) f(x)の変曲点を求め、y=f(x)のグラフの概形を座標平面上に描け。

 (4) kを実数の定数とする。0<x<2$\small\sf{\pi}$ におけるlog(sinx+2)-k=0
    の解の個数を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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2010関西大 理系数学(2月1日) 2



第2問

  平面上の四角形OABCについて、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf OA=OB=1\ \ ,\ \ OC=\frac{\sqrt7}{3}\end{align*}}$
  および、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
  が成り立っているとする。
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
  とおく。次の    をうめよ。

   CB= ①  、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ ・$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ = ②  であり、∠AOBは ③  度である。
  t>0とし、直線OA上に点Dを $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=t\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ となるようにとる。このとき、
  線分OBと線分CDとの交点をPとおくと、tを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\end{align*}}$  ④  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
  と書ける。
   △OPDの重心Gが△OABの内部または周上にあるようなtの値の
  範囲は、0<t≦ ⑤  である。また、△OPDの外心をRとおくと、
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ - ⑥  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ が垂直であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ - ⑥  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ も垂直で
  あることから、$\small\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{3}\end{align*}}$ のとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ = ⑦  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ +  ⑧  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ であり、
  |$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$|= ⑨  である。



2010関西大 理系数学(2月1日) 3



第3問

  xの関数 y=|e-x-a| について、次の問いに答えよ。
  ここでaは-∞<a<∞の範囲の定数とする。

 (1) e-1<a<1であるとき、xの関数 y=|e-x-a| のグラフの概形を
    解答欄の座標平面上にかけ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (a)=\int_0^1\ |e^{-x}-a|\ dx\end{align*}}$ とおく。-∞<a<∞であるとき、f(a)をaを
    用いて表せ。

 (3) aが-∞<a<∞であるとき、f(a)の最小値を求めよ。


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2010関西大 理系数学(2月1日) 4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) x2-3x+5=0の2つの解を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ とする。このとき、
    $\small\sf{\alpha}$ 2+$\small\sf{\beta}$ 2 = ①  であり、さらに $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}\end{align*}}$ = ②  である。

 (2) xy平面上の3点(1,2)、(2,4)、(3,1)にあと1点Aを加えること
    により、それらが平行四辺形の4つの頂点となるとする。このとき、
    Aのy座標をすべて求めると ③  である。

 (3) nを自然数とする。(x+y+1)nを展開したとき、xyの項の係数は
    90であった。このときのnの値は ④  である。

 (4) -1<xにおいて、関数f(x)は
         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1}\end{align*}}$
    で定義されている。f(x)を求めると、ある値$\small\sf{\alpha}$ でf(x)が連続になら
    ないことがわかる。このときf($\small\sf{\alpha}$ )と等しい値をとるもうひとつのxは
     ⑤  である。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf i=\sqrt{-1}\end{align*}}$ とする。複素数$\small\sf{\alpha}$ =1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ i に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{(\alpha +2)^6}{\alpha^3}\end{align*}}$ の値は
     ⑥  である。

 (6) 0<x≦$\small\sf{\pi}$ とする。方程式
         sin3x+sinx=cosx
    の解をすべて求めると、 ⑦  である。