第4問
次の をうめよ。
(1) x2－3x+5=0の2つの解を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ とする。このとき、
$\small\sf{\alpha}$ 2+$\small\sf{\beta}$ 2 = ① であり、さらに $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}\end{align*}}$ = ② である。
(2) xy平面上の3点(1，2)、(2，4)、(3，1)にあと1点Aを加えること
により、それらが平行四辺形の4つの頂点となるとする。このとき、
Aのy座標をすべて求めると ③ である。
(3) ｎを自然数とする。(x+y+1)nを展開したとき、xyの項の係数は
90であった。このときのｎの値は ④ である。
(4) －1＜xにおいて、関数ｆ(x)は
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1}\end{align*}}$
で定義されている。ｆ(x)を求めると、ある値$\small\sf{\alpha}$ でｆ(x)が連続になら
ないことがわかる。このときｆ($\small\sf{\alpha}$ )と等しい値をとるもうひとつのxは
⑤ である。
(5) $\small\sf{\begin{align*} \sf i=\sqrt{-1}\end{align*}}$ とする。複素数$\small\sf{\alpha}$ =1+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ i に対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{(\alpha +2)^6}{\alpha^3}\end{align*}}$ の値は
⑥ である。
(6) 0＜x≦$\small\sf{\pi}$ とする。方程式
sin3x+sinx=cosx
の解をすべて求めると、 ⑦ である。
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【解答】
① -1 ② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{5}\end{align*}}$ ③ -1，3，5 ④ 10 ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$
⑥ 216 ⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12}\ ,\ \frac{5\pi}{12}\ ,\ \frac{\pi}{2}\end{align*}}$
【解説】
(1)
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =3、 $\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =5．
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\ \beta=\underline{\ -1\ \ }\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{\alpha ^2+\beta ^2}{\alpha\ \beta}=\underline{\ -\frac{1}{5}\ \ }\end{align*}}$ ．
(2)
平行四辺形の対角線のはそれぞれの中点で交わるので、
A(x，y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1+2}{2}\ ,\ \frac{2+4}{2}\right)=\left(\frac{x+3}{2}\ ,\ \frac{y+1}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ (x\ ,\ y)=(0\ ,\ 5)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{2+3}{2}\ ,\ \frac{4+1}{2}\right)=\left(\frac{x+1}{2}\ ,\ \frac{y+2}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ (x\ ,\ y)=(4\ ,\ 3)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3+1}{2}\ ,\ \frac{1+2}{2}\right)=\left(\frac{x+2}{2}\ ,\ \frac{y+4}{2}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ (x\ ,\ y)=(2\ ,\ -1)\end{align*}}$
の3つの場合が考えられる。
よって、Aのy座標は、－1、3，5 ．
(3)
(x+y+1)nの展開式の一般項は、
p+q+r+=ｎを満たす0以上の整数p、q、rを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\ !}{p\ !\ q\ !\ r\ !}\ x^p\ y^q\ 1^r\end{align*}}$
と表すことができる。
いま、xyの項の係数が90なので、
p=q=1、r=ｎ－2
とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n\ !}{(n-2)\ !}=n(n-1)=90\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ n=10\ \ }\ (>0)\end{align*}}$ .
(4)
(ⅰ) －1＜x＜1のとき
x→∞のときxn→0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{0}{0+0+1}=0\end{align*}}$
(ⅱ) x=1のとき
任意のｎに対して xn=1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=\frac{1}{1+1+1}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
(ⅲ) 1＜xのとき
x→∞のときxn→+∞となるので、
与式の分子・分母をxnで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^n}}=\frac{1}{x^2+1}\end{align*}}$
これらより、ｆ(x)はx=1において不連続であり、
ｆ(1)と等しい値をとるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}=\frac{1}{x^2+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\sqrt2\ \ (>1)\ \ }\end{align*}}$
のときである。
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\alpha+2\right)^2=\left(3+\sqrt3\ i\right)^2=6+6\sqrt3\ i\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(\alpha +2)^6}{\alpha^3}=\left\{\frac{\left(\alpha+2\right)^2}{\alpha}\right\}^3=\left(\frac{6+6\sqrt3\ i}{1+\sqrt3\ i}\right)^3=6^3=\underline{\ 216\ \ }\end{align*}}$ ．
(6)
和→積の公式を用いると、与式は
2sin2x cosx=cosx
⇔ cosx(2sin2x－1)=0
⇔ cosx=0 または 2sin2x=1
と変形できる。0＜x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
これを満たすxの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{2}\ \ ,\ \ 2x=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5\pi}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{\pi}{12}\ ,\ \frac{5\pi}{12}\ ,\ \frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/27(火) 02:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2010（2/1）
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